Kepler törvényei

A csillagászat , a jogszabályok Kepler leírására főbb tulajdonságait a mozgás bolygók körüli sun .

A törvények névadója Johannes Kepler csillagász (1571-1630), akik empirikusan megállapították őket Tycho Brahe által végzett bolygók helyzetének megfigyelései és mérései alapján , amelyek az időre nagyon pontosak voltak (8 perc pontosságú) . Kopernikusz érvelt a 1543 , hogy a bolygó kering a Nap körül , de támaszkodott egyenletes körmozgás, örökölt ókori Görögországban és a matematikai eszközökkel nem volt, hogy eltérő által használt Ptolemaiosz az ő geocentrikus rendszert. .

Kepler az első két törvényt publikálja 1609az Astronomia nova-ban, majd a harmadik in1619a Harmonices Mundi-ban . Az elliptikus pályák, amint azt az első két törvény kimondja, lehetővé teszik a bolygók látszólagos mozgásának bonyolultságát az égbolton anélkül, hogy a kopernikuszi és a ptolemaioszi modell epiciklusaihoz , excentrikáihoz és más megfelelőihez (vagy ezek helyettesítőihez) folyamodnának .

A 1687 , támaszkodva a munka Galileo , Kepler és Huygens , Isaac Newton fedezte fel a törvény a gravitáció , ami lehetővé tette, hogy ismertesse Kepler három törvényt.

Voltaire (1694-1778), Az ő elemei Newton filozófiája a1738, elsőként hívta Kepler "törvényeit". Lalande (1732-1807) Az ő megtestesítője Csillagászat a1774, úgy tűnik, elsőként sorolta fel és számozta meg Kepler három törvényét abban a sorrendben, amelyben ma szokták megadni.

Nyilatkozat Kepler három törvényéről

Első törvény - a pályák törvénye

Kepler első törvényét „keringési törvénynek” vagy „ellipszis törvényének” nevezik.

A Naprendszer bolygói elliptikus pályákat írnak le , amelyek közül a Nap az egyik gócot elfoglalja. Általánosságban elmondható, hogy a Nap körül keringő égitestek olyan pályákat írnak le, amelyek kúpok, amelyekre a Nap fókuszál. Az üstökösök esetében valóban lehetnek nem zárt, parabolikus vagy hiperbolikus pályáink is .

A heliocentrikus vonatkoztatási rendszerben a Nap mindig elfoglalja a körülötte forgó bolygók elliptikus pályájának két fókuszának egyikét . Szigorúan véve a tömeg központja foglalja el ezt a hangsúlyt; a legnagyobb különbség a Jupiterrel érhető el, amely nagy tömege miatt 743 075 km-rel elmozdítja ezt a tömegközéppontot   ; vagy 1,07 napsugár - nagyobb elmozdulás érhető el, ha a bolygók hatásait a pályájukon halmozzuk fel .

A bolygók súlypontjai által leírt ellipszisek kvázi kör alakúak, alacsony vagy nagyon alacsony orbitális excentricitással rendelkeznek , a legmagasabb a Merkúré (~ 0,2), majd a Marsé (~ 0,09). Ez utóbbit használta Kepler az első törvény felfedezéséhez, és ebben segíti őt a Föld pályájának alacsony excentricitása (~ 0,017) a Marséhoz képest. A gócok önmagukban meglehetősen elkülönülnek az ellipszis közepétől.

Második törvény - a területek törvénye

Kepler második törvényét „területek törvényének” nevezik.

Az egyenlő területeket azonos időközönként vizsgálják.

Ha S a Nap és M egy bolygó bármely helyzete, a két C és D helyzet közötti [ SM ] szegmens által söpört terület (a felszín) megegyezik a két E és F helyzet közötti szegmens által söpört területtel, ha a C és D pozíció közötti idő megegyezik az E és F pozíció közötti időtartammal . Egy bolygó sebessége tehát nagyobb lesz, amikor a bolygó a Naphoz közelít. A legnagyobb a legrövidebb sugár ( perihelion ) közelében, a legkisebb pedig a legnagyobb sugár ( afélia ) közelében.

Ebből a második törvényből arra következtetünk, hogy a bolygón kifejtett erő folyamatosan a Nap felé irányul. Kepler azt írta egy kollégájának: Egy dolog biztos: a Napból olyan erő árad, amely megragadja a bolygót .

Kepler-egyenlet közvetlenül a területek törvényéből következik, amely lehetővé teszi a lefedett terület megtalálását a bolygó pontos helyzetének függvényében.

Valójában Kepler második törvénye azt sugallja, hogy a bolygó felgyorsul, amikor megközelíti a Napot, és lassul, ha eltávolodik a Naptól. A sebesség tehát nem állandó, hanem csak a terület sebessége (a bolygó egyenlő területeket söpör azonos időközönként). Ezért a bolygó nem lépte át a 90 ° -os szöget, hanem egy területet söpört be .

Az egyenlet formájú . A M a lefedett terület (ismert, mint az átlagos anomália), e excentricitásának és E az a szög, a központban az ellipszis.

Mivel a Kepler-egyenlet a nemlineáris (in ), az inverz probléma, melynek összege a megállapítás a szög a bolygó függvényében a terület (és így az idő), nem egy egyszerű megoldás. De létezik egy pontos megoldás sorozat (végtelen összegek) formájában, valamint Newton módszerével kapott E n közelítések formájában . Például E 0 = M értékből kiindulva :

.

Harmadik törvény - A periódusok törvénye

Kepler harmadik törvényét „időszakok törvényének” vagy „harmonikus törvénynek” nevezik.

A tér a sziderikus időszak P egy bolygó (idő két egymást követő passzálással előtt egy csillag ) egyenesen arányos a kocka a félig főtengelye egy az elliptikus pályán a bolygó:

A k állandó. A törvények az egyetemes tömegvonzás által megadott Isaac Newton lehetővé teszik, hogy meghatározza ezt az állandó függvényében a gravitációs állandó G , a tömege a Nap M ⊙ és a tömege a bolygó m kering a Nap szerinti

vagyis M >> m-rel

Azáltal, hogy a távolságokat csillagászati ​​egységekben és az évek periódusait fejezi ki, a törvény nagyon egyszerűen kifejeződik:

Ebből a harmadik törvényből, amelyet „Kepler harmonikus törvényének” is neveznek (mivel az invariantust a Naprendszer egészében kifejezi, „ezért” ennek bizonyos harmóniáját, az összes bolygó mozgását egyetemes törvényben egyesítve), arra következtetünk, hogy a kifejtett erő és a figyelembe vett bolygó tömege között állandó tényező van, amely az univerzális gravitációs állandó vagy gravitációs állandó .

Ez a képlet az ellipszisével együtt lehetővé teszi az elliptikus pálya különböző paramétereinek kiszámítását nagyon kevés információ alapján. Valójában Johann Lambert ( 1728 - 1777 ) kimutatta, hogy három keltezett helyzet ismerete tette lehetővé a mozgás paramétereinek megtalálását.

Kepler harmadik törvényének newtoni formája

Isaac Newton megértette a klasszikus mechanika törvényei és Kepler harmadik törvénye közötti kapcsolatot. A következő képletet vonta le:

, gyakrabban formában

vagy:

Csillag / bolygó rendszer esetén a bolygó tömege elhanyagolható a csillag tömegéhez képest :

Demonstráció


A területek törvényének megalkotásával kezdjük:

Bármelyiket . Megvan . Szóval . Hagy súrolt terület a vektor által alatt és változása során ugyanabban az időben. Van , ahol . Az ellipszis területe egyenlő , erre következtetünk . Ezen kívül van . Ezt honnan vezetjük le, négyzettel .

Mikor érvényesek ezek a törvények?

A klasszikus matematikai gyakorlat abból áll, hogy bemutatjuk, hogy Kepler három törvényét találjuk egy mozgó testre nézve attól a pillanattól kezdve, hogy beismerjük, hogy ez a test egy gyorsulásnak van kitéve, fordítottan arányos a rögzített ponthoz tartozó távolság négyzetével, és e pont felé irányul. 1 / r²-ben gyorsulásról beszélünk. Ugyanazon testre, amely különböző kezdeti körülmények között helyezkedik el, a harmadik törvény alkalmazandó, a problémától függő együtthatóval.

A gravitáció esete

Elismerve, hogy a Nap végtelenül nehéz a bolygókhoz képest, és elhanyagolva a köztük fennálló kölcsönhatásokat, azt látjuk, hogy a bolygókra a három törvény vonatkozik.

Sőt, a dinamika alapelvének (Newton második törvénye) és a gravitáció egyetemes törvényének egyesítésével azt találjuk, hogy a gyorsulás független a mozgó test tömegétől egy olyan mozgás esetén, amelyre az alkalmazott erő gravitáció. Ennek eredményeként a harmadik törvényállandó megegyezik minden bolygóval, de más, a Nap körül keringő testekkel is, ha nincsenek más test jelentős gravitációs hatása alatt.

A Kepler-törvények alkalmazhatók bármely más testre, amely egy domináns központi tárgy körül kering; csak a harmadik törvény állandója változik, ennek a központi objektumnak a tömegétől függően. Ilyen például a Hold a Földhöz viszonyítva , vagy egy körülötte keringő mesterséges műhold , valamint a Naprendszer bolygóinak több holdja.

Két test problémája

A Kepler-törvények egyszerűen alkalmazhatók két test problémájánál , túlsúlyban lévő központi objektum jelenléte nélkül: ebben az esetben (mint az általános esetben is) az első két törvényre hivatkozott központi pont nem a leginkább masszív testközpont, de az egymással kölcsönhatásban lévő tárgyak tömegközéppontja (vagy barycentere).

A gravitációtól eltérő erők esete

Mint fentebb említettük, Kepler törvényei nem korlátozódnak a gravitációra. Bármely orbitális gyorsulásra vonatkoznak, amely 1 / r²-ben nyilvánul meg. Ugyanakkor ez a helyzet Coulomb elektrosztatikai törvényével is .

A Kepler-törvények példája megemlíthető az atommag körül keringő elektronok egyes modelljeiben is. A Bohr - Sommerfeld modell az ellipszis pályákat is megjósolja az elektronok számára. Másrészt már nincs függetlenségünk a mozgó test tömegétől. A harmadik törvény állandója az erő és a tömeg állandóitól függ (egyik elektrontól a másikig független).

A kvantumfizika azonban manapság úgy véli, hogy ez az atomok körüli elliptikus pályán lévő elektronok fogalma csak közelítés, ami egykor hasznos volt a kutatók számára.

Új égitestek felfedezése

Johannes Kepler felfedezi törvényeit a Tycho Brahe által megállapított csillagászati ​​megfigyelések jelentős elemzésének köszönhetően, amelyek sokkal pontosabbak, mint a már ismertek, különösen a Mars helyzetére támaszkodik , akinek mozgását 1600 óta tanulmányozza. Meggyőződése hogy a nap valamilyen módon vagy úgy a Naprendszer "igazi" középpontja (a külső bolygók esetében, mint a Mars, a Kopernikusz a Nap közelében egy fiktív pontot használ egy kör központjaként, amelyen egyenletes sebességgel forog a középpont egy kis epiciklus, amely a bolygót hordozza). E meggyőződés vezérelte és hosszú vándorlás után végül felfedezte, hogy a bolygók mozgása elliptikus , a nap az ellipszis gyújtópontjába kerül. Eredményeit és azok elérésének módját az 1609-ben megjelent, de valójában 1605 végén elkészült fő műve, az Astronomia nova rögzíti .

Törvényei maguk is lehetővé tették a csillagászati ​​kutatások finomítását és az ismert testmozgások szabálytalanságainak kiemelését az elemzés meghökkentő előrehaladásával.

A leglátványosabb példája az volt, hogy a szabálytalanságok a Uránusz , amely lehetővé tette a felfedezés a Neptune által Le Verrier ( 1811-ben - 1877-ben ), számítással: felfedezés megerősítette az a megfigyelés, a Galle ( 1812-es - 1910-ben ) a 1846 .

Azt is meg tudta állapítani, hogy a születés napján a jászol fölött megjelenő csillag a Vénusz bolygó volt , amely különösen azon az éjszakán volt látható. Kepler felfedezése tehát lehetővé teszi, hogy ezt az eseményt -8. Év december 24-25.

Megjegyzések és hivatkozások

  1. Taillet, Villain és Febvre 2018 , sv Kepler (törvényei), p.  410, oszlop  1 .
  2. Capderou 2011 , fej .  4 , Sect. 4.8 , §  4.8.1 , p.  131, n.  17 .
  3. Wilson 2000 , p.  225-226.
  4. Wilson 2000 , p.  226.
  5. Biémont 1999 , 1 st  rész. , fej.  1 st , §  1.1 , p.  19.
  6. Capderou 2011 , fej .  4 , Sect. 4.8 , §  4.8.1 , p.  133.
  7. Jean-Pierre Verdet, A csillagászat története , Párizs, Editions du Seuil , gyűjt.  "Tudományos pontok",1990, 384  p. ( ISBN  2-02-011557-3 ) , p.  151-152
  8. Cassidy, Holton és Rutherford 2015 , 1 st  rész. , fej.  2 , §  2,10 , p.  91.
  9. Cassidy, Holton és Rutherford 2015 , 1 st  rész. , fej.  2 , §  2,10 , p.  94.
  10. Részletesebb vitához lásd : Kepler törvényeinek igazolása  ; majd műhold , orbitográfia
  11. A publikációt késleltetik Tycho Brahe örökösei, akiknek megfigyeléseit Kepler határozottan használja; jogokat követelnek, és nem elégedettek azzal, hogy Kepler elutasította a dán csillagász geo-heliocentrikus rendszerét Owen Gingerich (1993), Az ég szeme , Amerikai Fizikai Intézet, bevezető o.  45 , és p.  41–45 .

Lásd is

Bibliográfia

Kapcsolódó cikkek

Külső linkek

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">