Korteweg-de Vries egyenlet
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/35px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png)
Ez a cikk a
matematikát vázolja fel .
Megoszthatja ismereteit fejlesztésével ( hogyan? ) A megfelelő projektek ajánlásai szerint .
A matematikában a Korteweg-de Vries egyenlet (röviden KdV) matematikai modell a sekély hullámokra. Ez egy nagyon jól ismert példa egy nemlineáris parciális differenciálegyenletre, amelyre pontosan ismerjük a megoldásokat. Ezek a megoldások magukban foglalják (de nem kizárólag) a solitonokat . Ezeket a megoldásokat inverz diffúziós transzformációval lehet kiszámítani (ugyanaz az elv, mint a hőegyenlet megoldása ). Ez egy példa egy diszperz parciális differenciálegyenletre .
Az egyenlet neve Diederik Korteweg és Gustav de Vries (in), akik tanultak, bár az egyenletet Joseph Boussinesq korábban feldolgozta .
Meghatározás
Ez egy nemlineáris és diszperziós parciális differenciál egyenletet egy funkciója φ két valós változók , x és t :
∂tφ+∂x3φ+6.φ∂xφ=0{\ displaystyle \ részleges _ {t} \ varphi + \ részleges _ {x} ^ {3} \ varphi +6 \ varphi \ részleges _ {x} \ varphi = 0}![{\ displaystyle \ részleges _ {t} \ varphi + \ részleges _ {x} ^ {3} \ varphi +6 \ varphi \ részleges _ {x} \ varphi = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4de54df1e12501ebe4262e6c9da3b3560ec7a4e7)
ahol ∂ x és ∂ t képviseli a részleges származékok tekintetében x és t .
Alkalmazás
A szélhámos hullám egy nagyon magas óceáni hullám , amely modellezhető nemlineáris egyenletek, például a Boussinesq hullámegyenlet vagy a Korteweg-de Vries egyenlet külön megoldásaként.
Változatok
A KdV hullámegyenletnek sok változata van. Különösen a következő egyenleteket sorolhatjuk fel.
Vezetéknév
|
Egyenlet
|
---|
Korteweg - de Vries (KdV)
|
∂tφ+∂x3φ+6.ϕ∂xφ=0{\ displaystyle \ displaystyle \ részleges _ {t} \ varphi + \ részleges _ {x} ^ {3} \ varphi +6 \, \ phi \, \ részleges _ {x} \ varphi = 0}
|
KdV (hengeres)
|
∂tu+∂x3u-6.u∂xu+u/2t=0{\ displaystyle \ displaystyle \ részleges _ {t} u + \ részleges _ {x} ^ {3} u-6 \, u \, \ részleges _ {x} u + u / 2t = 0}
|
KdV (torz)
|
∂tu+∂x(∂x2u-2ηu3-3u(∂xu)2/2(η+u2))=0{\ displaystyle \ displaystyle \ részleges _ {t} u + \ részleges _ {x} (\ részleges _ {x} ^ {2} u-2 \, \ eta \, u ^ {3} -3 \, u \ , (\ részleges _ {x} u) ^ {2} / 2 (\ eta + u ^ {2})) = 0}
|
KdV (általánosított)
|
∂tu+∂x3u=∂x5.u{\ displaystyle \ displaystyle \ részleges _ {t} u + \ részleges _ {x} ^ {3} u = \ részleges _ {x} ^ {5} u}
|
Korteweg-de Vries általánosított (en)
|
∂tu+∂x3u+∂xf(u)=0{\ displaystyle \ displaystyle \ részleges _ {t} u + \ részleges _ {x} ^ {3} u + \ részleges _ {x} f (u) = 0}
|
Korteweg-de Vries ( 7 th sorrendben Lax)
|
∂tu+∂x{35u4+70(u2∂x2u+u(∂xu)2)+7[2u∂x4u+3(∂x2u)2+4∂x∂x3u]+∂x6.u}=0{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ részleges _ {t} u + \ részleges _ {x} és \ balra \ {35u ^ {4} +70 \ balra (u ^ {2} \ részleges _ {x} ^ {2} u + u \ bal (\ részleges _ {x} u \ jobb) ^ {2} \ jobb) \ jobb. \\ & \ bal. \ Quad +7 \ bal [2u \ részleges _ {x} ^ {4} u + 3 \ bal (\ részleges _ {x} ^ {2} u \ jobb) ^ {2} +4 \ részleges _ {x} \ részleges _ {x} ^ {3} u \ jobb] + \ részleges _ {x} ^ {6} u \ jobb \} = 0 \ vége {igazítva}}}
|
Módosított Korteweg-de Vries egyenlet
|
∂tu+∂x3u±6.u2∂xu=0{\ displaystyle \ displaystyle \ részleges _ {t} u + \ részleges _ {x} ^ {3} u \ pm 6 \, u ^ {2} \, \ részleges _ {x} u = 0}
|
KdV (módosítva módosítva)
|
∂tu+∂x3u-(∂xu)3/8.+(∂xu)(NAK NEKeNak neku+B+VSe-Nak neku)=0{\ displaystyle \ displaystyle \ részleges _ {t} u + \ részleges _ {x} ^ {3} u - (\ részleges _ {x} u) ^ {3} / 8 + (\ részleges _ {x} u) (A \ mathrm {e} ^ {au} + B + C \ mathrm {e} ^ {- au}) = 0}
|
KdV (gömb alakú)
|
∂tu+∂x3u-6.u∂xu+u/t=0{\ displaystyle \ displaystyle \ részleges _ {t} u + \ részleges _ {x} ^ {3} u-6 \, u \, \ részleges _ {x} u + u / t = 0}
|
Super Korteweg-de Vries egyenlet
|
∂tu=6.u∂xu-∂x3u+3w∂x2w{\ displaystyle \ displaystyle \ részleges _ {t} u = 6 \, u \, \ részleges _ {x} u- \ részleges _ {x} ^ {3} u + 3 \, w \, \ részleges _ {x } ^ {2} w} ,
∂tw=3(∂xu)w+6.u∂xw-4∂x3w{\ displaystyle \ displaystyle \ részleges _ {t} w = 3 \, (\ részleges _ {x} u) \, w + 6 \, u \, \ részleges _ {x} w-4 \, \ részleges _ { x} ^ {3} w}
|
KdV (átmenet)
|
∂tu+∂x3u-6.f(t)u∂xu=0{\ displaystyle \ displaystyle \ részleges _ {t} u + \ részleges _ {x} ^ {3} u-6 \, f (t) \, u \, \ részleges _ {x} u = 0}
|
KdV (változó együtthatókkal)
|
∂tu+βtnem∂x3u+αtnemu∂xu=0{\ displaystyle \ displaystyle \ részleges _ {t} u + \ beta \, t ^ {n} \, \ részleges _ {x} ^ {3} u + \ alfa \, t ^ {n} u \, \ részleges _ {x} u = 0}
|
Korteweg-de Vries-Burgers egyenlet
|
∂tu+μ∂x3u+2u∂xu-v∂x2u=0{\ displaystyle \ displaystyle \ részleges _ {t} u + \ mu \, \ részleges _ {x} ^ {3} u + 2 \, u \, \ részleges _ {x} u- \ nu \, \ részleges _ {x} ^ {2} u = 0}
|
Hivatkozások
-
DJ Korteweg és G. de Vries : „ A téglalap alakú csatornában előrehaladó hosszú hullámok formájának változásáról és a hosszú, álló stacionárius hullámok új típusáról ”, Philosophical Magazine , vol. 39,1895, P. 422-443
-
J. Boussinesq , " Esszé a folyó vizek elméletéről ", Emlékiratok, amelyeket különféle tudósok mutattak be Acadnak. a Sci. Inst. Nat. Franciaország, XXIII ,1877, P. 1–680
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">