Ekviprojektivitás a fizikában
Az équiprojectivité a nyomatékok alapvető tulajdonsága . A fizikában az ine 3 affin térben lévő vektor mezőkre korlátozódunk , vagyis az ortonormális koordinátarendszerrel ellátott valós térre .
Meghatározás
Egyenértékű mező
Ha figyelembe vesszük a vektorok egy olyan területét , amelyet néha "pillanatoknak" neveznek, akkor definíció szerint a pillanat vektorok mezője ekvivalens, ha két P és Q pont esetében:
M→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {\ mathcal {M}}}}![{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {\ mathcal {M}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90c630c7c6722c560ec47853847e0ee8e8a11ee3)
M→(P)⋅PQ→=M→(Q)⋅PQ→{\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} (\ mathrm {P}) \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {PQ}}} = {\ vec {\ mathcal {M}}} (\ mathrm { Q}) \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {PQ}}}}![{\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} (\ mathrm {P}) \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {PQ}}} = {\ vec {\ mathcal {M}}} (\ mathrm { Q}) \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {PQ}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a81d54bf01c8daab072dd543ea14f098b7d1caa3)
.
Eredmény vektor
Ha a mező egyenértékű, akkor létezik egy eredménynek nevezett vektor , például:
M→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {\ mathcal {M}}}}
R→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {\ mathcal {R}}}}![{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {\ mathcal {R}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/267851f117d89871cf68ce358e6123d5d9c76d03)
M→(P)=M→(Q)+PQ→∧R→{\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} (\ mathrm {P}) = {\ vec {\ mathcal {M}}} (\ mathrm {Q}) + {\ overrightarrow {\ mathrm {PQ} }} \ wedge {\ vec {\ mathcal {R}}}}![{\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} (\ mathrm {P}) = {\ vec {\ mathcal {M}}} (\ mathrm {Q}) + {\ overrightarrow {\ mathrm {PQ} }} \ wedge {\ vec {\ mathcal {R}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/356f69d65d9d57da3b92186dd6d34f6ec433e85e)
.
Látjuk, hogy ez merőleges , ezért ez a kifejezés eltűnik a skaláris szorzat során .
PQ→∧R→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ overrightarrow {\ mathrm {PQ}}} \ ék {\ vec {\ mathcal {R}}}}
PQ→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ overrightarrow {\ mathrm {PQ}}}}
PQ→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ overrightarrow {\ mathrm {PQ}}}}![{\ displaystyle \ scriptstyle {\ overrightarrow {\ mathrm {PQ}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a15f9df1e17022cb681efdde54e568112ad2bd66)
A torzót a kapott vektor és a vektormezője jelöli , amelyet momentumvektor mezőnek nevezünk.
R→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {\ mathcal {R}}}}
M→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {\ mathcal {M}}}}![{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {\ mathcal {M}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90c630c7c6722c560ec47853847e0ee8e8a11ee3)
Így, ha ismerjük a kapott vektort és egy pillanatvektort egy ponton, akkor bármely pontban meg tudjuk határozni a pillanatvektort. Ezt használják a mechanikában.
Mozi
Sebesség mező
Tekintsük a szilárd anyag térének pontsebesség-vektorait . Ha a szilárd anyag nem alakítható, akkor a pontok nem mozdulnak el, és nem is közelítenek. Tehát, ha két O és M pontot vesszük figyelembe, az [OM] szakasz azonos hosszúságú marad:
v→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {vb}}}![\ scriptstyle {\ vec {vb}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a22ea722fa1095eb63f41c95385e74b4eae216b9)
ddtOM→2=0=2.OM→.ddtOM→=2.OM→.(dMdt→-dOdt→){\ displaystyle {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} {\ overrightarrow {OM}} ^ {2} = 0 = 2. {\ overrightarrow {OM}}. {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} {\ overrightarrow {OM}} = 2. {\ overrightarrow {OM}}. \ balra ({\ overrightarrow {\ mathrm {d} M \ over \ mathrm {d} t}} - { \ overrightarrow {\ mathrm {d} O \ over \ mathrm {d} t}} \ right)}![{\ displaystyle {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} {\ overrightarrow {OM}} ^ {2} = 0 = 2. {\ overrightarrow {OM}}. {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} {\ overrightarrow {OM}} = 2. {\ overrightarrow {OM}}. \ balra ({\ overrightarrow {\ mathrm {d} M \ over \ mathrm {d} t}} - { \ overrightarrow {\ mathrm {d} O \ over \ mathrm {d} t}} \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f12bec95d67b9035d0abf114d2e6f712e06e39e4)
Ebből következik, hogy a de és a de vetületei megegyeznek, akár a skaláris szorzat meghatározása szerint :
OM→{\ displaystyle \ scriptstyle {\ overrightarrow {OM}}}
v→(O){\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {v}} (\ mathrm {O})}
v→(M){\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {vb}} (\ mathrm {M})}![{\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {vb}} (\ mathrm {M})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24186c5215151c40d7375f2eedc6f8963aae5c4a)
v→(O)⋅OM→=v→(M)⋅OM→{\ displaystyle {\ vec {v}} (\ mathrm {O}) \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} = {\ vec {v}} (\ mathrm {M}) \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}}![{\ displaystyle {\ vec {v}} (\ mathrm {O}) \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} = {\ vec {v}} (\ mathrm {M}) \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/252b403d763345f1b42e5b3b7214f58c3a70e17e)
.
A sebességvektorok mezője tehát egyenértékű.
A sebességmező eredménye
A sebességvektorok mezője esetén az eredmény a forgássebesség- vektor . Akkor megvan
V→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {V}}}}
Ω→{\ displaystyle {\ vec {\ Omega}}}![{\ vec {\ Omega}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/367f42c8ae5d9ce4fb6020c7f0820dea7bedafb6)
V→(O)=V→(M)+OM→∧Ω→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {V}}} (\ mathrm {O}) = {\ vec {\ mathrm {V}}} (\ mathrm {M}) + {\ overrightarrow {\ mathrm {OM} }} \ ék {\ vec {\ Omega}}}![{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {V}}} (\ mathrm {O}) = {\ vec {\ mathrm {V}}} (\ mathrm {M}) + {\ overrightarrow {\ mathrm {OM} }} \ ék {\ vec {\ Omega}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd3f7ae25de4681dbd52e58c6c3c07a0ae46aba2)
.
Ez indokolja a grafikus felbontás módszerét a pillanatnyi forgásközponttal (CIR).
Grafikus ábrázolás
Az egyenértékűség ezen tulajdonsága biztosítja a kinematika grafikus felbontásának módszerét :
- ha a tárgy O pontjának sebességvektora ismert, például egy működtetővel érintkező pont (emelő rúdjának vége, fogaskerék fog);v→(O){\ displaystyle {\ vec {v}} (\ mathrm {O})}
![{\ displaystyle {\ vec {v}} (\ mathrm {O})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35a2a599709220c1357ea7e48817538aa2d05a13)
- ha az irány az objektum M pontjának vektorsebességéből ismert , például a vezetőeszközzel érintkező pont ( összekötő csukló , csúszó csatlakozás );Δv→(M){\ displaystyle \ Delta _ {{\ vec {v}} (\ mathrm {M})}}
![{\ displaystyle \ Delta _ {{\ vec {v}} (\ mathrm {M})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7835346522a71c61301f61d02efd698cca6a623)
- így
- meghatározzuk az (OM) vetületét ,v→(O){\ displaystyle {\ vec {v}} (\ mathrm {O})}
![{\ displaystyle {\ vec {v}} (\ mathrm {O})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35a2a599709220c1357ea7e48817538aa2d05a13)
- ezt a szegmenst M-ben jelentjük,
- ennek a szegmensnek az inverz vetületét végezzük el , amely megadja .Δv→(M){\ displaystyle \ Delta _ {{\ vec {v}} (\ mathrm {M})}}
v→(M){\ displaystyle {\ vec {vb}} (\ mathrm {M})}![{\ displaystyle {\ vec {vb}} (\ mathrm {M})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a967bff51cee5fb110c3229571d272e54c466617)
A módszer a pillanatnyi forgásközép módszer alternatívája .
Megjegyezzük, hogy a felbontás analitikai módszerével mindig lehetséges olyan nagy pontosságú eredményeket elérni, amennyire csak akarja: a vektoregyenletnek a tér három tengelyére, X, Y és Z-re történő vetítésével három algebrai egyenletet kapunk megoldani. Valójában, ha a grafikai módszer érdekes pedagógiai szempontból és kellően pontos eredményeket ad a hagyományos alkalmazások többségéhez, ezek az eredmények a végrehajtott nyomkövetés pontosságától függenek. Különösen általában nem lehet választani a figyelembe vett pontokat, és ha a vektorok irányai túl alacsony szögeket képeznek, az eredményeket egy pontatlanság rontja, amely már nem elhanyagolható.
Statikus
A pillanatvektort egy olyan erő P pontjához viszonyítva, amelynek alkalmazási pontja Q, az határozza meg
F→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}}}![{\ vec {\ mathrm {F}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a849de3f893aa36aa17dcd2819533d7a71dbfea4)
M→P(F→)=PQ→∧F→{\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {P}} ({\ vec {\ mathrm {F}}}) = {\ overrightarrow {\ mathrm {PQ}}} \ ék { \ vec {\ mathrm {F}}}}![{\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {M}}} _ {\ mathrm {P}} ({\ vec {\ mathrm {F}}}) = {\ overrightarrow {\ mathrm {PQ}}} \ ék { \ vec {\ mathrm {F}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db27525e67028c25c7db22c9a9f1e7a88275b276)
.
Látjuk, hogy a momentumvektorok mezője a kapott vektor ekvivalens mezője, amelynek értéke Q-ban . Ez a tulajdonság a statikus torzor meghatározására szolgál .
F→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}}}
0→{\ displaystyle {\ vec {0}}}![{\ vec {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e76498919cf387316fc79d04120c59a8d430ef36)
Lásd is
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">