Mason-Weaver egyenlet

A Mason-Weaver egyenlet egy leíró egyenletet szedimentációs és diffúziós a oldott anyagok hatása alatt egy egységes erő , tipikusan egy gravitációs mezőben .

Matematikai kifejezés

Feltételezve, hogy a gravitáció z irányba orientált mező , a Mason-Weaver egyenlet írható

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges c} {\ részleges t}} = D {\ frac {\ részleges ^ {2} c} {\ részleges z ^ {2}}} + sg {\ frac {\ részleges c } {\ részleges z}}}

ahol t az idő, c a lineáris koncentráció az oldott anyag (mol per egységnyi hosszra a z irányban ), és a paraméterek a D , s és g rendre az diffúziós koefficiense a oldott anyag , a szedimentációs koefficiens és a gyorsulás a gravitációs (állandónak feltételezzük).

A Mason-Weaver egyenletet határfeltételek egészítik ki . Ha feltételezzük, hogy a cella téglalap alakú és egy derékszögű koordinátarendszerhez igazodik; nekünk van

{\ displaystyle D {\ frac {\ részleges c} {\ részleges z}} + sgc = 0}

a cella tetején és alján, amelyet $z ,$ illetve $z b$ $jelölnek$ . Ezek a határfeltételek megfelelnek annak a ténynek, hogy fizikailag lehetetlen, hogy az oldott anyag áthaladjon a cella falain, és hogy az ottani fluxusnak nulla kell lennie. Hasonlóképpen, az oldalfalak áramlásának nullának kell lennie. Következésképpen a cellában lévő oldott anyagok teljes mennyisége

{\ displaystyle N _ {\ text {tot}} = \ int _ {z_ {b}} ^ {z_ {a}} dz \ c (z, t)}

tartják, azaz . ${\ displaystyle dN _ {\ text {tot}} / dt = 0}$

A Mason-Weaver egyenlet megszerzése

Ülepedési ráta

Az összenyomhatatlan folyadékban a részecskére gyakorolt erőt a Basset - Boussinesq - Oseen egyenlet adja :

{\ displaystyle m_ {p} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {V}} {\ mathrm {d} t}} = - \ alátét {3 \ pi \ mu d_ {p} \ mathbf {V} } _ {\ text {drag (Stokes)}} - \ alátét {{\ frac {m_ {f}} {2}} \, {\ frac {{\ text {d}} \ mathbf {V}} {{ \ text {d}} t}}} _ {\ text {added mass}} - \ alátét {{\ frac {3} {2}} d_ {p} ^ {2} {\ sqrt {\ pi \ rho _ {f} \ mu}} \ int _ {- \ infty} ^ {t} {\ frac {1} {\ sqrt {t- \ tau}}} \, {\ frac {{\ text {d}} \ mathbf {V}} {{\ text {d}} \ tau}} \, {\ text {d}} \ tau} _ {\ text {Basset force}} + \ underbrace {(m_ {p} -m_ { f}) \ mathbf {g}} _ {\ text {arkhimédészi tolóerő}}}

val vel

$d_ {p}$	részecske átmérő,
${\ displaystyle m_ {f} = {\ frac {\ rho _ {f}} {\ rho _ {p}}} m_ {p}}$	kiszorított folyadék tömege,
${\ displaystyle \ rho _ {f}, \ rho _ {p}}$	folyadék- és részecskesűrűség,
$\ mu$	a folyadék dinamikus viszkozitása ,
${\ mathbf {g}}$	a közegnek kitett gyorsulási mező.

Itt nagyon alacsony az a jellemző idő, amelyet a részecske elér a határsebességének eléréséhez, amelyet a rá ható erők egyensúlya ad meg (a molekuláris oldott anyagokra jellemzően 10 ns). Feltételezzük tehát, hogy ez az egyensúly mindenkor igaz. A sebességkorlátozást a következőképpen vezetjük le : ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {V}} {\ mathrm {d} t}} = 0}$

{\ displaystyle \ mathbf {V} _ {l} = {\ frac {m_ {p} -m_ {f}} {3 \ pi \ mu d_ {p}}} \ mathbf {g}}

Az ülepedési együtthatót a következők határozzák meg:

{\ displaystyle s = {\ frac {V_ {l}} {g}}}

Az áramlást a következők adják:

{\ displaystyle \ mathbf {J} = -D \ nabla c- \ mathbf {V} _ {l} \, c = -D \ nabla cs \, c \, \ mathbf {g}}

Az első kifejezés az anyag diffúziójának miatti fluxust írja le a koncentrációs gradiens hatása alatt , míg a második kifejezés a konvektív fluxust írja le a részecskék átlagos sebessége miatt. ${\ displaystyle V_ {l}}$

Természetvédelmi egyenlet

Meghatározhatunk egy természetvédelmi törvényt egy kiterjedt változóra , amelyet sebességgel hajtunk be, és a mennyiségi termelési kifejezést is belefoglaljuk : $\ phi$ ${\ displaystyle \ mathbf {V}}$ $S$

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges t}} + \ nabla \ cdot (\ phi \ mathbf {V}) = S}

Esetünkben , és . ${\ displaystyle \ phi = c}$ ${\ displaystyle \ mathbf {V} = {\ frac {\ mathbf {J}} {c}}}$ ${\ displaystyle S = 0}$

A fluxus kifejezéssel való helyettesítésével megkapjuk a Mason-Weaver egyenletet:

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges c} {\ részleges t}} = D \ nabla ^ {2} c + s \ nabla \ cdot (\ mathbf {c \, g})}

Legyen, egy dimenziója teret Z igazodik g állandó feltétellel:

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges c} {\ részleges t}} = D {\ frac {\ részleges ^ {2} c} {\ részleges z ^ {2}}} + s \, g {\ frac { \ részleges c} {\ részleges z}}}

A dimenzió nélküli Mason-Weaver egyenlet

A D , s és g paraméterek meghatározzák a jellemző hosszúságot ${\ displaystyle z_ {0}}$

{\ displaystyle z_ {0} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {D} {sg}}}

és jellegzetes idő $t_ {0}$

{\ displaystyle t_ {0} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {D} {s ^ {2} g ^ {2}}}}

Meghatározva a dimenziótlan mennyiségek és a Mason-Weaver egyenlet: ${\ displaystyle \ zeta \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ z / z_ {0}}$ ${\ displaystyle \ tau \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ t / t_ {0}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges c} {\ részleges \ tau}} = {\ frac {\ részleges ^ {2} c} {\ részleges \ zeta ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges c } {\ részleges \ zeta}}}

figyelemmel a peremfeltételek

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges c} {\ részleges \ zeta}} + c = 0}

a tetején és alján a sejt, illetve és a . ${\ displaystyle \ zeta _ {a}}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {b}}$

A Mason-Weaver egyenlet megoldása

Ez a részleges differenciálegyenlet változó elválasztási módszerrel megoldható . Pózolással két közönséges differenciálegyenletet kapunk, konstanssal összekapcsolva ${\ displaystyle c (\ zeta, \ tau) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ e ^ {- \ zeta / 2} T (\ tau) P (\ zeta)}$ $\ béta$

{\ displaystyle {\ frac {dT} {d \ tau}} + \ beta T = 0}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} P} {d \ zeta ^ {2}}} + \ balra [\ beta - {\ frac {1} {4}} \ jobbra] P = 0}

ahol a lehetséges értékeit a határfeltételek határozzák meg $\ béta$

{\ displaystyle {\ frac {dP} {d \ zeta}} + {\ frac {1} {2}} P = 0}

a felső és az alsó határokon , ill. Mivel a T egyenlete elfogadja azokat a megoldásokat, ahol állandó, Mason-Weaver egyenletének megoldása a függvény megtalálásához redukálódik . ${\ displaystyle \ zeta _ {a}}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {b}}$ ${\ displaystyle T (\ tau) = T_ {0} e ^ {- \ beta \ tau}}$ ${\ displaystyle T_ {0}}$ ${\ displaystyle P (\ zeta)}$

A P és annak feltételei közönséges differenciálegyenletei megfelelnek a Sturm-Liouville elmélet kritériumainak, amely számos következtetéshez vezet. Először is létezik egy ortonormált halmaza a sajátfüggvények , amely egy oldat, a differenciálegyenletek és kielégíti a peremfeltételek. Továbbá a megfelelő sajátértékek valósak, alá korlátozták a sajátérték és növekednek aszimptotikusan mint ahol a természetes szám k a rangot a sajátfüggvények. Jelen esetben a legkisebb sajátérték nulla, ami megfelel az egyensúlynak. Végül a sajátfunkciók egy teljes halmazt alkotnak ; bármely megoldása kifejezhető a sajátfunkciók lineáris kombinációjaként ${\ displaystyle P_ {k} (\ zeta)}$ ${\ displaystyle \ beta _ {k}}$ ${\ displaystyle \ beta _ {0}}$ ${\ displaystyle k ^ {2}}$ ${\ displaystyle c (\ zeta, \ tau)}$

{\ displaystyle c (\ zeta, \ tau) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} c_ {k} P_ {k} (\ zeta) e ^ {- \ beta _ {k} \ tau} }

hol vannak a kezdeti eloszlásból meghatározott állandó együtthatók ${\ displaystyle c_ {k}}$ ${\ displaystyle c (\ zeta, \ tau = 0)}$

{\ displaystyle c_ {k} = \ int _ {\ zeta _ {a}} ^ {\ zeta _ {b}} d \ zeta \ c (\ zeta, \ tau = 0) e ^ {\ zeta / 2} P_ {k} (\ zeta)}

A definíció szerinti egyensúlyban és az egyensúlyi koncentráció eloszlás: $\ beta = 0$

{\ displaystyle e ^ {- \ zeta / 2} P_ {0} (\ zeta) = Be ^ {- \ zeta} = Be ^ {- m_ {b} gz / k_ {B} T}}

amely egyetért a Boltzmann terjesztésével .

A függvények differenciálegyenletek megoldásai, és kielégítik a határfeltételeket az összes értékre vonatkozóan (amelyek helyettesítéssel ellenőrizhetők), és a B állandó meghatározható az oldott anyag teljes mennyiségéből . ${\ displaystyle P_ {0} (\ zeta)}$ $\ zeta$

{\ displaystyle B = N_ {tot} \ balra ({\ frac {sg} {D}} \ jobbra) \ balra ({\ frac {1} {e ^ {- \ zeta _ {b}} - e ^ { - \ zeta _ {a}}}} \ jobbra)}

A sajátértékek egyensúlyon kívüli megtalálásához a következőképpen járunk el. A P egyenlet egyszerű megoldások harmonikus oszcillátorának alakja, ahol ${\ displaystyle \ beta _ {k}}$ ${\ displaystyle P (\ zeta) = e ^ {i \ omega _ {k} \ zeta}}$

{\ displaystyle \ omega _ {k} = \ pm {\ sqrt {\ beta _ {k} - {\ frac {1} {4}}}}}

Attól függően, hogy az értéke , az vagy tisztán valós ( ) vagy tiszta képzetes ( ). Csak egy tiszta képzeletbeli megoldás képes kielégíteni a határfeltételeket, vagyis az egyensúlyi megoldást. Következésképpen az egyensúlyon kívüli sajátfunkciók íródnak ${\ displaystyle \ beta _ {k}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {k}}$ ${\ displaystyle \ beta _ {k} \ geq {\ frac {1} {4}}}$ ${\ displaystyle \ beta _ {k} <{\ frac {1} {4}}}$

{\ displaystyle P (\ zeta) = A \ cos {\ omega _ {k} \ zeta} + B \ sin {\ omega _ {k} \ zeta}}

ahol A és B konstansok és szigorúan pozitív valós. $\omega$

Az oszcillátor amplitúdójának és fázisának új változóként történő bevezetésével $\ rho$ $\ phi$

{\ displaystyle u \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ rho \ sin (\ phi) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ P}

{\ displaystyle v \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ rho \ cos (\ phi) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ - {\ frac {1 } {\ omega}} \ balra ({\ frac {dP} {d \ zeta}} \ jobbra)}

{\ displaystyle \ rho \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ u ^ {2} + v ^ {2}}

{\ displaystyle \ tan (\ phi) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ v / u}

a P másodfokú egyenletét két első fokú egyenletbe osztjuk

{\ displaystyle {\ frac {d \ rho} {d \ zeta}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {d \ phi} {d \ zeta}} = \ omega}

Figyelemre méltó, hogy a kapott peremfeltételek függetlenek a szélső pontoktól és azoktól $\ rho$ ${\ displaystyle \ zeta _ {a}}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {b}}$

{\ displaystyle \ tan (\ phi _ {a}) = \ tan (\ phi _ {b}) = {\ frac {1} {2 \ omega _ {k}}}}

Következésképpen megkapjuk az egyenletet

{\ displaystyle \ phi _ {a} - \ phi _ {b} + k \ pi = k \ pi = \ int _ {\ zeta _ {b}} ^ {\ zeta _ {a}} d \ zeta \ { \ frac {d \ phi} {d \ zeta}} = \ omega _ {k} (\ zeta _ {a} - \ zeta _ {b})}

pontos megoldást adva a frekvenciákra ${\ displaystyle \ omega _ {k}}$

{\ displaystyle \ omega _ {k} = {\ frac {k \ pi} {\ zeta _ {a} - \ zeta _ {b}}}}

A természetes frekvenciák pozitívak, mivel harmonikusok és az alapvető frekvencia halmazából állnak . Végül a sajátértékek lehet venni ${\ displaystyle \ omega _ {k}}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {a}> \ zeta _ {b}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ pi / (\ zeta _ {a} - \ zeta _ {b})}$ ${\ displaystyle \ beta _ {k}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {k}}$

{\ displaystyle \ beta _ {k} = \ omega _ {k} ^ {2} + {\ frac {1} {4}}}

Összességében a nem egyensúlyi oldat komponensei megfelelnek a kiindulási koncentrációeloszlás Fourier-sorozatbeli bomlásának , amelyet súlyozni kell . Minden Fourier komponens csökken, ahogy egymástól függetlenül, mint ahol a jelentése a fent megadott szempontjából a Fourier-sor frekvencia . ${\ displaystyle c (\ zeta, \ tau = 0)}$ ${\ displaystyle e ^ {\ zeta / 2}}$ ${\ displaystyle e ^ {- \ beta _ {k} \ tau}}$ ${\ displaystyle \ beta _ {k}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {k}}$

Megjegyzések és hivatkozások

Hivatkozások

(in) Max Mason és Warren Weaver , " az ülepítő apró részecskék a folyadék " , a Physical Review , vol. 23,1924, P. 412–426
(a) Martin R. Maxey és James J. Riley, „ mozgásegyenletek egy kis merev gömb egy nem egyenletes áramlási ” , fizikája folyadékok A , vol. 26,1983, P. 883-889

Megjegyzések

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben az angol Wikipedia „ Mason - Weaver egyenlet ” című cikkéből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) .

Kapcsolódó cikkek