Sokszög területe

A geometria , a terület egy sokszög az intézkedés a terület (azaz a terület ) a régió által határolt sokszög .

Egyszerű sokszögek

Ha egy egyszerű sokszögnek (azaz bármely oldalpár keresztezése nélkül, a két egymást követő oldalon közös csúcs kivételével) n csúcsa van, amelyek a pontok

{\ displaystyle P_ {0}, \ P_ {1}, \ \ ldots, \ P_ {n} = P_ {0}}

és ha $P i$ rendelkezik koordinátákkal $( x i , y i ),$ akkor a sokszög területét (pozitív számnak tekintjük, ha a csúcsok trigonometrikus irányba rendeződnek, negatívak pedig ellenkező esetben) a következő: ${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} (x_ {i} y_ {i + 1} -x_ {i + 1} y_ {i }),}$ kifejezés, amely értelmezhető az $OP$ $i$ $P$ $i$ $+1$ háromszögek területének összegeként (azonos előjelű konvencióval), vagy ismét: ${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} (x_ {i + 1} + x_ {i}) (y_ {i + 1} - y_ {i}) = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} (x_ {i + 1} -x_ {i}) (y_ {i + 1 } + y_ {i})}$ (ezek a képletek csak egy egyszerű sokszögre érvényesek: például egy antiparallelogram , egy csúccsal összekötött és "nyolcban" keresztezett két egyenlő háromszög egymás mellé helyezése esetén a teljes terület nulla lesz, ami két ellentétes terület, a kettő összességének eredménye. ellentétes irányban áthaladó háromszögek).

Szabályos sokszögek

Egy szabályos sokszög a $n$ oldalú $c$ , a terület $A$ adja meg:

{\ displaystyle A = {\ frac {nc ^ {2}} {4 \ tan (\ pi / n)}}.}

Lásd is

Pick tétele a sokszög területének kiszámításához a rács összes csúcsával
Wallace-Bolyai-Gerwien tétel

Megjegyzések és hivatkozások

(in) A sokszög területének és centroidjának kiszámítása Paul Bourke, a Nyugat-Ausztráliai Egyetem honlapján .