A Pick tétele a geometria tétele , amely összefüggést ad a térkép rácsán egy sokszögel.
Legyen egy nem lapított sokszög , amely egyenlő távolságra lévő pontok (vagyis egész koordináták pontjai ) rácsára épül úgy, hogy minden csúcsa a rács pontja legyen; A Pick-tétel egy formula könnyen kiszámítható a terület egy e sokszög segítségével száma i a belső pontja a sokszög száma és a b a széle pont a sokszög:
.A fenti példában i = 9 és b = 14 van, tehát a terület (négyzetegység).
A fentiekben említett tétel csak egyszerű sokszögekre érvényes , vagyis azokra, amelyek egy részből állnak, és amelyek nem tartalmaznak "lyukakat". További általános sokszög, a „- 1” általános képletű helyébe „ ”, amely a Euler jellemző a P .
Ezt az eredményt először Georg Alexander Pick hozta nyilvánosságra 1899-ben. Három dimenzióban és Ehrhart (in) polinomokkal általánosítható . A képlet a poliéderek felületeire is általánosít .
Tekintsünk egy P sokszöget és egy T háromszöget , amelynek oldala közös P-vel . Tegyük fel, hogy Pick tétele igaz P-re ; meg akarjuk mutatni, hogy az is igaz, hogy a sokszög PT hozzáadásával kapott T a P . Mivel P és T osztoznak egy oldalon, a közös oldal mentén az összes élpont összeolvad a belső pontokkal, kivéve az oldal két végpontját, amelyek egyesülnek az élpontokkal. Tehát a közös c élpontok számának meghívásával megvan
és .A fentiekből következik:
és .Mivel feltételezzük, hogy a tétel P-re és T-re külön igaz ,
Ezért, ha a tétel igaz az n háromszögből felépített sokszögekre , a tétel igaz az n + 1 háromszögekből felépített sokszögekre is . A bizonyítás indukcióval történő befejezéséhez továbbra is meg kell mutatni, hogy a tétel igaz a háromszögekre. Az ellenőrzés ebben az esetben szakaszosan végezhető:
Az utolsó lépés azt a tényt használja, hogy ha a tétel igaz a PT sokszögre és a T háromszögre , akkor P-re is igaz ; ez a fentiekhez nagyon hasonló számítással látható.
Ennek bemutatásához először megmutatjuk, hogy Pick tételének additív jellege van. Tegyük fel, hogy a sokszögünknek több mint 3 csúcsa van. Tehát feloszthatjuk 2 sokszögre és olyanra , hogy a belsejük ne találkozzon. Mindkét kevesebb csúcstalálkozók P . Szeretnénk érvényességét Pick-tétel egyenértékűnek érvényességének Pick-tétel és .
Jelöljük a területet, a pontok száma a belső hálózat és a pontok száma a hálózat a kerülete a par , és a , illetve a K = 1, 2.
Nyilvánvaló, hogy .
Így, ha mi jelöljük a pontok száma a hálózat közös oldalán és a L , akkor
és
.Ebből kifolyólag
.Ez bizonyítja célunkat. Ezért háromszögelhetjük P-t, és ez elég ahhoz, hogy bebizonyítsuk Pick tételét.
(en) Pick-tétel (Java) a csomóponton