A függvények összetétele
A matematika , a készítmény funkciók (vagy pályázatok összetétele ) egy olyan folyamat, amely, két funkció , vegyenek egy újat. Ehhez az első függvény képeit használjuk argumentumként a másodikra (feltéve, hogy ennek van értelme). Ezután egy összetett függvényről (vagy egy összetett térképről ) beszélünk .
Formális meghatározás
Legyen X , Y és Z tetszőleges három halmaz . Legyen két függvény és . Definiáljuk a vegyület F által g , jele által
f:x→Y{\ displaystyle f: X \ - Y}
g:Y→Z{\ displaystyle g: Y \ - Z}
g∘f{\ displaystyle g \ circ f}![g \ circ f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10b5ad4985af48d0fb7efa3c8afa5ad7d42bfc92)
∀x∈x, (g∘f)(x)=g(f(x)).{\ displaystyle \ forall x \ in X, \ (g \ circ f) (x) = g (f (x)).}![\ forall x \ X-ben, \ (g \ circ f) (x) = g (f (x)).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f8765df2fbde627dddfadb766906592cd4e57a6)
Itt f- et alkalmazunk az x argumentumra , majd g- t alkalmazunk az eredményre.
Így új funkciót kapunk .
g∘f:x→Z{\ displaystyle g \ circ f: X \ - Z}![g \ circ f: X \ -től Z-ig](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e5cfd853da7199884ac0460cecd0b281f9846d6)
A jelölés " g rond f ", " f, majd g " vagy " g után f ". Néha figyelmét az .
g∘f{\ displaystyle g \ circ f}
g∘f(x){\ displaystyle g \ circ f (x)}
(g∘f)(x){\ displaystyle (g \ circ f) (x)}![(g \ circ f) (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/875d3b5e359baaf5d0753eebe8f612adc1815e19)
Példa a domain inkompatibilitására
Legyen a két funkció:
f:R→Rx↦-xetg:R+→Rx↦x.{\ displaystyle {\ begin {matrix} f: & \ mathbb {R} & \ to & \ mathbb {R} \\ & x & \ mapsto & -x \ end {mátrix}} \ quad {\ rm {és} } \ quad {\ begin {mátrix} g: & \ mathbb {R} _ {+} és \ to & \ mathbb {R} \\ & x & \ mapsto & {\ sqrt {x}}. \ end {mátrix }}}![{\ begin {matrix} f: & \ mathbb {R} & \ to & \ mathbb {R} \\ & x & \ mapsto & -x \ end {matrix}} \ quad {{\ rm {and}}} \ quad {\ begin {matrix} g: & \ mathbb {R} _ {+} & \ to & \ mathbb {R} \\ & x & \ mapsto & {\ sqrt x}. \ end {matrix}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb082cf48fc4a27d46c219e1bc246932dd1c6439)
Itt a érkezése sor az f van . Most a kezdő készlet a g van (nincs valós szám , amelynek négyzete szigorúan negatív). Szigorúan sensu , a funkció , ezért nincs értelme itt és csak egy van egy, ahol f 1 a következő funkció kapott restrikciós corestriction az f :
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
R+{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}
g∘f{\ displaystyle g \ circ f}
g∘f1:R-→R{\ displaystyle g \ circ f_ {1}: \ mathbb {R} _ {-} \ to \ mathbb {R}}![g \ circ f_ {1}: \ mathbb {R} _ {-} \ to \ mathbb {R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/245fe17c0a4a214896270a8ee6d043303f53e403)
f1:R-→R+x↦-x{\ displaystyle {\ begin {matrix} f_ {1}: & \ mathbb {R} _ {-} & \ to & \ mathbb {R} _ {+} \\ & x & \ mapsto & -x \ end { mátrix}}}![{\ begin {matrix} f_ {1}: & \ mathbb {R} _ {-} & \ to & \ mathbb {R} _ {+} \\ & x & \ mapsto & -x \ end {matrix}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d034d38c9101547311426cbe183305fa254ead9)
Tulajdonságok
Itt nem foglalkozunk a figyelembe vett funkciók tartományainak kompatibilitási problémáival.
- A funkciók összetétele általában nem kommutatív :g∘f≠f∘g.{\ displaystyle g \ circ f \ neq f \ circ g.}
- A funkciók összetétele asszociatív :h∘(g∘f)=(h∘g)∘f.{\ displaystyle h \ circ (g \ circ f) = (h \ circ g) \ circ f.}
- A függvények összetétele általában nem disztributív (egyetlen operátorra sem ):⋆{\ displaystyle \ csillag}
h∘(g⋆f)≠(h∘g)⋆(h∘f).{\ displaystyle h \ circ (g \ star f) \ neq (h \ circ g) \ star (h \ circ f).}
- Ha a funkció f van folyamatos a x 0 , és a függvény g folytonos át f ( x 0 ) akkor van folytonos x 0 .g∘f{\ displaystyle g \ circ f}
![{\ displaystyle g \ circ f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10b5ad4985af48d0fb7efa3c8afa5ad7d42bfc92)
- Két szigorúan monoton f és g függvény összetétele (a variáció iránya egyfajta előjelszabálynak engedelmeskedik):
- ha f és g változékonysága azonos, vegyületük szigorúan növekszik;
- ha f és g eltérõ irányú, vegyületük szigorúan csökken.
-
Származtatott készítményből származtatható funkciók:(g∘f)′=(g′∘f)⋅f′.{\ displaystyle (g \ circ f) '= (g' \ circ f) \ cdot f '.}
Lásd az „ Összetett függvények levezetése ” című cikket .
-
Egy vegyület kölcsönös :(g∘f)-1=f-1∘g-1.{\ displaystyle (g \ circ f) ^ {- 1} = f ^ {- 1} \ circ g ^ {- 1}.}
Funkcionális erők
A fenti jelöléseket megtartjuk. Ha akkor önmagával lehet komponálni, és az összetettet megjegyezzük . Így
Y=x{\ displaystyle Y = X}
f{\ displaystyle f}
f2{\ displaystyle f ^ {2}}![f ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81efa211d9d04493b68b24bf9843d1967ae22cdc)
f2=f∘f{\ displaystyle f ^ {2} = f \ circ f}
f3=f∘f∘f{\ displaystyle f ^ {3} = f \ circ f \ circ f}
és általánosabban:
∀nem∈NEM∗fnem=f∘...∘f⏟nem foéns{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad f ^ {n} = \ alátét {f \ circ \ ldots \ circ f} _ {n \ \ mathrm {times}}}![{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad f ^ {n} = \ alátét {f \ circ \ ldots \ circ f} _ {n \ \ mathrm {times}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0668b9dab7f72b740f324e19e74d9ac085081e9a)
.
Mi pózolunk
f0=idx{\ displaystyle f ^ {0} = \ kezelőnév {id} _ {X}}![f ^ 0 = \ kezelőnév {id} _X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/854ceaa03ae92f0eb64ed2e95f8b83feb035850b)
hol van a készlet azonossági alkalmazása .
idx{\ displaystyle \ kezelőnév {id} _ {X}}
x{\ displaystyle X}![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
Kiterjesztheti ezt a jelölést a negatív integrálhatványok, amelyek a bijektív ( önmagában is) függvény felvételére szolgálnak . Ezután, jelöli a kölcsönös térképet és bármilyen egész szám , az a vegyület önmagában N alkalommal.
f{\ displaystyle f}
x{\ displaystyle X}
f-1{\ displaystyle f ^ {- 1}}
nem>0{\ displaystyle n> 0}
f-nem{\ displaystyle f ^ {- n}}
f-1{\ displaystyle f ^ {- 1}}![f ^ {- 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e5cfa2f5c08d6fe7d046b73faa6e3f213acc802)
A függvény ereje különbözik az alkalmazások sokszorozásától. Például a sin 2 általában a szinuszfüggvény négyzetét jelöli:
∀x∈Rbűn2(x)=(bűn(x))2=bűn(x)×bűn(x){\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad \ sin ^ {2} (x) = (\ sin (x)) ^ {2} = \ sin (x) \ times \ sin (x)}![{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad \ sin ^ {2} (x) = (\ sin (x)) ^ {2} = \ sin (x) \ times \ sin (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77b521c9c8f22f5091f623c9cb63647276bc7756)
.
Van egy lehetséges összetévesztés a szorzás függvényének inverze és a kölcsönös leképezés között is.
Érdekelheti a funkcionális négyzetgyökeket is, vagyis azt, hogy egy adott g függvényhez egy f függvényt keres, amely kielégíti f ( f ( x )) = g ( x ) minden x-et . Ezután megjegyezzük .
f1/2{\ displaystyle f ^ {1/2}}![{\ displaystyle f ^ {1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dc2b3150f5750886a92670be23c512610a4b804)
Egyéb jelölés
A XX . Század közepén néhány matematikus zavarosnak találta a jelölést , és úgy döntött, hogy egy utólag rögzített jelölést használ : xf az f ( x ) és az xfg esetében .
g∘f{\ displaystyle g \ circ f}
(g∘f)(x){\ displaystyle (g \ circ f) (x)}![(g \ circ f) (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/875d3b5e359baaf5d0753eebe8f612adc1815e19)
Tipográfia
A "kerek" Unicode karakter , "∘" az U + 2218 karakter . A LaTeX- ben ezt a karaktert a parancs kapja meg \circ.
Források
Kapcsolódó cikkek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">