ARMA
A statisztikákban az ARMA modellek ( autoregresszív modellek és mozgóátlag ) vagy Box- Jenkins modellek az idősorok fő modelljei .
Adott egy idősor X t , az ARMA modell egy olyan eszköz, hogy megértsék, és esetleg megjósolni a jövő értékei ebben a sorozatban. A modell két részből áll: egy autoregresszív részből (AR) és egy mozgó átlag részből (MA). A modellt általában ARMA-nak ( p , q ) jelöljük , ahol p az AR rész sorrendje és q az MA rész sorrendje.
Definíció - egy autoregresszív és mozgó átlag modell megbízások ( p , q ) (rövidítve ARMA ( p , q ) ) egy diszkrét időbeli folyamat ( X t , t ∈ ℕ) kielégítő:
xt=εt+∑én=1oφénxt-én+∑én=1qθénεt-én{\ displaystyle X_ {t} = \ varepsilon _ {t} + \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} X_ {ti} + \ sum _ {i = 1} ^ {q} \ theta _ {i} \ varepsilon _ {ti}}
ahol φ i és θ i a modellparaméterek és ε i a hibakifejezések.
Az AR ( p ) autoregresszív modell ARMA ( p , 0)
Az MA ( q ) mozgóátlagos modell ARMA (0, q )
Autoregresszív modell
A p rend autoregresszív modelljét írjuk le , rövidítve AR ( p ):
xt=vs.+∑én=1oφénxt-én+εt{\ displaystyle X_ {t} = c + \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} X_ {ti} + \ varepsilon _ {t} \,}
ahol a paraméterek a modell, egy állandó és egy fehér zaj . Az irodalomból gyakran elhagyják az állandót, akkor azt mondják, hogy a folyamat középpontjában áll.
φ1,...,φo{\ displaystyle \ varphi _ {1}, \ ldots, \ varphi _ {p}}
vs.{\ displaystyle c}
εt{\ displaystyle \ varepsilon _ {t}}![\ varepsilon _ {t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c1ff8b8945e6a4fccf6071f806b9ef232492b9a)
További megszorítások a paraméterek szükségesek a garancia stacionaritást . Például az AR (1) modellnél olyan folyamatok, mint a | φ 1 | ≥ 1 nem helyhez kötött.
Példa: AR folyamat (1)
Az AR (1) modellt a következők adják:
xt=vs.+φxt-1+εt{\ displaystyle X_ {t} = c + \ varphi X_ {t-1} + \ varepsilon _ {t} \,}
hol van a fehér zaj, nulla átlaggal és szórással .
εt{\ displaystyle \ varepsilon _ {t}}
σ2{\ displaystyle \ sigma ^ {2}}![\ sigma ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53a5c55e536acf250c1d3e0f754be5692b843ef5)
E[xt]=vs.1-φ{\ displaystyle \ mathrm {E} \ balra [X_ {t} \ right] = {\ frac {c} {1- \ varphi}}}
Vnál nélr[xt]=σ21-φ2{\ displaystyle \ mathrm {Var} \ left [X_ {t} \ right] = {\ frac {\ sigma ^ {2}} {1- \ varphi ^ {2}}}}
Bnem=VSov[xt,xt-nem]=σ21-φ2φ|nem|{\ displaystyle B_ {n} = \ mathrm {Cov} \ left [X_ {t}, X_ {tn} \ right] = {\ frac {\ sigma ^ {2}} {1- \ varphi ^ {2}} } \ varphi ^ {| n |}}
Fogni annyit jelent, hogy nulla az átlag. Bevezetjük az autokovariancia függvény bomlási sebességét
vs.=0{\ displaystyle c = 0}
τ=-1/ln(φ){\ displaystyle \ tau = -1 / \ ln (\ varphi)}
A teljesítmény spektrális sűrűség a Fourier-transzformáltja a autokovariacia funkciót. A diszkrét esetben ezt írják:
Φ(ω)=12π∑nem=-∞∞Bneme-énωnem=12π(σ21+φ2-2φkötözősaláta(ω)).{\ displaystyle \ Phi (\ omega) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \, \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} B_ {n} e ^ { -i \ omega n} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \, \ bal ({\ frac {\ sigma ^ {2}} {1+ \ varphi ^ {2} -2 \ varphi \ cos (\ omega)}} \ jobbra).}![\ Phi (\ omega) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \, \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} B_ {n} e ^ {- i \ omega n} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \, \ bal ({\ frac {\ sigma ^ {2}} {1+ \ varphi ^ {2} -2 \ varphi \ cos (\ omega)}} \ jobbra).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76a864fa4873a12c2502f601a4cea5156c13d7b2)
Ez a fejlődés időszakos a koszinusz kifejezés nevezőben való jelenléte miatt. Feltételezve, hogy a mintavételi idő ( ) kisebb, mint a bomlási sebesség ( ), akkor a következő folyamatos közelítését használhatjuk :
Δt=1{\ displaystyle \ Delta t = 1}
τ{\ displaystyle \ tau}
Bnem{\ displaystyle B_ {n}}![B_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f568bf6d34e97b9fdda0dc7e276d6c4501d2045)
B(t)≈σ21-φ2φ|t|{\ displaystyle B (t) \ kb {\ frac {\ sigma ^ {2}} {1- \ varphi ^ {2}}} \, \, \ varphi ^ {| t |}}![B (t) \ kb {\ frac {\ sigma ^ {2}} {1- \ varphi ^ {2}}} \, \, \ varphi ^ {| t |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb872ba8af8c4dd8756cfc02b31c337e83494f8)
amely a spektrális sűrűségre vonatkozóan lorentzi formát mutat be :
Φ(ω)=12πσ21-φ2γπ(γ2+ω2){\ displaystyle \ Phi (\ omega) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \, {\ frac {\ sigma ^ {2}} {1- \ varphi ^ {2}}} \, {\ frac {\ gamma} {\ pi (\ gamma ^ {2} + \ omega ^ {2})}}}![\ Phi (\ omega) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \, {\ frac {\ sigma ^ {2}} {1- \ varphi ^ {2}}} \, { \ frac {\ gamma} {\ pi (\ gamma ^ {2} + \ omega ^ {2})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11848e4028d178177ce166fa34676301a0331144)
hol van a szögfrekvencia társítva .
γ=1/τ{\ displaystyle \ gamma = 1 / \ tau}
τ{\ displaystyle \ tau}![\ tau](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c)
Egy alternatív kifejezés lehet levezetni helyettesítve azzal a meghatározó egyenletet. A manipuláció N- szeres folytatásával biztosítja
xt{\ displaystyle X_ {t}}
xt-1{\ displaystyle X_ {t-1}}
vs.+φxt-2+εt-1{\ displaystyle c + \ varphi X_ {t-2} + \ varepsilon _ {t-1}}![c + \ varphi X_ {t-2} + \ varepsilon _ {t-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7787d0d39eb7a51cbebaf48cb00e775bd56bf28a)
xt=vs.∑k=0NEM-1φk+φNEMxt-NEM+∑k=0NEM-1φkεt-k.{\ displaystyle X_ {t} = c \ sum _ {k = 0} ^ {N-1} \ varphi ^ {k} + \ varphi ^ {N} X_ {tN} + \ sum _ {k = 0} ^ {N-1} \ varphi ^ {k} \ varepsilon _ {tk}.}![X_ {t} = c \ sum _ {k = 0} ^ {N-1} \ varphi ^ {k} + \ varphi ^ {N} X_ {tN} + \ sum _ {k = 0} ^ {N- 1} \ varphi ^ {k} \ varepsilon _ {tk}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb2bc722c92ed8456fb6afbc49249c5235904475)
Ha az N nagyon nagy lesz, megközelíti a 0 értéket és:
φNEM{\ displaystyle \ varphi ^ {N}}![\ varphi ^ {N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c7d06db11de79871f23fce1a87a85a61e19f12)
xt=vs.1-φ+∑k=0∞φkεt-k.{\ displaystyle X_ {t} = {\ frac {c} {1- \ varphi}} + \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ varphi ^ {k} \ varepsilon _ {tk}.}![X_ {t} = {\ frac {c} {1- \ varphi}} + \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ varphi ^ {k} \ varepsilon _ {tk}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71dc254dbf8d8b18ea6b62249f047a0982a9d4c0)
Láthatjuk, hogy ez a kernellel összekevert fehér zaj plusz egy állandó átlag. Ha a fehér zaj Gauss-féle , akkor az is normális folyamat. Egyébként a Központi Határ Tétel szerint ez megközelítőleg normális lesz, amikor az egység közel van.
xt{\ displaystyle X_ {t}}
φk{\ displaystyle \ varphi ^ {k}}
xt{\ displaystyle X_ {t}}
xt{\ displaystyle X_ {t}}
φ{\ displaystyle \ varphi}![\ varphi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e)
AR paraméterek becslése
Az AR ( p ) modellt a
xt=∑én=1oφénxt-én+εt.{\ displaystyle X_ {t} = \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} X_ {ti} + \ varepsilon _ {t}. \,}![X_ {t} = \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} X_ {ti} + \ varepsilon _ {t}. \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1a017e273d484ea82c3c0effe3153b1e991a0ef)
A becslendő paraméterek azok, ahol i = 1,…, p . Ezen paraméterek és a kovariancia (tehát az autokorreláció) funkciója között közvetlen összefüggés van, és a paraméterek levezethetők ezeknek a kapcsolatoknak a megfordításával. Ezek a Yule -Walker egyenletek :
φén{\ displaystyle \ varphi _ {i}}![\ varphi _ {i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70503774fb21be77396899900d3aa1e47d8f9e10)
γm=∑k=1oφkγm-k+σε2δm{\ displaystyle \ gamma _ {m} = \ sum _ {k = 1} ^ {p} \ varphi _ {k} \ gamma _ {mk} + \ sigma _ {\ varepsilon} ^ {2} \ delta _ { m}}![\ gamma _ {m} = \ összeg _ {k = 1} ^ {p} \ varphi _ {k} \ gamma _ {mk} + \ sigma _ {\ varepsilon} ^ {2} \ delta _ {m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0711bfaf60c28d3b0f98349157d0a8452bce0fc)
ahol m = 0,…, p , amely minden p + 1 egyenletet megad . Az együtthatók az autokorrelációs függvény a X , jelentése a szórás (standard deviáció) fehér zaj, és a δ m jelentése a Kronecker szimbólum .
γm{\ displaystyle \ gamma _ {m}}
σε{\ displaystyle \ sigma _ {\ varepsilon}}![\ sigma _ {\ varepsilon}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04852f481494a445c9f5b9082df1ead002c098a2)
Az egyenlet utolsó része nem nulla, ha m = 0; Ha m > 0, az előző egyenletet mátrixrendszerként írjuk
[γ1γ2γ3⋮]=[γ0γ-1γ-2...γ1γ0γ-1...γ2γ1γ0...⋮⋮⋮⋱][φ1φ2φ3⋮]{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ gamma _ {1} \\\ gamma _ {2} \\\ gamma _ {3} \\\ vdots \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ gamma _ {0} & \ gamma _ {- 1} & \ gamma _ {- 2} és \ pontok \\\ gamma _ {1} & \ gamma _ {0} & \ gamma _ {- 1} és \ dots \\\ gamma _ {2} & \ gamma _ {1} & \ gamma _ {0} & \ dots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots \\\ end {bmatrix}} {\ elején {bmatrix} \ varphi _ {1} \\\ varphi _ {2} \\\ varphi _ {3} \\\ vdots \\\ end {bmatrix}}}![{\ begin {bmatrix} \ gamma _ {1} \\\ gamma _ {2} \\\ gamma _ {3} \\\ vdots \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ gamma _ {0} & \ gamma _ {- 1} & \ gamma _ {- 2} & \ dots \\\ gamma _ {1} & \ gamma _ {0} & \ gamma _ {- 1} & \ dots \\ \ gamma _ {2} & \ gamma _ {1} & \ gamma _ {0} & \ dots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ varphi _ {1} \\\ varphi _ {2} \\\ varphi _ {3} \\\ vdots \\\ end {bmatrix}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f06c0d88d00448283d83764012098b3618ed482)
Az m = 0, van
γ0=∑k=1oφkγ-k+σε2{\ displaystyle \ gamma _ {0} = \ sum _ {k = 1} ^ {p} \ varphi _ {k} \ gamma _ {- k} + \ sigma _ {\ varepsilon} ^ {2}}![\ gamma _ {0} = \ sum _ {k = 1} ^ {p} \ varphi _ {k} \ gamma _ {- k} + \ sigma _ {\ varepsilon} ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a4c41947026759238a648af29cbc9e0262dff0)
ami segít megtalálni .
σε2{\ displaystyle \ sigma _ {\ varepsilon} ^ {2}}![\ sigma _ {\ varepsilon} ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eec379b86e73255492d3266c76f6e17acfdfabd1)
A Yule-Walker egyenletek lehetőséget nyújtanak az AR ( p ) modell paramétereinek becslésére , az elméleti kovariancia becsült értékekkel való helyettesítésére. Az egyik módja annak, hogy megkapjuk ezeket az értékeket, hogy fontolja meg a lineáris regresszió az X t annak o első lemaradásokat.
A Yule-Walker egyenletek megszerzése
Az AR folyamat meghatározó egyenlete az
xt=∑én=1oφénxt-én+εt.{\ displaystyle X_ {t} = \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \, X_ {ti} + \ varepsilon _ {t}. \,}![X_ {t} = \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \, X_ {ti} + \ varepsilon _ {t}. \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3205540c1ef347c0169c41c2ccb3a556c55ca165)
Ha megszorozzuk a két tagot X t - m-rel, és megkapjuk az elvárást, megkapjuk
E[xtxt-m]=E[∑én=1oφénxt-énxt-m]+E[εtxt-m].{\ displaystyle E [X_ {t} X_ {tm}] = E \ balra [\ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \, X_ {ti} X_ {tm} \ jobbra] + E [\ varepsilon _ {t} X_ {tm}].}![E [X_ {t} X_ {tm}] = E \ balra [\ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \, X_ {ti} X_ {tm} \ jobbra] + E [ \ varepsilon _ {t} X_ {tm}].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0824e2d072b36aae0431637988b5efdb598d42d)
Most kiderült, hogy E [ X t X t - m ] = γ m az autokovariancia függvény definíciója alapján. A fehér zaj kifejezés független egymástól, ráadásul X t - m független ε t-től, ahol m nagyobb, mint nulla. Az m > 0, E [ε t X t - m ] = 0. m = 0,
E[εtxt]=E[εt(∑én=1oφénxt-én+εt)]=∑én=1oφénE[εtxt-én]+E[εt2]=0+σε2,{\ displaystyle E [\ varepsilon _ {t} X_ {t}] = E \ bal [\ varepsilon _ {t} \ bal (\ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \, X_ {ti} + \ varepsilon _ {t} \ right) \ right] = \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \, E [\ varepsilon _ {t} \, X_ { ti}] + E [\ varepsilon _ {t} ^ {2}] = 0+ \ sigma _ {\ varepsilon} ^ {2},}![E [\ varepsilon _ {t} X_ {t}] = E \ bal [\ varepsilon _ {t} \ bal (\ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \, X_ {ti } + \ varepsilon _ {t} \ right) \ right] = \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \, E [\ varepsilon _ {t} \, X_ {ti}] + E [\ varepsilon _ {t} ^ {2}] = 0+ \ sigma _ {\ varepsilon} ^ {2},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/525dcfb63320ca8507b03d9ba9071bb86fbda251)
Most m ≥ 0 esetén
γm=E[∑én=1oφénxt-énxt-m]+σε2δm.{\ displaystyle \ gamma _ {m} = E \ balra [\ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \, X_ {ti} X_ {tm} \ right] + \ sigma _ { \ varepsilon} ^ {2} \ delta _ {m}.}![\ gamma _ {m} = E \ balra [\ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \, X_ {ti} X_ {tm} \ right] + \ sigma _ {\ varepsilon} ^ {2} \ delta _ {m}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bbd0638b2d0cf352d9aa0f73bd755f4967f71ad)
Másképp,
E[∑én=1oφénxt-énxt-m]=∑én=1oφénE[xtxt-m+én]=∑én=1oφénγm-én,{\ displaystyle E \ bal [\ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \, X_ {ti} X_ {tm} \ right] = \ sum _ {i = 1} ^ {p } \ varphi _ {i} \, E [X_ {t} X_ {tm + i}] = \ összeg _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \, \ gamma _ {mi}, }![E \ balra [\ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \, X_ {ti} X_ {tm} \ right] = \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \, E [X_ {t} X_ {tm + i}] = \ összeg _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \, \ gamma _ {mi},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee3e9767b458cf0551a71c2996f5adbfcd9f9cde)
amely megadja a Yule-Walker egyenleteket:
γm=∑én=1oφénγm-én+σε2δm.{\ displaystyle \ gamma _ {m} = \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \ gamma _ {mi} + \ sigma _ {\ varepsilon} ^ {2} \ delta _ { m}.}![\ gamma _ {m} = \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \ gamma _ {mi} + \ sigma _ {\ varepsilon} ^ {2} \ delta _ {m}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6bae375b849020b32484a0c14badee2d5ce6307)
az m ≥ 0. m <0,
γm=γ-m=∑én=1oφénγ|m|-én+σε2δm.{\ displaystyle \ gamma _ {m} = \ gamma _ {- m} = \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \ gamma _ {| m | -i} + \ sigma _ {\ varepsilon} ^ {2} \ delta _ {m}.}![\ gamma _ {m} = \ gamma _ {- m} = \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} \ gamma _ {| m | -i} + \ sigma _ {\ varepsilon } ^ {2} \ delta _ {m}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63150e41ff0211241b757334c155bf2c93e91540)
Mozgó átlag modell
Az MA ( q ) jelölés a q sorrend mozgó átlag modelljére utal :
xt=εt+∑én=1qθénεt-én{\ displaystyle X_ {t} = \ varepsilon _ {t} + \ sum _ {i = 1} ^ {q} \ theta _ {i} \ varepsilon _ {ti} \,}![X_ {t} = \ varepsilon _ {t} + \ sum _ {i = 1} ^ {q} \ theta _ {i} \ varepsilon _ {ti} \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9254326b153fb712b45aa4b1fd48a15fd6e58bbe)
ahol az θ 1 ,…, θ q a modell paraméterei, az ε t , ε t-1 ,… pedig ismét hibakifejezések.
Megjegyzés a hibakifejezésekről
Az ε t hibakifejezéseket általában feltételezzük, hogy függetlenek és azonos eloszlásúak (iid), normál eloszlás szerint , nulla átlaggal: ε t ~ N (0, σ 2 ), ahol σ 2 a variancia. Ezeket a feltételezéseket enyhíteni lehet, de ez megváltoztatná a modell tulajdonságait, például felvállalnánk az egyetlen iid karaktert
A késleltetés operátorának specifikációja
Az ARMA modellek L- ben írhatók , amely a késleltetés operátora . Az AR ( p ) autoregresszív modellt írják
εt=(1-∑én=1oφénLén)xt=φxt{\ displaystyle \ varepsilon _ {t} = \ balra (1- \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} L ^ {i} \ right) X_ {t} = \ varphi X_ { t} \,}![\ varepsilon _ {t} = \ left (1- \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} L ^ {i} \ right) X_ {t} = \ varphi X_ {t} \ ,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7e18554acd84d09dd88f6604abe74f7e3cd421d)
ahol φ a polinom
φ=1-∑én=1oφénLén.{\ displaystyle \ varphi = 1- \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} L ^ {i}. \,}![\ varphi = 1- \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} L ^ {i}. \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa3412e21fe5c350b27b3d7d8d0e27b1a99dcec4)
Az MA ( q ) mozgóátlagos modell esetében megvan
xt=(1+∑én=1qθénLén)εt=θεt{\ displaystyle X_ {t} = \ bal (1+ \ sum _ {i = 1} ^ {q} \ theta _ {i} L ^ {i} \ right) \ varepsilon _ {t} = \ theta \ varepsilon _ {t} \,}![X_ {t} = \ balra (1+ \ sum _ {i = 1} ^ {q} \ theta _ {i} L ^ {i} \ jobbra) \ varepsilon _ {t} = \ theta \ varepsilon _ {t } \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d931bb4fe887b23f57261d166f3f2af7c21a6ec5)
ahol θ a polinom
θ=1+∑én=1qθénLén.{\ displaystyle \ theta = 1 + \ sum _ {i = 1} ^ {q} \ theta _ {i} L ^ {i}. \,}![\ theta = 1 + \ összeg _ {i = 1} ^ {q} \ theta _ {i} L ^ {i}. \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/429f564bc1def24bae2e85c8d5c52f01baf69969)
Végül a két szempont kombinálásával levezetjük az ARMA modell ( p , q ) írását :
(1-∑én=1oφénLén)xt=(1+∑én=1qθénLén)εt{\ displaystyle \ left (1- \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} L ^ {i} \ right) X_ {t} = \ left (1+ \ sum _ {i = 1} ^ {q} \ theta _ {i} L ^ {i} \ right) \ varepsilon _ {t} \,}![\ left (1- \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ varphi _ {i} L ^ {i} \ right) X_ {t} = \ left (1+ \ sum _ {i = 1} ^ {q} \ theta _ {i} L ^ {i} \ right) \ varepsilon _ {t} \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3d085e72f80d76d1cee533e3444a5b3acdc8abd)
ahol rövidebb:
φxt=θεt.{\ displaystyle \ varphi X_ {t} = \ theta \ varepsilon _ {t}. \,}![\ varphi X_ {t} = \ theta \ varepsilon _ {t}. \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17b173f2a7e19d67426aac30971c332c9ebc6e96)
Fit modell
Az ARMA modellek, miután kiválasztották a p és q sorrendet , a legkisebb négyzetek módszerével illeszthetők az adatokhoz : azokat a paramétereket keressük, amelyek minimalizálják a maradványok négyzetének összegét. A legkisebb p és q értékek felvételét általában jó gyakorlatnak tekintik (a parszimónia elve ). A tiszta AR modell esetében a Yule-Walker egyenletek lehetővé teszik a beállítás elvégzését.
Megjegyzések és hivatkozások
Bibliográfia
-
(fr) Jean-Jacques Droesbeke, Bernard Fichet, Philippe Tassi, Kronológiai sorozat - ARIMA modellek elmélete és gyakorlata , Economica , 1989 ( ISBN 2-7178-1549-X )
-
(en) George EP Box , Gwilym Jenkins és Gregory C. Reinsel, Time Series Analysis: Forecasting and Control , harmadik kiadás. Prentice-Hall, 1994.
-
(en) Terence C. Mills, Time Series Techniques for Economists , Cambridge University Press, 1990.
-
(en) Donald B. Percival és Andrew T. Walden, Spektrális elemzés a fizikai alkalmazásokhoz. Cambridge University Press, 1993.
-
(en) Sudhakar M. Pandit és Shien-Ming Wu, idősorok és rendszerelemzés alkalmazásokkal. John Wiley & Sons, 1983.
-
(en) James D. Hamilton, Idősor-elemzés , Princeton University Press, 1994
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">