Autokorreláció

Az összefüggés olyan matematikai eszköz, amelyet gyakran használnak a jelfeldolgozásban . A jel önmagában való keresztkorrelációja . Az autokorreláció lehetővé teszi a szabályszerűségek, az ismétlődő profilok detektálását egy olyan jelben, mint például a periódikus jel, amelyet sok zaj zavar , vagy egy olyan jel alapvető frekvenciája, amely valójában nem tartalmazza ezt az alapot, de több harmonikájával együtt jár.

Definíciók

Tábornok

Megjegyzés: Az auto-kovariancia és az automatikus korreláció között gyakran keverednek . Ez a két fogalom általánosítása klasszikus fogalmak kovariancia , amelynek mérete a mérete változó négyzetének és a korrelációs együttható között , és . Az alábbi megfontolások a gyakorlók által legszélesebb körben használt nyelvet használják, varianciafelosztás nélkül. Két alapvetően eltérő meghatározás is létezik.-1{\ displaystyle -1} +1{\ displaystyle +1}

A diszkrét vagy folytonos sztochasztikus folyamat megfelel egy statisztikai „autokorreiációra”, amely általánosítja fogalma kovariancia. Abban az esetben, egy folyamatos eljárás (bármely komplex általánosság) , a statisztikai autokorrelációs függvény meghatározása a következő:x(t){\ displaystyle X (t) \,}

Rx(t1,t2)=E[x(t1).x∗(t2)].{\ displaystyle R_ {X} (t_ {1}, t_ {2}) = E [X (t_ {1}). X ^ {*} (t_ {2})].} Helyhez kötött jel esetén megírhatjuk: hol van az időeltolódás, és a valószínűségi sűrűségből meghatározzuk a matematikai várakozást. Rx(τ)=E[x(t).x∗(t-τ)],{\ textstyle R_ {X} (\ tau) = E [X (t) .X ^ {*} (t- \ tau)],}τ{\ displaystyle \ tau \,}

Egy jel alapján meghatározhatjuk az időbeli autokorrelációt azáltal, hogy az általános átlagot időbeli átlaggal helyettesítjük:x(t){\ displaystyle x (t) \,}

Rx(τ)=x(t)x∗(t-τ)¯.{\ displaystyle R_ {x} (\ tau) = {\ overline {x (t) x ^ {*} (t- \ tau)}}.} Ha a jelet egy ergodikus álló folyamat megvalósításának tekintjük , az időbeli autokorreláció megegyezik a statisztikai autokorrelációval. Használható a jel frekvenciatartalmának kiszámítására (lásd: spektrális sűrűség ). Bizonyos problémák esetén lehetővé teszi a jel elemzését a frekvenciatartalmára való hivatkozás nélkül.

Statisztika

A statisztikákban egy diszkrét idősor vagy folyamat autokorrelációja egyszerűen a folyamat

korrelációja önmagának egy késleltetett változatával. Ha egy álló várakozási folyamat, akkor a meghatározás a következő:xt{\ displaystyle X_ {t}}xt{\ displaystyle X_ {t}}μ{\ displaystyle \ mu} R(k)=1σ2E[(xén-μ)(xén+k-μ)],{\ displaystyle R (k) = {\ frac {1} {\ sigma ^ {2}}} \ mathbb {E} {\ bigl [} (X_ {i} - \ mu) (X_ {i + k} - \ mu) {\ bigr]},} ahol a matematikai elvárás , az időeltolódás, az átlaga, és a szórás az . Ez egy intervallumértékű függvény , amely jelzi a tökéletes korrelációt (a jelek pontosan átfedik egymást az idő eltolásával ) és a tökéletes antikorrelációt jelzik. Számos tudományágban célszerű ábrázolni a normalizálást és használni az autokorreláció kifejezést válogatás nélkül az autokovariancia kifejezésével . E[⋅]{\ displaystyle \ mathbb {E} [\ cdot]}k{\ displaystyle k}μ{\ displaystyle \ mu}x{\ displaystyle X}σ2{\ displaystyle \ sigma ^ {2}}x{\ displaystyle X}[-1,1]{\ displaystyle [-1,1]}1{\ displaystyle 1}k{\ displaystyle k}-1{\ displaystyle -1}σ2{\ displaystyle \ sigma ^ {2}}

Jelfeldolgozás

A jelfeldolgozás során egy adott jel esetében a folyamatos autokorreláció önmagának az időintervallumon belüli folyamatos keresztkorrelációja , és a következőképpen van meghatározva:f(t){\ displaystyle f (t)}Rf(τ){\ displaystyle R_ {f} (\ tau)}f(t){\ displaystyle f (t)}τ{\ displaystyle \ tau}

Rf(τ)=f∗(⋅-τ)∘f(⋅)=∫-∞∞f(t+τ)f∗(t)dt=∫-∞∞f(t)f∗(t-τ)dt,{\ displaystyle R_ {f} (\ tau) = f ^ {*} (\ cdot - \ tau) \ circ f (\ cdot) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t + \ tau) f ^ {*} (t) \ mathrm {d} t = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) f ^ {*} (t- \ tau) \ mathrm {d} t,} ahol a komplex konjugátum és a konvolúció operátor ( ). Formálisan az időintervallum és a jel diszkrét autokorrelációja :f∗{\ displaystyle f ^ {\ ast}}∘{\ displaystyle \ circ}f=f∗,∀f(t)∈R{\ displaystyle f = f ^ {\ ast}, \ quad \ forall f (t) \ in \ mathbb {R}}R{\ displaystyle R}j{\ displaystyle j}x[nem]{\ displaystyle x [n]} R[j]=∑nem(x[nem]-m)(x∗[nem-j]-m)=E[(x[nem]-m)(x∗[nem-j]-m)],{\ displaystyle R [j] = \ sum _ {n} (x [n] -m) (x ^ {\ ast} [nj] -m) = \ mathbb {E} {\ bigl [} (x [n ] -m) (x ^ {\ ast} [nj] -m) {\ bigr]},} hol van a középérték (várható érték) . Az autokorrelációkat gyakran egy nullára központosított jelre számítják ki. Vagyis egy olyan jel, amelynek átlagos értéke nulla. Az autokorrelációt ezután határozza meg:m{\ displaystyle m}x[nem]{\ displaystyle x [n]} R[j]=∑nemx[nem]x∗[nem-j]=E[x[nem]x∗[nem-j]].{\ displaystyle R [j] = \ sum _ {n} x [n] x ^ {\ ast} [nj] = \ mathbb {E} {\ bigl [} x [n] x ^ {\ ast} [nj ] {\ bigr]}.} Az autokorrelációs többdimenziós hasonlóan definiált. Például három dimenzióban az autokorreláció: R(j,k,ℓ)=∑nem,q,r(x[nem,q,r]-m)(x[nem-j,q-k,r-ℓ]-m)=E[(x[nem,q,r]-m)(x[nem-j,q-k,r-l]-m)].{\ displaystyle R (j, k, \ ell) = \ összeg _ {n, q, r} (x [n, q, r] -m) (x [nj, qk, r- \ ell] -m) = \ mathbb {E} {\ bigl [} (x [n, q, r] -m) (x [nj, qk, rl] -m) {\ bigr]}.}

Tulajdonságok

A következőkben csak az egydimenziós autokorrelációs tulajdonságokat írjuk le, mivel a legtöbb tulajdonság könnyen kiterjeszthető egydimenziósról többdimenziós esetekre.

• Az autokorreláció alapvető tulajdonsága a szimmetria , amelyet a definíció bizonyít.Rf(τ)=Rf(-τ){\ displaystyle R_ {f} (\ tau) = R_ {f} (- \ tau)}
• Folyamatos esetben az autokorrelációs függvény ugyanaz a pár :
  • Rf(-τ)=Rf(τ){\ displaystyle R_ {f} (- \ tau) = R_ {f} (\ tau) \,}amikor f valós függvény, és remete függvény ;
  • Rf(-τ)=Rf∗(τ){\ displaystyle R_ {f} (- \ tau) = R_ {f} ^ {*} (\ tau) \,}amikor f összetett függvény.

• A folyamatos autokorrelációs függvény az eredetnél csúcsosodik, ahol valós értéket vesz fel. Ez azt jelenti, hogy minden alkalommal , . Ez a

Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség következménye . Ugyanezt az eredményt kapjuk egy diszkrét eset esetében is.τ{\ displaystyle \ tau}|Rf(τ)|≤Rf(0){\ displaystyle | R_ {f} (\ tau) | \ leq R_ {f} (0)}

• A periodikus függvény autokorrelációja maga periodikus, pontosan ugyanezzel az időszakkal.

• Két teljesen korrelálatlan függvény összegének autokorrelációja (a keresztkorreláció mindenre nulla ) az egyes függvények autokorrelációinak összege.τ{\ displaystyle \ tau}

• Mivel az automatikus korreláció a keresztkorreláció sajátos típusa , megtartja a keresztkorreláció összes tulajdonságát.

• A fehér zaj autokorrelációja nagy csúcsot fog elérni , és közel lesz bármely máshoz . Ez azt mutatja, hogy a fehér zaj egy időben történő rögzítése statisztikailag nincs összefüggésben az ugyanazon fehér zaj más időpontban történő rögzítésével.τ=0{\ displaystyle \ tau = 0}0{\ displaystyle 0}τ{\ displaystyle \ tau}

• A Wiener - Khintchine tétel az autokorrelációs függvényt a

Fourier-transzformációval kapcsolja össze a teljesítmény spektrális sűrűségével :Rf(τ){\ displaystyle R_ {f} (\ tau)} Sf(ω){\ displaystyle S_ {f} (\ omega)} Rf(τ)=F-1{Sf(ω)}(τ)⟺Sf(ω)=F{Rf(τ)}(ω).{\ displaystyle R_ {f} (\ tau) = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ {S_ {f} (\ omega) \} (\ tau) \ Longleftrightarrow S_ {f} (\ omega) = {\ mathcal {F}} \ {R_ {f} (\ tau) \} (\ omega).}

Alkalmazások

• A mérés a az optikai spektrum és a mérése nagyon rövid életű felvillanó fény által termelt lézer , segítségével optikai autocollerator .

• Az optikában a normalizált automatikus korreláció és a keresztkorreláció adja meg az elektromágneses tér koherenciájának mértékét .

• A jelfeldolgozás során az autokorreláció információt nyújthat ismétlődő eseményekről, például zenei ütemekről vagy pulzárfrekvenciákról , bár ez nem adhatja meg időben az ütem helyzetét.

Az alábbi példa a

kék Beau Danube MIDI hangfájl jelét (balra) és annak autokorrelációját mutatja (csak az első 4 másodpercben).

• Az autokorrelációt, amelyet korábban közbenső eszközként használtak a spektrális sűrűség kiszámításában , ma elvetik a gyors Fourier-transzformáció javára (lásd még Spektrális elemzés az elemi szempontokat illetően).