B-spline
A matematika , a B-spline egy lineáris kombinációja a pozitív spline minimális kompakt támogatást. A B-spline a Bézier-görbék általánosítása , ezeket viszont a NURBS általánosíthatja .
Meghatározás
Adott m +1 csomópont t i a [0, 1] -ben
0≤t0≤t1≤...≤tm≤1{\ displaystyle 0 \ leq t_ {0} \ leq t_ {1} \ leq \ ldots \ leq t_ {m} \ leq 1}
egy mértéke spline görbe egy paraméteres görbe
nem{\ displaystyle n}
S:[0,1]→Rd{\ displaystyle \ mathbf {S} \ ,: \, [0,1] \ to \ mathbb {R} ^ {d}}
n
fokú B-spline függvényekből áll
S(t)=∑én=0m-nem-1bén,nem(t).Pén,t∈[tnem,tm-nem]{\ displaystyle \ mathbf {S} (t) = \ összeg _ {i = 0} ^ {mn-1} b_ {i, n} (t). \ mathbf {P} _ {i} \ ,, \, t \ in [t_ {n}, t_ {mn}]}
,
ahol a P i sokszöget képez, amelyet vezérlő sokszögnek neveznek ; az ezt a sokszöget alkotó pontok száma egyenlő m - n .
A m - n B-spline funkcióit fokú n határozza indukció az alsó fokozat:
bj,0(t): ={1séntj⩽t<tj+10sénnemonem{\ displaystyle b_ {j, 0} (t): = \ bal \ {{\ begin {mátrix} 1 & \ mathrm {si} \ quad t_ {j} \ leqslant t <t_ {j + 1} \\ 0 & \ mathrm {különben} \ end {mátrix}} \ right.}
bj,nem(t): =t-tjtj+nem-tjbj,nem-1(t)+tj+nem+1-ttj+nem+1-tj+1bj+1,nem-1(t).{\ displaystyle b_ {j, n} (t): = {\ frac {t-t_ {j}} {t_ {j + n} -t_ {j}}} b_ {j, n-1} (t) + {\ frac {t_ {j + n + 1} -t} {t_ {j + n + 1} -t_ {j + 1}}} b_ {j + 1, n-1} (t).}
Ha a csomópontok egyenlő távolságra vannak, vagyis amikor aritmetikai progresszióban vannak, akkor a B-spline-ok „egyenletesek”: ez a helyzet a Bézier-görbékkel, amelyek egyenletes B-spline-ok, amelyek t i (az i csomópontjai) 0 és m között) 0 és 1 közötti számtani szekvenciát alakítunk ki állandó 1 / m lépéssel , és ahol a Bézier-görbe n foka nem lehet nagyobb m- nél .
Tágabb, ha két egymást követő csomópont és össze vannak vonva, egy pózok : ennek az a hatása, meghatározó diszkontinuitást az érintő, a pont a görbe paramétereznie értéke t , tehát, hogy hozzon létre ott egy nem-szög csúcsa edény; azonban gyakran egyszerűbb ezt a "kiterjesztett B-spline" -ot két különálló csomópontokkal definiált B-spline egyesítéseként definiálni, ezekhez a spline-okhoz egyszerűen csatlakozik ez a közös csúcs, anélkül, hogy itt nehézséget okozna a paraméterek értékelése. B-spline a t paraméter bizonyos értékeihez . Ez azonban lehetővé teszi bármely egyszerű sokszög kiterjesztett B-spline-nak tekintését.
tj{\ displaystyle t_ {j}}
tj+1{\ displaystyle t_ {j + 1}}
00=0{\ displaystyle {\ frac {0} {0}} = 0}![{\ frac {0} {0}} = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/824c2ad35c100948390673d0c9175e409544e280)
Tulajdonságok
Az alapfunkciók alakját a csomópontok helyzete határozza meg.
A görbe a kontrollpontok domború burkolatán belül található.
N fokú B-spline
bén,nem(t){\ displaystyle b_ {i, n} (t)}
nem nulla a [ t i , t i + n + 1 ] intervallumban :
bén,nem(t)={>0séntén⩽t<tén+nem+10sénnemonem{\ displaystyle b_ {i, n} (t) = \ bal \ {{\ begin {mátrix}> 0 & \ mathrm {si} \ quad t_ {i} \ leqslant t <t_ {i + n + 1} \ \ 0 & \ mathrm {különben} \ end {mátrix}} \ right.}
Más szavakkal, egy kontrollpont mozgatása csak lokálisan változtatja meg a görbe alakját.
B-spline egy dimenzióban
A B-spline-ok alapfunkcióként használhatók a közelítéselméletben. Az n fokú B-spline a következő :
∀x∈R, βnem(x)=∑k=0nem+1(-1)k(nem+1)(nem+1-k)!k!(x-k+nem+12)+nem{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ beta ^ {n} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n + 1} (- 1) ^ {k} {\ frac {(n + 1)} {(n + 1-k)! k!}} \ balra (xk + {\ frac {n + 1} {2}} \ jobbra) _ {+} ^ {n}}
,
ahol (y) + a pozitív részfüggvény kiterjesztett változata :
(x)+nem={0 ha x<012 ha x=0 és nem=01 ha x>0 és nem=0xnem ha x⩾0 és nem⩾1{\ displaystyle (x) _ {+} ^ {n} = {\ begin {esetben} 0 és {\ text {si}} x <0 \\ {\ tfrac {1} {2}} és {\ text { si}} x = 0 {\ text {és}} n = 0 \\ 1 & {\ text {si}} x> 0 {\ text {és}} n = 0 \\ x ^ {n} és {\ szöveg {if}} x \ geqslant 0 {\ text {et}} n \ geqslant 1 \ end {esetek}}}
Mi különösen elismerik a spline a 0 fokozat a kapu funkciót .
Ezek a függvények nem interpolálnak, de kompakt adathordozón való nagy szabályosságuk érdekes jelöltté teszi őket a függvények közelítésében.
Hivatkozások
-
(in) P. Thevenaz, Blu T. és M. Unser, " interpolation revisited " , IEEE Transactions on Medical Imaging , Vol. 19, n o 7,2000. július( DOI 10.1109 / 42.875199 )
Belső linkek
Külső linkek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">