Vektorelemzés

A vektor elemzés egyik ága a matematika , hogy a tanulmányok a mezőket a skalár és vektor kellően rendszeres euklideszi térben , vagyis alkalmazások differenciálható nyitott egy euklideszi térben E értékek rendre és E . A matematikus szempontjából a vektorelemzés tehát a differenciálgeometria egyik ága . Ez utóbbi magában foglalja a tenzoranalízist, amely hatékonyabb eszközöket és tömörebb elemzést nyújt többek között a vektor mezőkről. R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

De a vektorelemzés fontossága abból fakad, hogy intenzíven használják a fizikában és a mérnöki tudományokban . Ebből a szempontból mutatjuk be, és ezért szorítkozunk leggyakrabban arra az esetre, ahol a szokásos háromdimenziós tér van. Ebben az összefüggésben egy vektormező egy vektort (három valós komponenssel) társít a tér minden egyes pontjához, míg egy skaláris mező egy valósat társít hozzá. Képzelje el például a tó vizét. Az egyes pontok hőmérsékletének adatai skalármezőt, az egyes pontok sebességének vektormezőt alkotnak (elméleti megközelítésért lásd a differenciálgeometriát ). E=R3{\ displaystyle E = \ mathbb {R} ^ {3}}

A vektor fogkő és a vektort analízis végén kialakult a XIX E  században J. Willard Gibbs és Oliver Heaviside kezdve az elmélet quaternions (miatt Hamilton ); a legtöbb jelölést és a terminológiát létrehozott Gibbs és Edwin Bidwell Wilson könyvükben 1901, Vector Analysis ( Vector Analysis ).

Fő lineáris differenciálművezetők

A gradiens , a divergencia és a curl a három differenciál operátor lineáris első rendű. Ez azt jelenti, hogy ezek csak a mezők részleges (vagy differenciális ) első származtatásait foglalják magukban , ellentétben például a Laplaciával, amely a másodrendű részleges származékokat foglalja magában.

Különösen az alábbiak találhatók meg:

• Folyadékmechanika ( Navier-Stokes-egyenletek ).
• Elektromágnesesség , ahol lehetővé teszik az elektromágneses mező tulajdonságainak kifejezését . A Maxwell-egyenletek modern megfogalmazása ezeket az operátorokat használja.
• Valamint az összes matematikai fizikában ( terjedés , diffúzió , anyagok ellenállása , ...).

Hivatalos üzemeltető nabla

A nabla operátor nevét egy ősi líráról veszi, amelynek azonos háromszög alakja lefelé mutat. Ez egy formális operátor, amelyet derékszögű koordinátákban definiált ∇{\ displaystyle \ nabla}R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}

∇=(∂∂x∂∂y∂∂z){\ displaystyle \ nabla = {\ kezdődik {pmatrix} {\ frac {\ részleges} {\ részleges x}} \\ [7pt] {\ frac {\ részleges} {\ részleges y}} \\ [7pt] {\ frac {\ részleges} {\ részleges z}} \ vég {pmatrix}}}.

Azt is írjuk , hogy aláhúzzuk, hogy formailag a nabla operátor rendelkezik egy vektor jellemzőivel. Természetesen nem tartalmaz skaláris értékeket, de alkotóelemeit (amelyeket argumentumokra váró műveletekként láthatunk - differenciál operátorok ) nagyon pontosan fogjuk használni, ahogyan a vektort alkotó skalárértékeket is használtuk volna. ∇→{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}}}

A nabla jelölés kényelmes módot kínál a vektoroperátorok derékszögű koordinátákban történő kifejezésére  ; más koordinátarendszerekben továbbra is használható további óvintézkedések árán; További részletekért és elméleti értelmezésekért (különös tekintettel a kovariáns származékkal való kapcsolatra ) lásd a nabla és Koszul kapcsolata című részletes cikkeket .

Színátmenet differenciálmű

A gradiens egy lineáris operátor, amely egy skalármezőre vonatkozik, és olyan vektormezőt ír le , amely a skalármező értékének a térben való változását ábrázolja. Gyakorlatilag a gradiens jelzi a skaláris mező legnagyobb variációjának irányát és ennek a variációnak az intenzitását. Például a magassági gradiens a legnagyobb meredekség mentén halad és normája a lejtővel együtt növekszik.

A matematika, a gradiens a mező F , feltételezzük, hogy folytonosan differenciálható , pontban egy , határozza meg a kapcsolatban

df(nál nél)⋅h=(grnál néld→nál nélf)⋅h{\ displaystyle \ mathrm {d} f (a) \ cdot h = \ left ({\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} _ {a} f \ right) \ cdot h},

ahol a függvény azon pontján lévő differenciál vektorának értékét jelöli . df(nál nél).h{\ displaystyle \ mathrm {d} f (a) .h}h{\ displaystyle h}f{\ displaystyle f}nál nél{\ displaystyle a}

Ezért egész egyszerűen a meghatározása a tangens lineáris térképe a skalármező F ( M ) = f ( x , y , z ) a M = a . Ezen túlmenően, egy felülete egyenlet f ( x , y , z ) = 0 , a vektor normális a felszínre a ponton adja , amely könnyen levezethető a fenti. nál nél=(xnál nél,ynál nél,znál nél){\ displaystyle a = (x_ {a}, y_ {a}, z_ {a})}grnál néld→nál nélf{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} _ {a} f}

Ebből azonnal következik, hogy a függvény deriváltját az v vektorhoz képest a nál nél{\ displaystyle a}

grnál néld→nál nélf⋅v.{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} _ {a} f \ cdot v.}

A 3. dimenzióban és a derékszögű koordinátákban a gradiens mező megfelel (ortonormális alapon)

grnál néld→f=∇→f=(∂f∂x∂f∂y∂f∂z).{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} f = {\ vec {\ nabla}} f = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ részleges f} {\ részleges x}} \\ {\ frac {\ részleges f} {\ részleges y}} \\ {\ frac {\ részleges f} {\ részleges z}} \ vég {pmatrix}}.}

Ez a kapcsolat felhasználható a színátmenet meghatározásának adott esetben, ahol alkalmazható. Bármely dimenzióban természetesen általánosítják azáltal, hogy komponenseket adnak a nablához.

Vektormező tangens lineáris leképezése F→(M){\ displaystyle {\ vec {F}} (M)}

Legyen M ' a vektorfordítással M- ről lefordított pont  ; így : h→{\ displaystyle {\ vec {h}}}

F(→M′)-F→(M)=(∂F→^)M⋅h→+o(‖h→‖){\ displaystyle {\ vec {F (}} M ') - {\ vec {F}} (M) = ({\ widehat {\ részleges {\ vec {F}}}}) _ {M} \ cdot { \ vec {h}} + o (\ | {\ vec {h}} \ |)}

meghatározza a kalap által megjegyzett lineáris operátort annak jelzésére, hogy az ábrázolása az alapban négyzetmátrix [3-3], az F ( M ) vektormező tangens lineáris térképe .

Ennek az operátornak a meghatározója az F ( M ) kombinációjú M-be történő átalakulás jakobiusza .

Nyomja meghatározza az F ( M ) vektormező divergenciáját .

Ez lehetővé teszi az F ( M ) vektormező forgatásának belső meghatározását.

Ezt szimbolikusan ellenőrizhetjük:

(∂F→^)M⋅h→=(h→⋅∇→)F→{\ displaystyle ({\ widehat {\ partic {\ vec {F}}}}) _ {M} \ cdot {\ vec {h}} = ({\ vec {h}} \ cdot {\ vec {\ nabla }}) {\ vec {F}}}

Divergencia operátor

A divergencia az n rendű tenzorok mezőjére vonatkozik, és az n -1 rendű tenzorok mezőjévé alakítja át . A gyakorlatban egy vektormező divergenciája kifejezi azt a tendenciát, hogy lokálisan kúszik az M pontot körülvevő kis térfogatból, ahol a divergenciát kiszámítják.

A 3. dimenzióban és a derékszögű koordinátákban, ha az 1. sorrend tenzora, akkor ez egy vektor, és a divergenciát a relációval határozhatjuk meg. F→{\ displaystyle {\ vec {F}}}

dénvF→=∇→⋅F→=∂Fx∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂z{\ displaystyle \ mathrm {div} {\ vec {F}} = {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {F}} = {\ frac {\ részleges F_ {x}} {\ részleges x} } + {\ frac {\ részleges F_ {y}} {\ részleges y}} + {\ frac {\ részleges F_ {z}} {\ részleges z}}}

ahol kijelöli a vektor mezőt, amelyre a divergencia operátort alkalmazzuk. A divergencia formailag úgy tekinthető, mint a nabla operátor skaláris szorzata a mező általános generációs vektorával, amelyre a jelölést igazolja . Természetesen ez a meghatározás bármely dimenzióban természetesen általános. F→=(Fx,Fy,Fz){\ displaystyle {\ vec {F}} = (F_ {x}, F_ {y}, F_ {z})}∇→⋅{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot}

Az alap megválasztásának független meghatározása:

dénvF→=Tr(∂F→^){\ displaystyle \ mathrm {div} {\ vec {F}} = {\ mbox {Tr}} ({\ widehat {\ részleges {\ vec {F}}}})}

Egy másik lehetséges definíció, amely általánosabb, de nehezebben formalizálható, abban áll, hogy meghatározzuk egy vektormező divergenciáját egy pontban, mint a mező helyi fluxusát a pont körül.

Rotációs operátor

A forgatás egy vektormezőt átalakít egy másik vektormezővé . Nehezebben olyan pontosan ábrázolható, mint a gradiens és a divergencia, kifejezi a mező hajlamát egy pont körül forogni: lokális keringése az M pontot körülvevő kis csipkén nem nulla. Például :

• egy tornádóban a szél a ciklon szeme körül forog, és a szélsebesség-vektor mezőnek a szem körüli értéke nem nulla. Ennek a sebesség mezőnek a forgása (más szóval az örvénymező vagy akár az örvénymező) annál intenzívebb, minél közelebb vagyunk a szemhez.
• az állandó sebességgel forgó szilárd anyag sebességmezejének forgása állandó, a forgástengely mentén irányított és olyan irányú, hogy a forgás vele szemben közvetlen irányban haladjon, és egyszerűen egyenlőV→(M)=Ω→0∧OM→{\ displaystyle {\ vec {V}} (M) = {\ vec {\ Omega}} _ {0} \ wedge {\ vec {OM}}}Ω→0{\ displaystyle {\ vec {\ Omega}} _ {0}}2Ω→0{\ displaystyle 2 {\ vec {\ Omega}} _ {0}}

Háromdimenziós térben és derékszögű koordinátákban definiálhatjuk a forgást a reláció alapján

rot→ F→=∇→∧F→=(∂Fz/∂y-∂Fy/∂z∂Fx/∂z-∂Fz/∂x∂Fy/∂x-∂Fx/∂y){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \ {\ vec {F}} = {\ vec {\ nabla}} \ wedge {\ vec {F}} = {\ begin {pmatrix} {\ részleges F_ {z} / \ részleges y} - {\ részleges F_ {y} / \ részleges z} \\ {\ részleges F_ {x} / \ részleges z} - {\ részleges F_ {z} / \ részleges x} \ \ {\ részleges F_ {y} / \ részleges x} - {\ részleges F_ {x} / \ részleges y} \ vég {pmatrix}}}

ahol kijelöli azt a vektormezőt, amelyre a rotációs operátort alkalmazzuk. A formális analógia egy kereszttel igazolja a jelölést . F→=(Fx,Fy,Fz){\ displaystyle {\ vec {F}} = (F_ {x}, F_ {y}, F_ {z})}∇→∧{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ ék}

Ez is írható, a jelöléssel való visszaéléssel (ez szintén mnemos trükk), meghatározó segítségével:

rot→ F→=|én→j→k→∂∂x∂∂y∂∂zFxFyFz|{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \ {\ vec {F}} = {\ begin {vmatrix} {\ vec {i}} és {\ vec {j}} és {\ vec {k }} \\ {\ frac {\ részleges} {\ részleges x}} és {\ frac {\ részleges} {\ részleges y}} és {\ frac {\ részleges} {\ részleges z}} \\ F_ {x } & F_ {y} és F_ {z} \ end {vmatrix}}}

ahol a kanonikus alapot jelöli. Ez az utolsó kifejezés egy kicsit bonyolultabb, mint az előző, de könnyen általánosítható más koordinátarendszerekre. (én→,j→,k→){\ displaystyle ({\ vec {i}}, {\ vec {j}}, {\ vec {k}})}

• A rotáció belső meghatározása (többek között) a következő  :

A mezőből felépíthetjük azt a mezőt (ahol egyenletes vektor van), amelynek divergenciája lineáris formája, és ezért ponttermékkel fejezhető ki , ahol az ellentéte van a forgatásnak  : F→{\ displaystyle {\ vec {F}}}x0→∧F→{\ displaystyle {\ vec {X_ {0}}} \ wedge {\ vec {F}}}x0→{\ displaystyle {\ vec {X_ {0}}}}x0→{\ displaystyle {\ vec {X_ {0}}}}K→⋅x0→{\ displaystyle {\ vec {K}} \ cdot {\ vec {X_ {0}}}}K→{\ displaystyle {\ vec {K}}}F→{\ displaystyle {\ vec {F}}}

dénv(x0→∧F→)=-rot→F→⋅x0→{\ displaystyle \ mathrm {div} ({\ vec {X_ {0}}} \ wedge {\ vec {F}}) = - {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} {\ vec {F}} \ cdot {\ vec {X_ {0}}}}

Egy másik lehetséges definíció, amely általánosabb, de nehezebben formalizálható, abban áll, hogy meghatározzuk a vektorok mezőjének forgását egy olyan pontban, mint a mező ezen a pont körüli lokális keringése (lásd a forgást a fizikában ).

Magasabb rendű operátorok

Laplaciai operátor

A 2. rend legszélesebb körben alkalmazott operátora a Laplacian , amelyet Pierre-Simon de Laplace matematikusról neveztek el . Egy mező laplaciája megegyezik a mező második deriváltjának összegével az egyes változók tekintetében.

A 3. dimenzióban és a derékszögű koordinátákban a következőket írják:

Δ=∇2=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2{\ displaystyle \ Delta = \ nabla ^ {2} = {\ frac {\ részleges ^ {2}} {\ részleges x ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2}} {\ részleges y ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2}} {\ részleges z ^ {2}}}}.

Ennek a meghatározásnak jelentése van a skalárok és a vektorok mezője szempontjából is. A skaláris laplaciáról és a vektoriális laplacianusról beszélünk . A skalármezõ skaláris laplakusa a skalármezõ, míg a vektormezõ Laplaciánja vektormezõ. Ez utóbbi megkülönböztetésére néha megjegyzik (hogy a kezdők ne felejtsék el, hogy ez az operátor ); a jelölést inkább el kell vetni. Δ→{\ displaystyle \ operátornév {\ vec {\ Delta}}}grnál néld→ dénv-rot→ rot→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \ \ mathrm {div} - {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \ {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}}}Δ→{\ displaystyle {\ vec {\ Delta}}}

A fent látható másik laplaciai jelölés arra hív fel bennünket, hogy formálisan tekintsük a nabla „  ” operátor skaláris négyzetének  . ∇2{\ displaystyle \ nabla ^ {2}}∇{\ displaystyle \ nabla}

A Laplacianus több részleges differenciálegyenlet írásában jelenik meg, amelyek alapvető szerepet játszanak a fizikában.

• A legegyszerűbb a Laplace-egyenlet . (Osztály ) megoldásai harmonikus függvények , amelyek tanulmányozását potenciálelméletnek nevezzük . Ez a név az elektromos potenciálból származik , amelynek viselkedését (hasonlóan a fizika többi potenciáljához ) bizonyos feltételek mellett ez az egyenlet szabályozza.Δf=0{\ displaystyle \ Delta f = 0}VS2{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {2}}
• Laplacian-t is használják az alábbiak írására:
  • a Poisson-egyenlet  : ∇2φ=f{\ displaystyle {\ nabla} ^ {2} \ varphi = f} ;
  • vagy a rezgő húrok egyenlete  :∇2φ(x,y,z,t)=1vs.2⋅∂2φ(x,y,z,t)∂t2{\ displaystyle {\ nabla} ^ {2} \ varphi (x, y, z, t) = {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ cdot {\ frac {\ részleges ^ {2} \ varphi (x, y, z, t)} {\ részleges t ^ {2}}}}

Vektor laplaszi operátor

A vektormező laplaciája egy olyan vektor, amelyet a vektormező minden egyes alkotóelemének skaláris Laplaciánja határoz meg, tehát derékszögű koordinátákban a következő: NÁL NÉL→{\ displaystyle {\ vec {A}}}

Δ→⁡NÁL NÉL→=∇→2⁡NÁL NÉL→=(∇→.∇→)NÁL NÉL→=(∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2).[NÁL NÉLxNÁL NÉLyNÁL NÉLz]=[∂2NÁL NÉLx∂x2+∂2NÁL NÉLx∂y2+∂2NÁL NÉLx∂z2∂2NÁL NÉLy∂x2+∂2NÁL NÉLy∂y2+∂2NÁL NÉLy∂z2∂2NÁL NÉLz∂x2+∂2NÁL NÉLz∂y2+∂2NÁL NÉLz∂z2]=[ΔNÁL NÉLxΔNÁL NÉLyΔNÁL NÉLz]{\ displaystyle \ kezelőnév {\ vec {\ Delta}} {\ vec {A}} = \ kezelőnév {{\ vec {\ nabla}}} ^ {2}} {\ vec {A}} = (\ kezelőnév { \ vec {\ nabla}}. \ operátornév {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A}} = \ balra ({\ frac {\ részleges ^ {2}} {\ részleges x ^ {2}} } + {\ frac {\ részleges ^ {2}} {\ részleges y ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2}} {\ részleges z ^ {2}}} \ jobb). { \ begin {bmatrix} A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ részleges ^ {2} A_ {x}} { \ részleges x ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2} A_ {x}} {\ részleges y ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2} A_ {x} } {\ részleges z ^ {2}}} \\ {\ frac {\ részleges ^ {2} A_ {y}} {\ részleges x ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2} A_ {y}} {\ részleges y ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2} A_ {y}} {\ részleges z ^ {2}}} \\ {\ frac {\ részleges ^ { 2} A_ {z}} {\ részleges x ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2} A_ {z}} {\ részleges y ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2} A_ {z}} {\ részleges z ^ {2}}} \ end {bmatrix}} = {\ elején {bmatrix} \ Delta A_ {x} \\\ Delta A_ {y} \\\ Delta A_ {z} \ end {bmatrix}}}

A vektoros Laplacian jelen van:

• a Poisson-egyenletben a vektoros változatokra,
• viszkózus folyadékmechanikában, ahol a Navier-Stokes-egyenletek szerepelnek ,
• a hullámegyenletben és különösen az elektromágnesességben az elektromágneses hullám terjedési egyenleteiben .

Néhány differenciál képlet

Figyelem: A következő képletek érvényesek, feltéve, hogy bizonyos feltételezések ellenőrizzük (a skalárfüggvény az első képlet kell lennie , ahol , például Hasonlóképpen, ha. Jelöli a vektor funkció érintett a második képlet, ellenőrzés , .)VS2(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {2} (\ Omega)}Ω⊂R{\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R}}f→{\ displaystyle {\ vec {f}}}f→∈VS2(Ω){\ displaystyle {\ vec {f}} \ itt: {\ mathcal {C}} ^ {2} (\ Omega)}Ω⊂Rnem{\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}

• rot→(grnál néld→)=0→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} ({\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}}) = {\ vec {0}}}

• dénv(rot→)=0{\ displaystyle \ mathrm {div} ({\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}}) = 0}

• rot→(rot→)=grnál néld→(dénv)-Δ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} ({\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}}) = {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (\ mathrm {div}) - {\ vec {\ Delta}}}(vektorra vonatkoztatva) ( forgás a forgástól )

• Δ=dénv(grnál néld→){\ displaystyle \ Delta = \ mathrm {div} ({\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}})} (skalárra alkalmazva)

A termékek úgynevezett Leibniz-formulái

• grnál néld→(x0→⋅B→)=(x0→⋅grnál néld→)B→+x0→∧rot→(B→){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} ({\ vec {X_ {0}}} \ cdot {\ vec {B}}) = ({\ vec {X_ {0}}} \ cdot { \ overrightarrow {\ mathrm {grad}}}) {\ vec {B}} + {\ vec {X_ {0}}} \ wedge {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} ({\ vec {B}} )}(ahol van egy egységes vektor) és nyilván:x0→{\ displaystyle {\ vec {X_ {0}}}}

• grnál néld→(NÁL NÉL→⋅B→)=(NÁL NÉL→⋅grnál néld→)B→+NÁL NÉL→∧rot→B→+(B→⋅grnál néld→)NÁL NÉL→+B→∧rot→NÁL NÉL→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} ({\ vec {A}} \ cdot {\ vec {B}}) = ({\ vec {A}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm { grad}}}) {\ vec {B}} + {\ vec {A}} \ wedge {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} {\ vec {B}} + ({\ vec {B}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}}) {\ vec {A}} + {\ vec {B}} \ wedge {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} {\ vec {A}}}

• grnál néld→(F→⋅F→)=2(F→⋅grnál néld→)F→+2F→∧(rot→(F→)){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} ({\ vec {F}} \ cdot {\ vec {F}}) = 2 ({\ vec {F}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}}) {\ vec {F}} + 2 {\ vec {F}} \ wedge ({\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} ({\ vec {F}}))}( folyadékmechanikában Bernoullinak hívják )

• dénv(x0→∧B→)=-x0→⋅rot→(B→){\ displaystyle \ mathrm {div} ({\ vec {X_ {0}}} \ wedge {\ vec {B}}) = - {\ vec {X_ {0}}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm { rot}}} ({\ vec {B}})}(hol van egy egyenletes vektor, a rotáció belső meghatározása )x0→{\ displaystyle {\ vec {X_ {0}}}}

• dénv(NÁL NÉL→∧B→)=-NÁL NÉL→⋅rot→B→+B→⋅rot→NÁL NÉL→{\ displaystyle \ mathrm {div} ({\ vec {A}} \ wedge {\ vec {B}}) = - {\ vec {A}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} {\ vec {B}} + {\ vec {B}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} {\ vec {A}}}

• rot→(x0→∧B→)=x0→⋅dénvB→-(x0→⋅grnál néld→)B→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} ({\ vec {X_ {0}}} \ wedge {\ vec {B}}) = {\ vec {X_ {0}}} \ cdot \ mathrm {div} {\ vec {B}} - ({\ vec {X_ {0}}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}}) {\ vec {B}}} (ahol van egy egységes vektor, az érintő lineáris térkép meghatározása alapján)x0→{\ displaystyle {\ vec {X_ {0}}}}

• rot→(NÁL NÉL→∧B→)=NÁL NÉL→ dénvB→-(NÁL NÉL→⋅grnál néld→)B→-B→ dénvNÁL NÉL→+(B→⋅grnál néld→)NÁL NÉL→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} ({\ vec {A}} \ ék {\ vec {B}}) = {\ vec {A}} \ \ mathrm {div} {\ vec { B}} - ({\ vec {A}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}}) {\ vec {B}} - {\ vec {B}} \ \ mathrm {div} {\ vec {A}} + ({\ vec {B}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}}) {\ vec {A}}}

• grnál néld→(fg)=f⋅grnál néld→(g)+g⋅grnál néld→(f){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (fg) = f \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (g) + g \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (f)} (f és g szimmetrikus)

• dénv(ρ⋅V→)=ρ⋅dénvV→+grnál néld→(ρ)⋅V→{\ displaystyle \ mathrm {div} (\ rho \ cdot {\ vec {V}}) = \ rho \ cdot \ mathrm {div} {\ vec {V}} + {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (\ rho) \ cdot {\ vec {V}}}

• rot→(ρ⋅V→)=ρ⋅rot→V→+grnál néld→(ρ)∧V→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} (\ rho \ cdot {\ vec {V}}) = \ rho \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} {\ vec {V}} + {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (\ rho) \ ék {\ vec {V}}}

• Δ(f⋅g)=f⋅Δg+2grnál néld→(f)⋅grnál néld→(g)+g⋅Δf{\ displaystyle \ Delta (f \ cdot g) = f \ cdot \ Delta g + 2 {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (f) \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (g) + g \ cdot \ Delta f}

• dénv(f⋅grnál néld→(g)-g⋅grnál néld→(f))=fΔg-gΔf{\ displaystyle \ mathrm {div} (f \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (g) -g \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (f)) = f \ Delta gg \ Delta f}

Néhány hasznos képlet

• Legyen f ( M ) és g ( M ) két skaláris mező, létezik olyan vektormező , amely:NÁL NÉL→(M){\ displaystyle {\ vec {A}} (M)}rot→NÁL NÉL→=grnál néld→f∧grnál néld→g{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} {\ vec {A}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} f \ wedge {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, g }
• A központi mező nagyon fontos szerepet játszik a fizikában. Ezért tanácsos megjegyezni ezt a néhány nyilvánvaló tényt: OM→=r→{\ displaystyle {\ vec {OM}} = {\ vec {r}}}
  • tangens lineáris alkalmazása az identitásmátrix (vö. a definícióval!),
  • tehát és (ahol egyenletes vektor) ésdénvr→=3{\ displaystyle \ mathrm {div} {\ vec {r}} = 3}rot→(x0→∧r→)=2x0→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} ({\ vec {X_ {0}}} \ wedge {\ vec {r}}) = 2 {\ vec {X_ {0}}}}x0→{\ displaystyle {\ vec {X_ {0}}}}rot→(r→)=0→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} ({\ vec {r}}) = {\ vec {0}}}
• Másrészt (hol van egy egységes vektor).x0→=grnál néld→(x0→⋅r→){\ displaystyle {\ vec {X_ {0}}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} ({\ vec {X_ {0}}} \ cdot {\ vec {r}})}x0→{\ displaystyle {\ vec {X_ {0}}}}
• És azt is: a különösen (nyilvánvaló, mert )grnál néld→f(r)=f′(r)u→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} f (r) = f '(r) {\ vec {u}}}u→=r→r{\ displaystyle {\ vec {u}} = {\ frac {\ vec {r}} {r}}}grnál néld→(r2)=2r→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (r ^ {2}) = 2 {\ vec {r}}}d(r→⋅r→)=d(r2){\ displaystyle d ({\ vec {r}} \ cdot {\ vec {r}}) = d (r ^ {2})}
• Δf(r)=f″(r)+2r⋅f′(r){\ displaystyle \ Delta f (r) = f '' (r) + {\ frac {2} {r}} \ cdot f '(r)} , kivéve r=0{\ displaystyle r = 0}
• A newtoni mezőt , vagyis nagyon gyakran tanulmányozzák, mert ez az egyetlen centrális mező, amelynek nulla divergenciája van (nyilvánvaló, ha fluxusban gondolkodunk), kivéve r = 0 , ahol érdemes  ; ez az eredmény a folytonos szögre vonatkozó Gauss-tétel ). Ebből következik . Ebből kifolyólagr→r3{\ displaystyle {\ frac {\ vec {r}} {r ^ {3}}}}4π⋅δ(r){\ displaystyle 4 \ pi \ cdot \ delta (r)}Δ(1/r)=-4π⋅δ(r){\ displaystyle \ Delta (1 / r) = - 4 \ pi \ cdot \ delta (r)}Δ(x0→/r)=-4π⋅x0→⋅δ(r){\ displaystyle \ Delta ({\ vec {X_ {0}}} / r) = - 4 \ pi \ cdot {\ vec {X_ {0}}} \ cdot \ delta (r)}(ahol egy egységes vektor), amely a következőkre bomlik:x0→{\ displaystyle {\ vec {X_ {0}}}} grnál néld→(dénv)(x0→/r)=-4π⋅x0→⋅δ(r)⋅(1/3){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (\ mathrm {div}) ({\ vec {X_ {0}}} / r) = - 4 \ pi \ cdot {\ vec {X_ {0} }} \ cdot \ delta (r) \ cdot (1/3)}

(ahol egyenletes vektor van), és x0→{\ displaystyle {\ vec {X_ {0}}}}

rot→(rot→)(x0→/r)=+4π⋅x0→⋅δ(r)⋅(2/3){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} ({\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}}) ({\ vec {X_ {0}}} / r) = + 4 \ pi \ cdot {\ vec {X_ {0}}} \ cdot \ delta (r) \ cdot (2/3)}

(ahol van egy egyenletes vektor), ami kevésbé nyilvánvaló (vö. mágneses momentum ). x0→{\ displaystyle {\ vec {X_ {0}}}}

• Az előző képletek differenciálisnak mondhatók . Meg kell kombinálni a képletek integrálok  : Stokes tétel , divergencia tétel , stb
• Végül célszerű nem szem elől téveszteni a vizsgált vektormezők axiális vagy poláris jellegét . Abszolút nem ugyanazok a matematikai entitások!

Operátorok kifejezései különböző koordinátákban

Hengeres koordináták

grnál néld→f=∂f∂rur→+1r∂f∂θuθ→+∂f∂zuz→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} f = {\ frac {\ részleges f} {\ részleges r}} {\ vec {u_ {r}}} + {\ frac {1} {r} } {\ frac {\ részleges f} {\ részleges \ theta}} {\ vec {u _ {\ theta}}} + {\ frac {\ részleges f} {\ részleges z}} {\ vec {u_ {z }}}} dénvNÁL NÉL→=1r∂∂r(rNÁL NÉLr)+1r∂NÁL NÉLθ∂θ+∂NÁL NÉLz∂z{\ displaystyle \ mathrm {div} {\ vec {A}} = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ részleges} {\ részleges r}} \ bal (rA_ {r} \ jobb) + {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ részleges A _ {\ theta}} {\ részleges \ theta}} + {\ frac {\ részleges A_ {z}} {\ részleges z}}} rot→(NÁL NÉL→)=(1r∂NÁL NÉLz∂θ-∂NÁL NÉLθ∂z)ur→+(∂NÁL NÉLr∂z-∂NÁL NÉLz∂r)uθ→+1r(∂∂r(rNÁL NÉLθ)-∂NÁL NÉLr∂θ)uz→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} ({\ vec {A}}) = \ balra ({\ frac {1} {r}} {\ frac {\ részleges A_ {z}} {\ részleges \ theta}} - {\ frac {\ részleges A _ {\ theta}} {\ részleges z}} \ jobbra) {\ vec {u_ {r}}} + \ balra ({\ frac {\ részleges A_ { r}} {\ részleges z}} - {\ frac {\ részleges A_ {z}} {\ részleges r}} \ jobbra) {\ vec {u _ {\ theta}}} + {\ frac {1} { r}} \ balra ({\ frac {\ partitális {\ részleges r}} (rA _ {\ theta}) - {\ frac {\ részleges A_ {r}} {\ részleges \ theta}} \ jobbra) { \ vec {u_ {z}}}} Δf=1r∂∂r(r∂f∂r)+1r2∂2f∂θ2+∂2f∂z2{\ displaystyle \ Delta f = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ részben} {\ részleges r}} \ balra (r {\ frac {\ részleges f} {\ részleges r}} jobbra ) + {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges \ theta ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges z ^ {2}}}}

Gömbös koordináták

grnál néld→f=∂f∂rur→+1r∂f∂θuθ→+1rbűn⁡θ∂f∂φuφ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} f = {\ frac {\ részleges f} {\ részleges r}} {\ vec {u_ {r}}} + {\ frac {1} {r} } {\ frac {\ részleges f} {\ részleges \ theta}} {\ vec {u _ {\ theta}}} + {\ frac {1} {r \ sin \ theta}} {\ frac {\ részleges f } {\ részleges \ varphi}} {\ vec {u _ {\ varphi}}}} dénvNÁL NÉL→=1r2∂∂r(r2NÁL NÉLr)+1rbűn⁡θ∂∂θ(bűn⁡θNÁL NÉLθ)+1rbűn⁡θ∂NÁL NÉLφ∂φ{\ displaystyle \ mathrm {div} {\ vec {A}} = {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ részben} {\ részleges r}} (r ^ {2} A_ {r}) + {\ frac {1} {r \ sin \ theta}} {\ frac {\ részleges} {\ részleges \ theta}} (\ sin \ theta A _ {\ theta}) + {\ frac { 1} {r \ sin \ theta}} {\ frac {\ részleges A _ {\ varphi}} {\ részleges \ varphi}}} rot→(NÁL NÉL→)=1rbűn⁡θ(∂∂θ(bűn⁡θNÁL NÉLφ)-∂NÁL NÉLθ∂φ)ur→+(1rbűn⁡θ∂NÁL NÉLr∂φ-1r∂∂r(rNÁL NÉLφ))uθ→+1r(∂∂r(rNÁL NÉLθ)-∂NÁL NÉLr∂θ)uφ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} ({\ vec {A}}) = {\ frac {1} {r \ sin \ theta}} \ bal ({\ frac {\ partic} {\ részleges \ theta}} (\ sin \ theta A _ {\ varphi}) - {\ frac {\ részleges A _ {\ theta}} {\ részleges \ varphi}} \ jobb) {\ vec {u_ {r}} } + \ balra ({\ frac {1} {r \ sin \ theta}} {\ frac {\ részleges A_ {r}} {\ részleges \ varphi}} - {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ részleges} {\ részleges r}} (rA _ {\ varphi}) \ jobbra {{vec {u _ {\ theta}}} + {\ frac {1} {r}} \ balra ({\ frac {\ részleges} {\ részleges r}} (rA _ {\ theta}) - {\ frac {\ részleges A_ {r}} {\ részleges \ theta}} \ jobb) {\ vec {u _ {\ varphi }}}} Δf=1r2∂∂r(r2∂f∂r)+1r2bűn⁡θ∂∂θ(bűn⁡θ∂f∂θ)+1r2bűn2⁡θ∂2f∂φ2{\ displaystyle \ Delta f = {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ részleges} {\ részleges r}} \ balra (r ^ {2} {\ frac {\ részleges f} {\ részleges r}} \ jobbra) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ részleges} {\ részleges \ theta}} \ balra (\ sin \ theta { \ frac {\ részleges f} {\ részleges \ theta}} \ jobbra) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges \ varphi ^ {2}}}}

Függelékek

Bibliográfia

• Max Abraham és Paul Langevin Vektorelemzés az Encyclopedia of Pure and Applied Matematikai Tudományok. Kötet IV. Ötödik kötet, fascicula 1 Jules Molk (szerk.) P.  12. (Gauthier-Villars, Párizs, 1912–1914)

Kapcsolódó cikkek

• Green tétele
• Stokes-tétel
• Vektor azonosságok
• Áramlás-divergencia tétel
• Helmholtz-Hodge tétel
• Nabla
• Elektrosztatikus
• Magnetosztatikus