A geometriai szimmetria egy invutív geometriai transzformáció, amely megőrzi a párhuzamosságot. A gyakori szimmetriák közé tartozik a reflexió és a központi szimmetria .
Geometriai szimmetria egy speciális esete a szimmetria . A síkban vagy az űrben többféle szimmetria létezik .
Megjegyzés : A szimmetria kifejezésnek a matematikában is van egy másik jelentése. A szimmetria kifejezéscsoportban a szimmetria bármely izometriát jelöl . Ez a kifejezés vagy fordítást , vagy ortogonális automorfizmust , vagy mindkettő kombinációját jelöli.
Az O központ szimmetriája az a transzformáció, amely az M bármely pontján összekapcsolja az M 'pontot úgy, hogy O az [MM'] középpontja.
Konstrukció: Rajzolja meg az A-n és az O-n áthaladó (d) vonalat. Hosszabbítsa azt O-n túl. O-ra mutatott iránytűvel és OA-val egyenlő távolsággal vágja le (d) az A 'pontra.
E szimmetria egyetlen invariáns pontja az O pont.
Az O középpontú szimmetria egyben lapos szögű forgatás és homotetika O középponttal és -1 aránnyal
Szimmetria központjaEgy alaknak van C szimmetriaközpontja, ha invariáns a C középpont szimmetriájával.
Példák a szimmetria központjára:
Két szimmetria vegyülete az O és O ' központokkal , s O' os O egy vektor transzláció
Ez a tulajdonság lehetővé teszi, hogy meghatározza az első csoport az átalakulások a sík: hogy a központi szimmetriák-fordítások. Valójában két központi szimmetria vagy fordítás összeállításával az egyik központi szimmetriát vagy fordítást kap. És így azonos térkép, elegendő, hogy össze fordítását vektor u által fordítását vektor - u , vagy hogy össze egy központi szimmetria önmagában.
A központi szimmetria megőrzi a távolságokat és az orientált szögeket. Ezért pozitív izometria vagy elmozdulás . A korábban definiált csoport tehát a kiszorítási csoport egyik alcsoportja.
Ezeket d ) tengelyreflexiónak is nevezzük . A reflexió a tengely ( d ) az átalakulás a sík, amely elhagyja az összes pontok ( d ) állandó és amely, bármely ponton M nem található ( d ), társítja az M pont „oly módon, hogy ( d ) az a merőleges az [MM '] felezője. Mivel a merőleges felezőnek két egyenértékű meghatározása létezik, így az M 'pont két ekvivalens konstrukcióját ismerjük.
ÉpítkezésAdatok: a szimmetriatengely ( d ), a lényeg A .
Célkitűzés: építeni egy „szimmetrikus az A által ortogonális szimmetria tengely ( d ).
Egy ábrának csak akkor van szimmetriatengelye ( d ), ha invariáns a ( d ) tengely tükrözésével
Példák a közös figurákra:
Két merőleges szimmetriatengellyel rendelkező ábra szimmetriaközpontja a két vonal metszéspontja. Például az egyszerű, nem kurzív és nem dőlt betűtípusú H, I, O, X betűknek gyakran két merőleges szimmetriatengelye van, tehát szimmetriaközpontja is, ugyanúgy a téglalap, a rombusz és a négyzet.
Reflekció és izometriák csoportjaA tükrözés megőrzi a távolságokat és a szögeket. Ezért izometria . De nem tartja meg a tájolást (lásd a kiralitást ). Azt mondják, ez elmozdulásellenes.
A párhuzamos tengelyek két visszaverődésének összetétele transzláció, amelynek távolsága megegyezik az ezen tengelyek közötti távolság kétszeresével. A szemközti képen a média vektor tulajdonságai lehetővé teszik ezt mondani |
|
A másodlagos tengelyek két visszaverődésének együttese egy forgás , amelynek szöge megegyezik a két tengely között kialakított szög kétszeresével. A szemközti képen a felezőn lévő tulajdonságok lehetővé teszik, hogy ezt elmondjuk |
Ezután észrevesszük, hogy a reflexiók halmaza az izometriák teljes halmazát generálja.
A (d ') irányt követő (d-vel) nem párhuzamos ( d-vel ) egy ( d ) vonallal szembeni szimmetria az a transzformáció, amely a ( d ) összes pontját változatlanul hagyja, és amely az M bármely pontján nem helyezkedik el ( d) ) ) társítsa az M ' pontot úgy, hogy az (MM') egyenes párhuzamos legyen a (d ') ponttal, és az [MM'] középpontja be legyen kapcsolva ( d )
Ez a szimmetria leépülési: szimmetrikus az M ' jelentése F . Kevésbé érdekli az unokatestvéreit, mert nem tartja be a távolságokat: torzítja az alakokat. Viszont megtartja a baricentrumokat, ezért része az affin transzformációknak.
Ugyanazt a meghatározást és ugyanazokat a tulajdonságokat találjuk, mint a sík középső szimmetriájára, azzal a különbséggel, hogy a központi szimmetria nem őrzi meg a térben való orientációt.
A férfi felemeli jobb kezét, képe pedig bal kezét.
Ugyanazt a meghatározást találjuk, mint a tervben. Egy ortogonális szimmetria vonal is egy forgási tengely ( d ) és a lapos szögben.
Ellentétben azzal, ami a síkban történik, az ilyen térbeli szimmetria fenntartja a tájékozódást.
A férfi felemeli jobb kezét, képe pedig jobb kezét.
Az ortogonális szimmetria síkjához ( P ) az átalakulás, amely elhagyja minden pontján ( P ) invariáns, és amely bármely ponton M nem található ( P ), társítja a lényeg M ' oly módon, hogy ( P ) az az [MM '] síkközvetítője
Az ilyen szimmetria megőrzi a távolságokat és a szögeket, de a tájolást nem.
Például, amikor a jobb kezét a tükör elé emeli, a képe felemeli a bal kezét.
Bizonyítjuk, hogy a szimmetriák halmaza a síkok vonatkozásában kompozícióval generálja a tér teljes izometriájának halmazát.
Lehet ugyanúgy meghatározzák szimmetriáinak tengely ( d ) iránya szerint ( P ), vagy szimmetria képest ( P ) iránya szerint ( d ), feltéve, hogy az altér egyenlő vagy párhuzamos ( P ) nem teljesen tartalmaznak ( d ) sem szerepel teljes egészében a ( d ) pontban, és metszéspontjuk egyetlen pontra redukálódik (különben ezek az átalakulások nem szimmetriák, hanem vetületek ).
De ezek az átalakulások nem izometriák, ha ( d ) és ( P ) nem ortogonálisak. Ezek az átalakulások (csakúgy, mint a vetületek) azonban megtartják a barycentereket, és a tér affin transzformációinak egyedi esetei .