Elliott-Halberstam sejtés

A szám elmélet , az Elliott-Halberstam sejtés vonatkozik forgalmazásával prímszámok a számtani sorozatot . Ez számos alkalmazás képernyőn elmélet . Nevét Peter Elliott DTA  (in) és Heini Halberstam tiszteletére adták .

Jelölések

A sejtés megfogalmazásához bizonyos jelölésekre van szükség. Mi általában Jelölje π ( x ) a száma prímszám kevesebb vagy egyenlő, mint x . Ha q egy szigorúan pozitív egész szám , és a jelentése , prím q , Jelöljük π ( x ; q , a ) a száma prímszám kevesebb vagy egyenlő, mint x , amelyek kongruens egy modulo q . Az aritmetikai progressziós tétel szerint , ha a prímérték q-val , akkor:

π(x;q,nál nél)≈π(x)φ(q).{\ displaystyle \ pi (x; q, a) \ kb {\ frac {\ pi (x)} {\ varphi (q)}}.}

Ezután definiáljuk a hiba funkciót

E(x;q)=max(nál nél,q)=1|π(x;q,nál nél)-π(x)φ(q)|{\ displaystyle E (x; q) = \ max _ {(a, q) = 1} \ bal | \ pi (x; q, a) - {\ frac {\ pi (x)} {\ varphi (q )}} \ right |}

ahol a max veszi át az összes egy prímszám a q .

Államok

Az Elliott-Halberstam sejtés az az állítás, hogy minden 0 <θ <1 és minden A > 0 esetén létezik állandó C , oly módon, hogy minden x  ≥ 2 esetén:

∑1≤q≤xθE(x;q)≤VSx(ln⁡x)NÁL NÉL.{\ displaystyle \ sum _ {1 \ leq q \ leq x ^ {\ theta}} E (x; q) \ leq {\ frac {Cx} {(\ ln x) ^ {A}}}.}

Elliott Haltberstam ecture értékére vonatkozó sejtését EH [θ] -nek nevezzük.

Előlegek

A θ = 1 korlátozó eset esetében tudjuk, hogy ez az EH [1] állítás hamis.

Θ < 1 ⁄ 2 esetében az EH [θ] sejtést az 1960-as években Enrico Bombieri és Askold Ivanovitch Vinogradov demonstrálta  : ez a Bombieri-Vinogradov tétel  ; ez az eredmény már elég hasznos, az általánosított Riemann-hipotézis átlagolt formája .

A sejtés következményei

Az Elliott-Halberstam sejtésnek több szembetűnő következménye lenne, ha θ <1 bizonyítanák. Az egyik Daniel Goldston , Pintz János és Cem Yıldırım eredménye , amely azt mutatja, hogy akkor végtelen számú prímszámpár létezne, amelyek legfeljebb 16-tal térnek el.2013. decemberhogy ugyanezen feltételezés szerint akkor végtelen számú prímszámpár létezne, amelyek legfeljebb 12- rel térnek el. 2014-ben a Polymath projekt kimutatta, hogy az EH [θ] általánosított változatának feltételezésével 0 <θ <1 esetén a különbség 6-ra csökkenthető.

Megjegyzések és hivatkozások

Megjegyzések

1. A Selberg szita változatai és sok prímt tartalmazó határolt intervallumok , Kivonat.
2. (in) Enrico Bombieri , "  A széles rostán  " , Mathematika , vol.  12,1965, P.  201-225 ( DOI  10,1112 / s0025579300005313 , Math Értékelés  0197425 )
3. (in) DA Goldston, J. Pintz és CY Yıldırım díjak a Tuples I-ben , 2005. augusztus. "  Math.NT / 0508185  " , a szöveg szabadon elérhető az arXiv oldalon .
4. (in) DA Goldston, Y. Motohashi, J. Pintz és CY Yıldırım Kis hiányosságok állnak fenn az előfizetői díjakban, Proceedings of the Japan Academy Series A 82 (2006), 61–65. A 2005. májusi verzió elérhető az arXiv oldalon : math.NT / 0505300 (hu)
5. (in) DA Goldston, SW Graham J. Pintz és CY Yıldırım Kis hiányosságok járnak aranyprémiumokra Majdnem díjak , 2005. június. "  Math.NT / 0506067  " , a szöveg szabadon elérhető az arXiv oldalon .

Hivatkozások

• (fr) Ez a cikk részben vagy egészben az „  Elliott - Halberstam sejtés  ” című angol Wikipedia cikkből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) .
• (en) E. Bombieri , „  A nagy szitán  ” , Mathematika , vol.  12,1965, P.  201-225
• (en) PDTA Elliot és H. Halberstam , „  Egy sejtés a prímszám-elméletben  ” , Symp. Math. , vol.  4, 1968-1969, p.  59-72
• (en) / (ru) AI Vinogradov, „A Dirichlet L-sorozat sűrűséghipotézise ”, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Árboc. , repülés. 1965. 29., p. 903-934

Lásd is

• Iker prímszámok sejtése
• Tétel Barban-Davenport Halberstam  (en)
• Barban-Montgomery tétel