Nyír és Swinnerton-Dyer sejtés

A matematika , a sejtés a Birch és Swinnerton-Dyer megjósolt bármely elliptikus görbe a test a hang , a sorrendben törlésének az egy társított funkciót L egyenlő a rangot a görbe. Még az L-függvény egyikének korlátozott fejlettségében megjósolja az első, nem nulla kifejezés értékét .

Több mint negyven éve nyitva áll, a sejtést csak meghatározott esetekben bizonyították. Széles körben elismerve az egyik legnehezebb matematikai probléma és mélyebben nyitva a XXI .  Század elején, ez a Millenniumi Díj hét problémájának egyike .

Kontextus

1922-ben Louis Mordell bizonyította Mordell a tétel  : az Abel-csoport a racionális pontok bármely elliptikus görbe felett definiált területén elemzéseit is véges típus . Ezért izomorf a terméket a véges számú gyűrűs csoportok  : ( Z / a 1 Z ) x ( Z / a 2 Z ) × ... × ( Z / a K Z ) × Z r , ahol k és r két pozitív vagy nulla egész szám, az a i pedig szigorúan pozitív egész szám.

Az r egész szám , amelyet a görbe rangjának nevezünk , az elliptikus görbe fontos invariánsa . Akkor és csak akkor nulla, ha a csoport véges (ami Faltings-tétel szerint mindig így van, ha a görbe nemzetség> 1).

Bár Mordell tétele azt mutatja, hogy ez a rang mindig véges, nem ad hatékony módszert az egyes görbék rangjának kiszámítására. Egyes elliptikus görbék rangja numerikus módszerekkel kiszámítható, de ezeket nem lehet összes görbére általánosítani.

Egy függvény L, L (E, S) , lehet meghatározni bármely elliptikus görbe E előállítjuk Euler terméket a pontok száma a görbe modulo egyes prímszám p . Ez az L függvény analóg a Riemann zeta függvénnyel és a Dirichlet L sorozattal, amelyeket két változóval rendelkező másodfokú alakra határozunk meg . Ez az L Hasse-Weil függvény speciális esete .

Az L (E, s) természetes definíciója csak a komplex sík s értékeihez konvergál, így Re (s) > 3/2. Helmut Hasse sejtette, hogy L (E, s) analitikai meghosszabbítással kiterjeszthető a teljes komplex síkra. Ezt a sejtést először Max Deuring bizonyította komplex szorzású elliptikus görbék esetében . Általános esetben a modularitási tételből adódik , amely megállapítja, hogy bármely elliptikus görbe moduláris , vagyis L funkciója egy moduláris formához társított L függvény .

Racionális pontok megtalálása egy általános elliptikus görbén nehéz feladat. A modulo elliptikus görbe pontjainak megtalálása egy adott p prímszám fogalmilag egyszerű, mivel csak véges számú esetet kell ellenőrizni. Nagy prímszámokhoz azonban ez intenzív számításokat igényel.

Történelem

Az 1960-as évek elején Bryan Birch és Peter Swinnerton-Dyer a Cambridge University Computer Lab EDSAC számítógépét használva kiszámolta a modulo p ( N p- vel jelölt ) pontok számát nagyszámú p prímszámra elliptikus görbéken, amelyek rangja ismert. Ezekből a numerikus eredményekből azt a sejtést adták ki, hogy N p az r rangú E görbéhez követi az aszimptotikus törvényt

valamilyen állandó C esetén .

Kezdetben ez a grafikonon lévő pontok halvány tendenciáján alapult, ami némi szkepticizmust váltott ki Birch szakdolgozatvezetőjétől, JWS Casseltől .

Ez vezette őket, hogy egy sejtés a viselkedését a függvény L elliptikus görbe L (E, s) at s = 1, nevezetesen: hogy lesz nulla rendű r ezen a ponton. Ez azért volt különösen látványos sejtés, mert abban az időben az L (E, s) analitikai folytatása az s = 1 pontban csak a komplex szorzású görbék esetében volt megállapítva.

Ezután a sejtés pontosabb változatát javasolták, leírva az L = s = 1 függvény Taylor-együtthatóját a Cassels, Tate , Shafarevich és mások által vizsgált görbe aritmetikai invariánsainak függvényében .

Példa

Tekintsünk egy nem nulla polinomot két változóban, amelyek együtthatói racionális számok. Tegyük fel, hogy a kapcsolódó sík projektív görbének nincsenek szingularitások. Érdekelnek az egyenlet racionális számokban (x, y) adott megoldásai. Így :

Jelen állapot

A Birch és Swinnerton-Dyer sejtés csak a következő különleges esetekben bizonyult:

  1. 1976-ban, John Coates és Andrew Wiles bizonyította, hogy ha E jelentése egy görbe több mint egy területen szám F a komplex szorzás egy képzeletbeli kvadratikus test K az osztályok száma 1, F = K vagy Q , és ha L (E, 1) nem 0, akkor E- nek csak véges számú racionális pontja van. Ezt meghosszabbította Nicole Artaud esetén F egy Abel kiterjesztés véges K .
  2. 1983-ban Benedict Gross és Don Zagier kimutatták, hogy ha egy moduláris elliptikus görbe nulla 1-es sorrendű s = 1-nél, akkor annak végtelen sorrendű racionális pontja van.
  3. 1990-ben Victor Kolyvagin kimutatta, hogy az E moduláris elliptikus görbe , amelynél L (E, 1) nem nulla, 0 rangú, és egy E moduláris elliptikus görbe , amelyre L (E, 1) nulla d 'sorrendű 1 s = 1 az 1. rangba tartozik.
  4. 2001-ben Christophe Breuil , Brian Conrad , Fred Diamond és Richard Taylor , Andrew Wiles munkájának kiterjesztésével , kimutatták ( modularitási tétel ), hogy a Q fölötti összes elliptikus görbe moduláris, ami kiterjeszti a két korábbi eredményt a Q fölötti összes elliptikus görbére .
  5. 2010-ben Manjul Bhargava és Arul Shankar bebizonyították, hogy a Q elliptikus görbe Mordell-Weil csoportjának átlagos rangja 7/6- mal emelkedik. Kombinálva ezt Chris Skinner és Eric Urban Iwasawa GL (2) elméletének fő sejtéseinek bejelentett bizonyítékával , arra a következtetésre jutottak, hogy a Q fölötti elliptikus görbék nulla nem arányos analitikai rangúak (d 'a Kolyvagin, ezek a görbék igazolják Birch és Swinnerton-Dyer sejtését).

Az 1-nél nagyobb rangú görbék esetében nem mutattak be semmit, bár a számítások szerint a sejtés igaz.

A Birch és Swinnerton-Dyer sejtés egyike azon hét Millennium-díj problémának, amelyet 2000-ben a Clay Matematikai Intézet azonosított és áraz .

Hivatkozások

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">