A matematika , a sejtés a Birch és Swinnerton-Dyer megjósolt bármely elliptikus görbe a test a hang , a sorrendben törlésének az egy társított funkciót L egyenlő a rangot a görbe. Még az L-függvény egyikének korlátozott fejlettségében megjósolja az első, nem nulla kifejezés értékét .
Több mint negyven éve nyitva áll, a sejtést csak meghatározott esetekben bizonyították. Széles körben elismerve az egyik legnehezebb matematikai probléma és mélyebben nyitva a XXI . Század elején, ez a Millenniumi Díj hét problémájának egyike .
1922-ben Louis Mordell bizonyította Mordell a tétel : az Abel-csoport a racionális pontok bármely elliptikus görbe felett definiált területén elemzéseit is véges típus . Ezért izomorf a terméket a véges számú gyűrűs csoportok : ( Z / a 1 Z ) x ( Z / a 2 Z ) × ... × ( Z / a K Z ) × Z r , ahol k és r két pozitív vagy nulla egész szám, az a i pedig szigorúan pozitív egész szám.
Az r egész szám , amelyet a görbe rangjának nevezünk , az elliptikus görbe fontos invariánsa . Akkor és csak akkor nulla, ha a csoport véges (ami Faltings-tétel szerint mindig így van, ha a görbe nemzetség> 1).
Bár Mordell tétele azt mutatja, hogy ez a rang mindig véges, nem ad hatékony módszert az egyes görbék rangjának kiszámítására. Egyes elliptikus görbék rangja numerikus módszerekkel kiszámítható, de ezeket nem lehet összes görbére általánosítani.
Egy függvény L, L (E, S) , lehet meghatározni bármely elliptikus görbe E előállítjuk Euler terméket a pontok száma a görbe modulo egyes prímszám p . Ez az L függvény analóg a Riemann zeta függvénnyel és a Dirichlet L sorozattal, amelyeket két változóval rendelkező másodfokú alakra határozunk meg . Ez az L Hasse-Weil függvény speciális esete .
Az L (E, s) természetes definíciója csak a komplex sík s értékeihez konvergál, így Re (s) > 3/2. Helmut Hasse sejtette, hogy L (E, s) analitikai meghosszabbítással kiterjeszthető a teljes komplex síkra. Ezt a sejtést először Max Deuring bizonyította komplex szorzású elliptikus görbék esetében . Általános esetben a modularitási tételből adódik , amely megállapítja, hogy bármely elliptikus görbe moduláris , vagyis L funkciója egy moduláris formához társított L függvény .
Racionális pontok megtalálása egy általános elliptikus görbén nehéz feladat. A modulo elliptikus görbe pontjainak megtalálása egy adott p prímszám fogalmilag egyszerű, mivel csak véges számú esetet kell ellenőrizni. Nagy prímszámokhoz azonban ez intenzív számításokat igényel.
Az 1960-as évek elején Bryan Birch és Peter Swinnerton-Dyer a Cambridge University Computer Lab EDSAC számítógépét használva kiszámolta a modulo p ( N p- vel jelölt ) pontok számát nagyszámú p prímszámra elliptikus görbéken, amelyek rangja ismert. Ezekből a numerikus eredményekből azt a sejtést adták ki, hogy N p az r rangú E görbéhez követi az aszimptotikus törvényt
valamilyen állandó C esetén .
Kezdetben ez a grafikonon lévő pontok halvány tendenciáján alapult, ami némi szkepticizmust váltott ki Birch szakdolgozatvezetőjétől, JWS Casseltől .
Ez vezette őket, hogy egy sejtés a viselkedését a függvény L elliptikus görbe L (E, s) at s = 1, nevezetesen: hogy lesz nulla rendű r ezen a ponton. Ez azért volt különösen látványos sejtés, mert abban az időben az L (E, s) analitikai folytatása az s = 1 pontban csak a komplex szorzású görbék esetében volt megállapítva.
Ezután a sejtés pontosabb változatát javasolták, leírva az L = s = 1 függvény Taylor-együtthatóját a Cassels, Tate , Shafarevich és mások által vizsgált görbe aritmetikai invariánsainak függvényében .
Tekintsünk egy nem nulla polinomot két változóban, amelyek együtthatói racionális számok. Tegyük fel, hogy a kapcsolódó sík projektív görbének nincsenek szingularitások. Érdekelnek az egyenlet racionális számokban (x, y) adott megoldásai. Így :
A Birch és Swinnerton-Dyer sejtés csak a következő különleges esetekben bizonyult:
Az 1-nél nagyobb rangú görbék esetében nem mutattak be semmit, bár a számítások szerint a sejtés igaz.
A Birch és Swinnerton-Dyer sejtés egyike azon hét Millennium-díj problémának, amelyet 2000-ben a Clay Matematikai Intézet azonosított és áraz .