Cramér sejtése

A matematika , a Cramer sejtés , által megfogalmazott svéd matematikus Harald Cramer 1936-ban, jósolja a következő aszimptotikus a szakadék prímszám :

{\ displaystyle g_ {n} = p_ {n + 1} -p_ {n} = O ((\ ln p_ {n}) ^ {2}),}

ahol g n az n- edik különbség, p n az n- edik prímszám és a Bachmann-Landau szimbólumot jelöli ; ezt a sejtést a mai napig nem sikerült bizonyítani. $O$

Kapcsolódó állítások

Cramér korábban, 1920-ban, gyengébb kijelentést tett:

{\ displaystyle p_ {n + 1} -p_ {n} = O ({\ sqrt {p_ {n}}} \, \ ln p_ {n})}

a Riemann-hipotézis szerint (ami önmagában sem bizonyított).

Andrew Granville finomította Cramér kezdeti sejtését az állandó felvetésével

2e ^ {{- \ gamma}} \ kb. 1,1229 \ ldots.

mint a szekvencia felső határa

{\ frac {p _ {{n + 1}} - p_ {n}} {(\ ln p_ {n}) ^ {2}}}

A kiterjedt számítások szerint ez a becslés elfogadható.

A másik irányban ezt tudjuk

\ limsup _ {{n \ to \ infty}} {\ frac {p _ {{n + 1}} - p_ {n}} {\ ln p_ {n}}} = \ infty

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket angolul című „ Cramer-sejtés ” ( lásd a szerzők listáját ) .

(in) H. Cramer , " A différence entre egymást követő prímszámok nagyságrendjéről " , Acta Arithmetica , vol. 2,1936, P. 23–46.
(en) A. Granville , „ Harald Cramér és a prímszámok eloszlása ” , Scandinavian Actuarial Journal , vol. 1,1995, P. 12–28 ( online olvasás ).
(in) Thomas R. Nicely , " Új maximális bónuszhiányok és első előfordulások " , Mathematics of Computation , Vol. 68, n o 227,1999, P. 1311–1315 ( DOI 10.1090 / S0025-5718-99-01065-0 ).
(a) E. Westzynthius , " Über die Zahlen der Verteilung die zu den ersten n Primzahlen teilerfremd sind " , Commentationes Fiziko-Mathematicae Helsinki , repülést. 5,1931, P. 1–37.