Gauss-állandó
A matematika , a Gauss-állandó , megjegyezte G , az inverz a számtani-mértani átlag az 1. és a négyzetgyök 2 :
G=1M(1,2)≈0,8346268{\ displaystyle G = {\ frac {1} {M (1, {\ sqrt {2}})}}} kb. 0 {,} 8346268}.
Ezt az állandót Carl Friedrich Gauss német matematikusról nevezték el, mert felfedezte a1799. május 30 mint:
G=2π∫01dx1-x4{\ displaystyle G = {\ frac {2} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {{\ rm {d}} x} {\ sqrt {1-x ^ {4} }}}}.
Kapcsolat más állandókkal
A Gauss-állandó a béta függvény értékével fejezhető ki (1/4, 1/2):
G=12πB(14,12){\ displaystyle G = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ mathrm {\ mathrm {B}} \ balra ({\ frac {1} {4}}, {\ frac {1} {2}} \ jobb)}vagy ismét, köszönhetően a gamma funkció értékének 1/4-ben:
G=Γ(14)2/(2π)3/2{\ displaystyle G = \ Gamma ({\ tfrac {1} {4}}) ^ {2} / (2 \ pi) ^ {3/2}}és mivel π és Γ (1/4) van algebrailag független , a Gauss konstans transzcendens .
Lemniscate állandók
A Gauss-állandó felhasználható a lemniscate-állandók meghatározásában.
- Az első az
L1=πG=L2{\ displaystyle L_ {1} = \ pi G = {\ frac {L} {2}}}
hol van Bernoulli lemniscatájának hossza az a = 1 paraméterrelL=(Γ(1/4))22π{\ displaystyle L = {\ frac {\ left (\ operatorname {\ Gamma} (1/4) \ right) ^ {2}} {\ sqrt {2 \ pi}}}}
- A második az
L2=12G{\ displaystyle L_ {2} = {\ frac {1} {2G}}}.
Egyéb képletek
A Gauss-állandó kifejezhető a Jacobi theta funkciónak is köszönhetően :
G=ϑ012(e-π){\ displaystyle G = \ vartheta _ {01} ^ {2} ({\ rm {e}} ^ {- \ pi})}.
A Gauss-állandó felé gyorsan konvergáló sorozat:
G=324 e-π3(∑nem=-∞∞(-1)neme-2nemπ(3nem+1))2{\ displaystyle G = {\ sqrt [{4}] {32}} ~ {\ rm {e}} ^ {- {\ frac {\ pi} {3}}} \ balra (\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ rm {e}} ^ {- 2n \ pi (3n + 1)} \ jobbra ^ {2}}.
Az állandót egy végtelen szorzat is megadja :
G=∏m=1∞tanh2(πm2){\ displaystyle G = \ prod _ {m = 1} ^ {\ infty} \ tanh ^ {2} \ balra ({\ frac {\ pi m} {2}} \ jobbra)}.
A Gauss-állandónak folytonos törtje van [0; 1, 5, 21, 3, 4, 14,…].
Megjegyzések és hivatkozások
(fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket
angolul című
„ Gauss-állandó ” ( lásd a szerzők listáját ) .
-
(in) Eric W. Weisstein , " Gauss-féle állandó " on mathworld .
-
(in) Keith B. Oldham, Jan Myland C és Jerome Spanier An Atlas of funkciók: Equator , New York, NY, Springer,2009, 748 p. ( ISBN 978-0-387-48806-6 , online olvasás ) , p. 15.
-
Az első 20.000 decimális számjegy , lásd ezt a linket Suite A014549 A OEIS-ben .
-
További részletekért lásd: A cikk története a számtani-geometriai átlagról.
-
(a) David A. Cox , " A számtani-mértani középértéke Gauss " , matematikai nevelés , vol. 30,1984, P. 275-330 ( DOI 10.5169 / seales-53831 ).
-
Az első 20.000 szó, lásd ezt a linket Suite A053002 A OEIS-ben .
Külső hivatkozás
(en) Eric W. Weisstein , „ Lemniscate Constant ” , a MathWorld- on
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">