Cyclotomic kiterjesztés

Ez a cikk egy vázlatot vonatkozó algebra .

Megoszthatja ismereteit fejlesztésével ( hogyan? ) A megfelelő projektek ajánlásai szerint .

Az algebrai számelmélet , hívjuk körosztási kiterjesztése a mező ℚ a racionális számok bármilyen törés területén egy körosztási polinom , azaz bármely területén az űrlap ℚ (ζ), ahol ζ egy gyökér a készülék .

Ezek a területek fontos szerepet játszanak, egyrészt a megértése bizonyos Diophantine egyenletek : például a számtani ( ágazatcsoportonkénti , különösen) az gyűrűje egészek lehetővé teszi, hogy azt mutatják, Fermat-tétel , sok esetben (lásd szabályos prímszám ); hanem a ℚ algebrai kiterjesztéseinek megértésében is, amelyek az előző probléma elvont változatának tekinthetők: a Kronecker-Weber-tétel például biztosítja, hogy minden abeli kiterjesztés egy ciklotomikus kiterjesztésben legyen. Végül Iwasawa elmélete lehetővé teszi e ciklotomikus kiterjesztések tanulmányozását, már nem külön, hanem összefüggő családként.

A ciklotómikus kiterjesztések más testek számára is meghatározhatók:

A véges testek , az elmélet lényegében befejeződik;
A helyi területeken a jellemző 0, akkor jobban ismerjük, mint a globális helyzet;
a funkciótestekhez ...

Az első tulajdonságok

Hagyja n jelöli a sorrendben a ζ, azaz, hogy a ζ egy n-edik primitív gyökér az egység, vagy akár egy gyökere a körosztási polinom Φ n .

Ha n felosztja m , a n -edik körosztási mező ℚ (ζ) egy almező az m -ik.
A ℚ (ζ) / ℚ kiterjesztés φ ( n ) fokú , ahol φ az Euler indikátor funkciót jelöli .
A ciklotomikus kiterjesztés egyben a yn n polinom bomlástere is . Ezért ő Galois . Ez azt jelenti, hogy a legkisebb, a polinom gyökerét tartalmazó mező tartalmazza a polinom összes gyökerét is. Azt mondani, hogy ez a mező Galois kiterjesztés, két dolgot jelent: egyrészt ennek a mezőnek a minimális polinomjainak nincs több gyöke (ami mindig igaz a racionális számok kiterjesztéseire); másrészt ennek a testnek az összes morfizmusa összetett számban képként maga a test. Ezért ezek automorfizmusok .
Ez a kiterjesztés abeli . Valóban, a Galois-csoport (a csoport annak automorfizmusainak) van Abel , mert izomorf az (ℤ / n ℤ) × .

Tüntetések

A ciklotomikus kiterjesztés egyben a polinom bomló teste is. Ezért ő Galois.

A kiterjesztés tartalmazza a ζ-t és ezért minden erejét, de a ζ-hatványok alkotják az egység n- edik gyökeinek halmazát, és így különösen a primitív gyökereket, amelyek a ciklotomikus polinom gyökerei. Ez azt bizonyítja, hogy a ℚ (ζ) a bomlási mező. Egy olyan tökéletes mezőben, mint a racionális számok (a tökéletes mező az a mező, ahol az összes redukálhatatlan polinom elválasztható, vagyis nincs több gyökere az algebrai lezárásban ), a bomlási mező mindig Galois kiterjesztése.

A ciklotomikus kiterjesztés abeli.

Legyen d egész n- nél kisebb egész szám, és n legyen nulla . Ezután ζ d gyöke a körosztási polinom, így létezik egy (nyilvánvalóan egyedülálló) ℚ-automor m d a bomlási mező ℚ (ζ), amely elküldi ζ a ζ d . Vizsgáljuk meg aztán a ℤ / n ℤ invertálható elemeinek multiplikatív csoportjának alkalmazását a Galois-csoportban, amely a d osztályra az m d automorfizmust társítja . Ez a térkép egyértelműen a csoportok izomorfizmusa. Ez az izomorfizmus azt mutatja, hogy a Galois-csoport abeli, ami véget vet a bizonyításnak.

A Gauss-Wantzel-tétel szerint ez a kiterjesztés másodlagos kiterjesztésű toronyba bomlik csak akkor és csak akkor, ha n alakú: $n = 2 ^ {k} \ prod _ {i} F_ {i},$ ahol a F i vannak különálló Fermat prímek (prímszám azt mondják, hogy Fermat ha ez a forma 2 (2 k ) + 1 valamilyen egész szám k ).
Egy pont akkor és akkor építhető fel, ha a társított kiterjesztés ellenőrzi ezt a tulajdonságot. Ez a tétel tehát elméletileg a lista egész n , amelyre a szabályos sokszög az n pontú szerkeszthető, és lehetővé teszi, a „kis” értékek n , annak meghatározására, hogy vagy nem n ebbe a listába. (Az ismert Fermat prímszámok 3, 5, 17, 257 és 65 537.)
A ℚ (ζ) mező egész számainak gyűrűje a ℤ [ζ] gyűrű
Prímszám p van behálózza a ℚ (ζ n ), ha és csak akkor, ha osztja n , kivéve abban az esetben, p = 2 = (4, n ); a p ≠ 2 prímszám if (ζ n ) -ben akkor és csak akkor bomlik le teljesen, ha p ≡ 1 mod n .
A ℚ (ζ) mező (vagy a Φ n polinom ) diszkriminánsa : ahol where az Euler indicatrix . $(-1) ^ {{\ varphi (n) / 2}} {\ frac {n ^ {{\ varphi (n)}}} {\ prod _ {{p {\ text {first}} \ atop {\ szöveg {dividing}} n}} p ^ {{\ varphi (n) / (p-1)}}}}$
A ℚ (ζ) mezőnek összetett szorzása van : ez egy teljesen képzeletbeli mező, a teljesen valós mező másodfokú kiterjesztése (ζ + ζ −1 ).
Ha n = p első páratlan, a ℚ (ζ) mező tartalmazza a ℚ másodfokú mezőt ( $\sqrt (-1) ( p -1) / 2 p$ ). Például p = 5 esetén ℚ (ζ) tartalmaz ℚ ( √ 5 ), p = 3 esetén pedig ℚ (ζ) ℚ ( $\sqrt -3$ ) -t tartalmaz .
A ℚ ( √ 2 ) és a ℚ ( $\sqrt -2$ ) másodfokú mezőket a ℚ (ζ) tartalmazza n = 8 esetén.

Néhány számtani kérdés

A ℚ (ζ p ) mezőt vesszük figyelembe , p esetén egy prímszámot. Ezután, meg tudjuk mutatni, hogy az egyenlet x p + y p = z o nem ismeri a nem-triviális egész oldatot ( x , y , z ) a XYZ prime, hogy p , feltételezve, hogy p nem osztja a osztályok száma ℚ (ζ p ). Az ilyen prímszámot reguláris prímszámnak nevezzük . Ezt gyakran Fermat utolsó tételének első esetének nevezik , és Ernst Kummer tanulmányozta . Kummernek különösen Bernoulli számaival kapcsolatos kritériuma van annak megállapítására, hogy a prímszám szabályos-e. Jelenleg ismert, hogy a prímszámok végtelenje nem szabályos: másrészt nem tudjuk, hogy létezik-e végtelen a reguláris szám.

Pontosabban, az egyik csoda, melyek értékei n gyűrű ℤ [ζ n ] az elsődleges , vagyis, hogy az osztályok száma 1. Ez az úgynevezett: az egyetlen szám n , hogy ℤ [ζ n ] fő (vagy ami itt egyenértékű : faktoriális ), a következők: 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25 , 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84, valamint a lista páratlan n duplája azóta, ℚ (ζ 2 n ) = ℚ (ζ n ).

Komplex konjugáció hatása

Az a tény, hogy a mező CM, lehetővé teszi, hogy a Gal (ℚ (ζ p ) / ℚ (ζ p + ζ p −1 )) ≃ ℤ / 2ℤ a ℚ (ζ p ) -hez kapcsolt különböző aritmetikai objektumokra hatjon . Ez különösen lehetővé teszi (lásd a csoportok ábrázolását ), hogy az osztályok számában két részt definiáljon: a + részt és a - részt. A Vandiver találgatás ekkor kimondja: " P elsődleges p esetén a p nem osztja a párt + az osztályok számát." Különösen egy szabályos prímszám elégíti ki Vandiver sejtéseit. E feltételezés és a valós almező ℚ (ζ p + ζ p −1 ) egységeire vonatkozó további feltételezés alapján megmutathatjuk Fermat-tétel második esetét: x p + y p = z p nem ismeri el a nem olyan triviális egész megoldások, amelyek szerint p nem osztja xy-t és p osztja z-t .

Vandiver sejtése még mindig sejtés ebben az időben . Számszerűen igazoltuk a p <2 27 = 134 217 728 esetében.

Végtelen ciklotomikus kiterjesztések

Minden egyes számmezőnél és minden p prímszámnál egy végtelen kiterjesztésű torony vehető figyelembe: a ℤ p -ciklotomikus kiterjesztés. Ha páratlan, a ℤ p -cyclotomic kiterjesztése ℚ a torony a kiterjesztések meghatározott keresztül a Galois levelezés , mint az al-kiterjesztés rögzített alcsoport izomorf ℤ / ( p -1) ℤ Gal (ℚ (ζ p n ) / ℚ) ≃ ℤ / (( p –1) ℤ × ℤ / p n –1 ℤ. A mező tehát a ois Galois kiterjesztése, sőt ciklikus p n rendű ; a projektív határ meghatározása szerint az unió akkor Galois a Galois-csoport ℚ p ℚ-jén , tehát a név. $o$ ${\ mathbb {B}} _ {n}$ ${\ mathbb {B}} _ {n}$ ${\ mathbb {B}} _ {n}$

A ℤ p -cyclotomic kiterjesztése tetszőleges számú mezőt nyert compositum vele.

Megjegyzések és hivatkozások

(in) Jürgen Neukirchben , algebrai számelmélet [ kiskereskedelmi kiadásban ], kürt. 10.4, p. 63 .
(a) Lawrence C. Washington (de) , Bevezetés a körosztási Fields [ kiskereskedelmi kiadásaiban ], fej. 11 .
(in) David Harvey, " Nagyszabású ellenőrzési Vandiver sejtés " ,2008. december( MIT számelméleti szeminárium ).

Lásd is

Kapcsolódó cikk

Stickelberger-tétel

Külső hivatkozás

André Weil , „ A ciklotómiás múlt és múlt ”, Séminaire Bourbaki , vol. 16, n o 452., 1973-1974 ( online olvasás )