Fermat szám
A Fermat szám olyan szám , amelyet 2 2 n + 1 alakban írhatunk , n természetes egész számmal . A N- edik Fermat száma, 2 2 n + 1, jelöli F n .
Ezek a számok Pierre de Fermatnak köszönhetik a nevüket , aki sejtette, hogy ezek a számok elsődlegesek . Ezt a feltevést kiderült, hogy hamis, F 5 lét vegyületet, valamint minden későbbi azok akár F 32 . Nem ismert, hogy az F 33- tól kezdődő számok elsődlegesek vagy összetettek-e. Így az egyetlen ismert elsődleges Fermat-szám ötös, nevezetesen az első öt F 0 , F 1 , F 2 , F 3 és F 4 , amelyek 3, 5, 17, 257 és 65 537.
A Fermat-számoknak érdekes tulajdonságaik vannak, általában moduláris számtanból származnak . Különösen a Gauss-Wantzel-tétel hoz létre kapcsolatot ezen számok és a szabályos sokszögek vonalzó- és iránytű-konstrukciója között : az n oldalú szabályos sokszöget vonalzó és iránytű segítségével csak akkor lehet felépíteni, ha n értéke 2, vagy 2 és különálló Fermat-szám hatványának szorzata.
Történelem
A 1640 , a címzett levél Bernard Frénicle de Erzsike , Pierre de Fermat kimondja a kis tétel és megjegyzések: „ És ezt a kijelentést általában igaz minden progresszió és az összes prímszám; amelyből elküldöm neked a demonstrációt, ha nem félek, hogy túl sokáig tart . " Ez a tétel lehetővé tette számára, hogy tanulmányozza a nevét viselő számokat. Ugyanebben a levélben azt sejteti, hogy ezek a számok mind elsőrangúak, de felismeri: " Még nem feltétlenül tudtam bemutatni ennek a tételnek az igazságát " . Ez a hipotézis elbűvöli; két hónappal később Marin Mersenne -hez írt levelében ezt írta: „ Ha egyszer be tudom tartani azt az alapvető okot, hogy 3, 5, 17 stb. prímszámok, nekem úgy tűnik, hogy nagyon szép dolgokat fogok találni ebben a kérdésben, mert már találtam csodálatos dolgokat, amelyeket megosztok veletek . " Még azt is írta Blaise Pascalnak : " Nem kérném, hogy ezt a kérdést dolgozza fel, ha meg tudom oldani magam " . A levelet a Kenelm Digby , dátum nélkül, de küldött Digby a John Wallis on1658. június 16, Fermat ismét bizonyítéktalanná teszi sejtéseit. Azonban egy levél 1659 és Pierre de Carcavi , ő fejezi ki magát feltételek, amelyek szerint az egyes szerzők arra utalnak, hogy azt hiszi, megtalálta a bemutatót. Ha Fermat be ez a sejtés, hogy a fő levelező, ez másrészt hiányzik a számtani a Diophantosz újra kiadta 1670-ben, ahol a fia átírt a negyvenhét más feltevések, amelyeket később bebizonyosodott. Ez Fermat egyetlen téves találgatása.
A 1732 , a fiatal Leonhard Euler , akinek Christian Goldbach jelentette ez a sejtés három évvel korábban, cáfolja meg: F 5 osztható 641. Azt nem árulja el az építési, az bizonyíték, amíg tizenöt évvel később. A házmester egy hasonló eljárás, amely lehetővé tette, hogy Fermat tényező a Mersenne számok M 23 és M 37 .
Valószínű, hogy az egyetlen prímszámok ebben a formában a 3, 5, 17, 257 és 65537, mert Boklan és Conway már oxidatív feltételek közé2016. május nagyon finom elemzés, amely szerint egy másik prímszám valószínűsége kevesebb, mint egy milliárd.
Tulajdonságok
Az első tulajdonságok
A Fermat-számok szekvenciájának többszörös megismétlődési kapcsolata van . Idézhetünk például, ha n nagyobb vagy egyenlő 2-vel:
Fnem = (Fnem-1-1)2+1ouFnem=Fnem-12-2(Fnem-2-1)2{\ displaystyle F_ {n} \ = \ (F_ {n-1} -1) ^ {2} +1 \ quad {\ rm {vagy}} \ quad F_ {n} = F_ {n-1} ^ { 2} -2 (F_ {n-2} -1) ^ {2}}vagy újra, Fermat-számú termékekkel:
Fnem = ∏én=0nem-1Fén + 2ouFnem=Fnem-1+22nem-1∏én=0nem-2Fén.{\ displaystyle F_ {n} \ = \ \ prod _ {i = 0} ^ {n-1} F_ {i} \ + \ 2 \ quad {\ rm {vagy}} \ quad F_ {n} = F_ { n-1} + 2 ^ {2 ^ {n-1}} \ prod _ {i = 0} ^ {n-2} F_ {i}.}Levezetjük Goldbach tételét, amely szerint:
Két különálló Fermat-szám prím egymáshoz .
Legyen D ( n , b ) az F n-nek a b alapba írására szolgáló számjegyek száma .
D(nem,b)=⌊naplób(22nem+1)+1⌋≈⌊2nemnaplób2+1⌋.{\ displaystyle D (n, b) = \ left \ lfloor \ log _ {b} \ left (2 ^ {2 ^ {\ overset {n} {}}} + 1 \ right) +1 \ right \ rfloor \ kb \ lfloor 2 ^ {n} \, \ log _ {b} 2 + 1 \ rfloor.}A szögletes zárójelek az egész függvényt jelölik, és log b az alap b logaritmust .
A Fermat prímszámok nem brazil számok, míg az összetett Fermat számok mind brazil számok .
Tüntetések
- Fnem = (Fnem-1-1)2+1ouFnem=Fnem-12-2(Fnem-2- 1)2.{\ displaystyle F_ {n} \ = \ (F_ {n-1} -1) ^ {2} +1 \ quad {\ rm {vagy}} \ quad F_ {n} = F_ {n-1} ^ { 2} -2 (F_ {n-2} - \ 1) ^ {2}.}
Valóban :
Fnem = 22nem+1 = (22nem-1)2+1 = (Fnem-1 - 1)2+1 = Fnem-12-2Fnem-1+2 = Fnem-12-2(Fnem-2 - 1)2.{\ displaystyle F_ {n} \ = \ 2 ^ {2 ^ {n}} + 1 \ = \ (2 ^ {2 ^ {n-1}}) ^ {2} +1 \ = \ (F_ {n -1} \ - \ 1) ^ {2} +1 \ = \ F_ {n-1} ^ {2} -2F_ {n-1} +2 \ = \ F_ {n-1} ^ {2} - 2 (F_ {n-2} \ - \ 1) ^ {2}.}
- Fnem = ∏én=0nem-1Fén + 2ouFnem=Fnem-1+22nem-1∏én=0nem-2Fén.{\ displaystyle F_ {n} \ = \ \ prod _ {i = 0} ^ {n-1} F_ {i} \ + \ 2 \ quad {\ rm {vagy}} \ quad F_ {n} = F_ { n-1} + 2 ^ {2 ^ {n-1}} \ prod _ {i = 0} ^ {n-2} F_ {i}.}
A megismétlődés és a következő egyenlőség lehetővé teszi az első termék kiszámítását:
Fnem-2=(Fnem-1 -1)2-1 = Fnem-1(Fnem-1-2).{\ displaystyle F_ {n} -2 = (F_ {n-1} \ -1) ^ {2} -1 \ = \ F_ {n-1} (F_ {n-1} -2).}
A második egyenlőség következik:
Fnem=22nem+1 = 22nem-1+1+22nem-1(22nem-1-1) = Fnem-1+22nem-1(Fnem-1-2)=Fnem-1 + 22nem-1∏én=0nem-2Fén.{\ displaystyle F_ {n} = 2 ^ {2 ^ {n}} + 1 \ = \ 2 ^ {2 ^ {n-1}} + 1 + 2 ^ {2 ^ {n-1}} (2 ^ {2 ^ {n-1}} - 1) \ = \ F_ {n-1} + 2 ^ {2 ^ {n-1}} (F_ {n-1} -2) = F_ {n-1} \ + \ 2 ^ {2 ^ {n-1}} \ prod _ {i = 0} ^ {n-2} F_ {i}.}
- Két különálló Fermat-szám prím egymáshoz.
Legyen n és m két pozitív egész szám, így n szigorúan nagyobb, mint m . Mutassuk meg, hogy az F n és F m egyetlen tényezője 1. Az előző számítások ezt mutatják
Fnem=qFm+2sénq=(∏én=0m-1Fén)(∏én=m+1nem-1Fén){\ displaystyle F_ {n} = qF_ {m} +2 \ quad {\ rm {si}} \ quad q = \ bal (\ prod _ {i = 0} ^ {m-1} F_ {i} \ right ) \ balra (\ prod _ {i = m + 1} ^ {n-1} F_ {i} \ jobbra)}
ezért az F n és F m közös osztója szintén a 2 osztója. A 2 azonban nem osztja F n-t . Ez a három egész szám tehát kettőnk között elsődleges.
- D(nem,b)=⌊naplób(22nem+1)+1⌋≈⌊2nemnaplób2+1⌋.{\ displaystyle D (n, b) = \ bal \ lfloor \ log _ {b} \ left (2 ^ {2 ^ {n}} + 1 \ right) +1 \ right \ rfloor \ kb \ bal \ lfloor 2 ^ {n} \, \ log _ {b} 2 + 1 \ jobb \ padló.}
Elegendő észre, hogy a számjegyek száma szükséges, hogy írjon egy egész egy bázis b egyenlő az egész része log b ( a ).
Fermat száma és elsődlegessége
A Fermat-számok tanulmányozásának történelmi oka a prímszámok keresése. Fermat már ismerte a következő javaslatot:
Legyen k szigorúan pozitív egész szám; ha a 2 k + 1 szám elsődleges, akkor k értéke 2.
Demonstráció
Két olyan páratlan és b egész szám van , hogy k = a 2 b . A c = 2 (2 b ) beállításával a következő egyenlőségeket kapjuk:
2k+1=vs.nál nél+1=(vs.+1)∑én=0nál nél-1(-1)énvs.én,{\ displaystyle 2 ^ {k} + 1 = c ^ {a} + 1 = (c + 1) \ sum _ {i = 0} ^ {a-1} (- 1) ^ {i} c ^ {i },}amelyek azt mutatják, hogy c + 1 a 2 k + 1 prímszám osztója, ezért egyenlő vele, így k = 2 b .
Fermat sejtette (tévesen, mint láttuk), hogy a fordított igaz; megmutatta, hogy az öt szám
F0=21+1=3,F1=22+1=5.,F2=24+1=17.,F3=28.+1=257etF4=216.+1=65537elsődlegesek.{\ displaystyle F_ {0} = 2 ^ {1} + 1 = 3, \ quad F_ {1} = 2 ^ {2} + 1 = 5, \ quad F_ {2} = 2 ^ {4} + 1 = 17, \ quad F_ {3} = 2 ^ {8} + 1 = 257 \ quad {\ rm {és}} \ quad F_ {4} = 2 ^ {16} + 1 = 65 \, 537 \ quad {\ szöveg {elsődleges.}}}Jelenleg csak öt fő Fermat-szám ismert, amelyeket a fentiekben említettünk.
Még nem tudjuk, hogy vannak-e mások, de tudjuk, hogy az F n Fermat-számok , n 5 és 32 közötti n esetén mind összetettek; Az F 33 a legkisebb Fermat-szám, amelyről nem tudjuk, hogy prím-e vagy összetett-e.
2013-ban a legtöbb Fermatot tudtuk összeállítani: F 2 747 497 ; egyik osztója a Proth 57 × 2 2 747 499 + 1 prímszáma .
Az összetett Fermat-számok faktorálása
Euler bebizonyítja a tételt:
Az F n Fermat-szám bármely prímtényezője k 2 n +1 + 1 alakú , ahol k egész szám.
( Lucas még később bebizonyította, hogy az F n Fermat-szám bármely prímtényezője k formájú . 2 n +2 + 1.)
Ez lehetővé teszi számára, hogy gyorsan megtalálja:
F5.=232+1=4294967297=641×6.700417{\ displaystyle F_ {5} = 2 ^ {32} + 1 = 4 \, 294 \, 967 \, 297 = 641 \ szor 6 \, 700 \, 417}( félig prím ).
(641=10.×25.+1+1=5.×25.+2+1){\ displaystyle (641 = 10 \ alkalommal 2 ^ {5 + 1} + 1 = 5 \ alkalommal 2 ^ {5 + 2} +1)}
Tüntetések
-
Az F n Fermat-szám bármely p prímtényezője k 2 n +1 + 1 alakú , ahol k egész szám.
Modulo p , F n jelentése kongruens 0 tehát 2 2 n egybevágó -1, úgy, hogy a multiplikatív sorrendben a 2 a gyűrű ℤ / p ℤ egyenlő 2 N +1 . Ez a szorzási sorrend a p - 1 osztója , amely véget vet a bizonyításnak.
-
F5.=641×6. 700 417.{\ displaystyle F_ {5} = 641 \ x 6 ~ 700 ~ 417}
Egyszerű számítással ellenőrizhetjük, de magyarázzuk el, hogyan fedezte fel Euler a 641-es osztót. Olyan k egész számot kerestünk , hogy a p = 64 k + 1 szám egyszerre legyen fő- és szigorú osztója az F 5-nek . A k első értékei nem megfelelőek, de k = 10-től azt látjuk, hogy p = 641 prím, és hogy a p modulo , ezért és .
- 24≡5.4{\ displaystyle - ~ 2 ^ {4} \ equiv 5 ^ {4}}-232≡5.4×228.=(5.×27)4=6404≡(-1)4=1{\ displaystyle -2 ^ {32} \ equiv 5 ^ {4} \ szor 2 ^ {28} = (5 \ szer 2 ^ {7}) ^ {4} = 640 ^ {4} \ equiv (-1) ^ {4} = 1}F5.≡0{\ displaystyle F_ {5} \ equiv 0}
-
Bármilyen elsődleges tényező p az F n az n > 1 lehet írott formában s .2 n +2 + 1, ahol s jelentése egész szám.
Szerint a korábban igazoló, p formában van k. 2 n +1 + 1. Édouard Lucas tovább ment:
Mivel n > 1, p kongruens 1 modulo 8 szerint a második komplementer törvény a kvadratikus reciprocitási , 2 tehát egy kvadratikus maradék modulo p , azaz létezik egy egész szám, egy olyan, hogy . Az is közvetlenül észrevehető, hogy a 2 modulo p másodfokú maradék , mertnál nél2≡2(modo){\ displaystyle a ^ {2} \ equiv 2 {\ pmod {p}}}
(22nem-1+1)2≡22nem+1+22nem-1+1≡Fnem+22nem-1+1≡22nem-1+1(modo).{\ displaystyle \ left (2 ^ {2 ^ {n-1}} + 1 \ jobb) ^ {2} \ equiv 2 ^ {2 ^ {n}} + 1 + 2 ^ {2 ^ {n-1} +1} \ equiv F_ {n} + 2 ^ {2 ^ {n-1} +1} \ equiv 2 ^ {2 ^ {n-1} +1} {\ pmod {p}}.}Mivel a 2-es páratlan teljesítmény modulo p másodfokú maradék , maga a 2 is.
Ezután megvan , és . Így a
sorrendben az egy modulo p egyenlő , és aszerint,
hogy kis Fermat-tétel , p - 1 tehát osztható ; Ezután p formában írható .
nál nél2nem+1≡ (nál nél2)2nem≡ 22nem≡ -1{\ displaystyle a ^ {2 ^ {n + 1}} \ equiv \ (a ^ {2}) ^ {2 ^ {n}} \ equiv \ 2 ^ {2 ^ {n}} \ equiv \ -1}nál nél2nem+2≡ 22nem+1≡ 1(modo){\ displaystyle a ^ {2 ^ {n + 2}} \ equiv \ 2 ^ {2 ^ {n + 1}} \ equiv \ 1 {\ pmod {p}}}2nem+2{\ displaystyle 2 ^ {n + 2}}2nem+2{\ displaystyle 2 ^ {n + 2}}s2nem+2+1{\ displaystyle s2 ^ {n + 2} +1}
Az általános esetben egy bonyolult probléma, mivel a méret a egész számok F n , még viszonylag kis értékek n . 2020-ban, a legnagyobb Fermat szám, amelynek ismerjük a teljes faktorizációt az F 11 , melynek legnagyobb az öt elsődleges osztója van 564 decimális számjegy (a teljes faktorizációja F n , az n kevesebb, mint 10, az is teljesen ismert). Ami az F 12-et illeti , tudjuk, hogy áll; de ez 2020-ban a legkisebb Fermat-szám, amelynek teljes faktorizációját nem ismerjük. Ami az F 20 -at illeti, 2020-ban ez a legkisebb számú vegyület Fermat, amelynek elsődleges osztója nem ismert.
Fermat-számok inverzióinak sorozata
A sorozat a inverzeinek Fermat-számok konvergens és összege az irracionális , sőt transzcendens . Ezek az eredmények abból fakadnak, hogy ezt az összeget túlságosan jól közelítik meg a racionális tényezők .
∑nem=0∞122nem+1≈0,596{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {2 ^ {n}} + 1}} \ kb 0 {,} 596}
Szabályos sokszög
Gauss és Wantzel létre egy kapcsolat e számok és a vonalzó és iránytű építése a szabályos sokszögek : szabályos sokszög n oldalú szerkeszthető, ha, és csak akkor, ha n a termék a 2 hatványa (esetleg egyenlő 2 0 = 1), és véges számú (esetleg nulla) különálló prím Fermat-szám.
Például a szabályos ötszöget vonalzó és iránytű segítségével lehet megalkotni, mivel az 5 prím Fermat-szám; hasonlóan egy 340 oldalú sokszög felépíthető vonalzóval és iránytűvel, mivel 340 = 2 2 . F 1 . F 2 .
Általánosítások
Lehetséges a Fermat-számokra kapott eredmények egy részének általánosítása.
Az egy n + 1 legyen elsődleges, a szükségszerűen még akkor is , és n kell lennie 2 hatványa .
Számok az űrlap (az a ≥ 2 ) általában „általánosított Fermat számok” , de Hans Riesel is adta ezt a nevet számok formájában . A 2017-ben ismert űrlap legnagyobb prímszáma az egymillió számjegy feletti szám.
nál nél2nem+1{\ displaystyle a ^ {2 ^ {n}} + 1}nál nél2nem+b2nem{\ displaystyle a ^ {2 ^ {n}} + b ^ {2 ^ {n}}}nál nél2nem+1{\ displaystyle a ^ {2 ^ {n}} + 1}24518218.+1{\ displaystyle 24518 ^ {2 ^ {18}} + 1}
Fermat számok és ősszámozás
A Fermat-számok írása primer numerációban érdekes és lehetővé teszi például a programozási felületek számtani információk korlátozott keretek között történő használatának szemléltetését .
Megjegyzések és hivatkozások
(fr) Ez a cikk részben vagy egészben az
angol Wikipedia
" Fermat number " című cikkéből származik
( lásd a szerzők felsorolását ) .
-
XLIV. Levél Frénicle-hez, 1640. október 18., in Œuvres de Fermat , t. 2, Párizs, Gauthier-Villars ,1894( online olvasható ) , p. 209.
-
Egy másik levelében a Frénicle-nek azt írja: " De itt csodálom a legjobban: az az, hogy szinte meg vagyok győződve arról, hogy az egység által megnövelt összes progresszív szám, amelynek kitevői a kettős progresszió számai, prímszámok például 3, 5, 17, 257, 65537, 4 294 967 297 és a következő 20 betű 18 446 744 073 709 551 617; stb. Nem tudom pontosan bemutatni, de tévedhetetlen tüntetésekkel olyan sok megosztót kizártam, és olyan nagyszerű felismeréseim vannak, amelyek megalapozzák a gondolatom, hogy nehezen tudnám visszahúzni magam. » , Augusztus XLIII. Levél? 1640, in Œuvres de Fermat, t. 2 , p. 206.
-
XLV. Levél, 1640. december 25., Œuvres de Fermat, t. 2 , p. 213 . Édouard Lucas , Matematikai kikapcsolódásai című kötetében, II . A 234. ezt a hűtlen idézetet adja meg (a 7-nek nem kell szerepelnie a listán): "Ha egyszer be tudom tartani azt az alapvető okot, hogy 3, 5, 7, 17, 257, 65537 prímszám […]" .
-
" Potestates omnes numeri 2, quarum exponentes sunt terminini progressionis geometricæ ejusdem numeri 2, unitate auctae, sunt numeri primi " ( "A 2-es szám összes olyan hatványa, amelynek kitevõi azonos 2-es szám geometriai progressziójának tagjai, adja meg, ha eggyel növeljük őket, prímszámokkal. ” )
-
„ propositiones aliquot quarum demonstrationem a nobis ignorari nem diffitemur [...] Quaeritur Demonstratio illius propositionis, pulchræ józan, sed et verissimæ ” ( „egyes kijelentések, amelynek bizonyítása nem fogjuk tagadni figyelmen kívül [...] Továbbra is találni a bizonyítéka ennek a javaslatnak, minden bizonnyal gyönyörű, de nagyon is igaz ” ), XCVI. levél Œuvres de Fermat-ban, t. 2 , p. 402-405.
-
CI levél, 5. pont, Œuvres de Fermat, t. 2 , p. 433-434. Fermat felsorol olyan kérdéseket, amelyeket a végtelen származású módszerével kezelnek. E kérdések közé helyezi (hibás) sejtését a Fermat- számokból mondott számokról, és már nem mondja, mint ahogy az előző levelekben tette, hogy még nem talált bizonyítékot erre a sejtésre.
-
Ezt az értelmezést adta HM Edwards , Fermat utolsó tétele , Springer, 1977, p. 24. állásfoglalás az ET Bell ellentétes nézeteivel szemben , The Last Problem , New York, 1961, p. 256.
-
(en) E. Sandifer: " Hogyan csinálta Euler - F 5 faktorszámozás " , az eulerarchívumról. maa .org ,2007. március.
-
(La) L. Euler, " A Fermatiano alqua adimos primos spectantibus tételének észrevételei " , Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae , vol. 6,1732, P. 102–103 ( online olvasás ).
-
(La) L. Euler, " Theoremata circa divisors numerorum " , Novi Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae , vol. 1,1750, P. 20–48 ( online olvasás ) (bemutatták az 1747/48).
-
Leírt (in) John J. O'Connor és Edmund F. Robertson , "Tökéletes számok" az MacTutor History of Mathematics archiválni , University of St Andrews ( olvasható online ).
-
Fermat, júniusban Mersenne-hez intézett XL-es levelében? 1640 ( Œuvres de Fermat, t. 2 , 195-199 . O.) M 37-re felfedezi az osztót 6 × 37 + 1, miután részletezte módszerét az ismert M 11 = 23 × 89 példán . XLIII. Frénicle (1640. augusztus?) Már idézte, rámutat az M 23-ra , a 47-es osztóra is .
-
(in) Kent D. Boklan és John H. Conway , " Expect legfeljebb egy milliárdod új Fermat Prime! " , A matematikai intelligens ,2017( DOI 10.1007 / s00283-016-9644-3 , arXiv 1605.01371v2 , online olvasás , hozzáférés : 2016. május 8. ).
-
(in) Leonyid Durman és Luigi Morelli, " History - Kutatók Minden Fermat számok Ki találta au moins un faktor " on Distributed keresést Fermat osztóinak száma .
-
B. Schott, [1] , brazil számok, Quadrature , n ° 76, 2010, Prop. 3, 36. o.
-
Boklan és Conway 2017 " t Ferma prímszámokat " ( dőlt betűvel t ) a 2 k + 1 alakú prímszámokat hívnak k pozitív vagy nulla egész számmal , amelyek tehát 2 és az "igaz" Fermat prímszámok.
-
A legfrissebb eredményeket lásd például (-ban) Wilfrid Keller: " Prime faktorok k • 2 n + 1 a Fermat-számokból F m és teljes faktoring-állapot " ,2015. április.
-
(in) " PrimeGrid a Proth Prime Search - 57 * 2 ^ 2747499 + 1 (hivatalos bejelentés) " , PrimeGrid ,2013. május 13.
-
(in) Richard P. Brent, faktorizációja a tizedik és a tizenegyedik Fermat-számok , február 1996.
-
Azóta2010. március 27, az F 12 fő osztóját ismerjük , de még mindig nem teljes lebontása. Lásd: [2] .
-
2010 előtt a legkisebb ilyen szám F 14 volt . A2010. február 3, az F 14 54 számjegyű osztóját Tapio Rajala, a finn Jyväskylä-i Egyetem Matematikai és Statisztikai Tanszéke fedezte fel . Lásd a kutatás és a mersenneforum webhelyét : k .2 16 + 1, ahol k egy 49 jegyű szám .
-
Suite A051158 A OEIS-ben .
-
(in) Salamon W. Golomb , " A Fermat-számok reciprokainak és a kapcsolódó irracionalitások összegéről " , Canad. J. Math. , vol. 15,1963, P. 475-478 ( online olvasás ).
-
(in) D. Duverney , " A racionális számok gyorsan konvergáló sorozatának transzcendenciája " , Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. , vol. 130, n o 22001, P. 193-207.
-
(in) Eric W. Weisstein , " Generalized Fermat Number " a MathWorld- on .
-
(in) Általánosított Fermat Prime keresés .
-
(in) H. Riesel, prímszámok és számítási módszerek a faktoráláshoz , Springer ,1994( online olvasható ) , p. 102.
-
(in) A prémium adatbázis .
Lásd is
- Glitch teszt
-
(en) Michal Křížek, Florian Luca (en) és Lawrence Somer, 17 előadás a Fermat-számokról: A számelmélettől a geometriáig , New York, Springer,2001, 257 p. ( ISBN 978-0-387-95332-8 , online olvasás ) - Kiterjedt bibliográfiát tartalmaz.
-
(hu) Suite A000215 A OEIS-ben