Bomlástest

A matematika , pontosabban algebra az elmélet kommutatív mezők , a bomlás területen , vagy néha gyökér területén , vagy akár telepítési területen , egy nem nulla polinom P egy minimális mezőkiterjesztések amelyen P jelentése osztott . Megmutatjuk, hogy egy nem nulla polinomnak mindig van egy bomló teste, amely egyedülálló az izomorfizmusig, és hogy ez véges és normális kiterjesztés .

Ha a polinom különválasztható , akkor ez egy Galois-kiterjesztés . Az elmélet a Galois akkor különösen érvényes a tétel a primitív elem és az alaptétele az elmélet Galois .

Meghatározás

Adott egy kommutatív mezőt K és egy nem nulla polinom P a koefficiensek K , egy bomlási mezőt a P felett K egy kiterjesztése L a K olyan, hogy:

Egy adott Ω algebrai zárásnál létezik Ω egyedi alhosszabbítása, amely egyben P bomlási mezője is  : ez a Ω alhosszabbítása, amelyet P gyökei generálnak Ω-ban. Általánosságban elmondható, hogy a P bármely bomlási mezője izomorf a Ω ezen részmezejével szemben.

Javaslat. - A K [ X ] bármely nullától eltérő polinomjának P van egy bomlási mezője, amely egyedülálló az izomorfizmusig. Ez a K véges kiterjesztése , és minden kiterjesztésnek egy kiterjesztése, amelyen P fel van osztva.

Az izomorfizmusig fennálló lét és egyediség közvetlenül kimutatható (anélkül, hogy feltételeznénk, mint fentebb, az algebrai lezárás közelében az izomorfizmusig fennálló létet és egyediséget).

  • A P bármely bomló teste izomorf L-hez:
    Legyen L ' egy másik bomló test. Az előző pontban, ez egy túlzott kiterjesztése L , azaz, hogy létezik egy injektív K -morphism θ -tól L figyelembe L ' . Továbbá, mivel a P oszlik el L , mind a gyökerei P az L „ tartozik a kép a θ (mert a képek a gyökerei P az L ), hogy ez a kép L” egész szám, és hogy θ jelentése izomorfizmus.

    • Megjegyezzük, hogy a K mező kiterjesztése csak egy P polinom K feletti bomlási mezőjét tartalmazhatja, míg ennek több repedésmezőjét (köztük izomorf) tartalmazhatja.

    Példák

    Az X 2 + 1 polinom bomlási mezője a valós számok mező fölött a komplexek mezője .

    A P ( X ) = X 3 - 2 polinom nem értelmezhető a racionális számok ℚ mezőjén (sőt, minden 3. fokú polinomnak, amely nem irhatatlan, racionális gyöke van). Hagyja r lesz az igazi kocka gyökér 2 és j lesz a két primitív (komplex) köbös egységgyök . A másik két gyökerei P vannak j r , és j 2 r . P over fölötti bomlási mezője L = ℚ ( r , j r , j 2 r ).

    A P bomlásteste úgy építhető fel, mint a fenti létbizonyításban.

    Tekintsük a K 1 kiterjesztést, amely egyenlő ℚ ( r ) -vel, vagyis az r által generált kiterjesztést . Mivel P jelentése kiküszöbölhetetlen , ez egy törés területén a P , izomorf ℚ [ X ] / ( P ), amelynek alapja a (1, R , r 2 ).

    A K 1 , a polinom P van egy gyökere r . A P ( X ) X - r polinommal való osztása megadja az egyenlőséget:

    Azt következtetni, hogy az L egyenlő a K 1 ( ek ), amely egy kiterjesztése foka 2 K 1 , és amelynek bázis {1, s }.

    A [ L : ℚ] = [ L : K 1 ] [ K 1 : ℚ] = 3 × 2 = 6 fokokon egyenlőségünk van ( vö . Algebrai kiterjesztések definíciói és első tulajdonságai ). Arra a következtetésre jutunk, hogy L alapja on-n {1, r, r 2 , s, rs, r 2 s }.

    Galois kiterjesztés

    Valóban, ha P nem irredukálhatatlan, akkor két szigorúan pozitív fokú P 1 és P 2 polinom szorzata . a P 1 gyökérhalmaza elválik a P 2 gyökérhalmazától, mert P elválasztható. A Galois-csoport egyik elemének morfizmusa, a P 1 gyökének képe szükségképpen ennek a polinomnak a gyöke, ezért nem lehet a P 2 gyökere , ami azt bizonyítja, hogy a csoport nem működik átmenetileg. Ellenben, ha P irreducibilis, az α és β a P két gyökere . Legyen m K (α) morfizmusa K-ban (β), amely α-hoz társítja β-t. A fent bemutatott általános tulajdonság (indukcióval, az állítás igazolásával) azt mutatja, hogy az m mező morfizmusa a bomlási mező σ automorfizmusává terjed. A Galois-csoportnak tehát van olyan σ eleme, hogy σ (α) = β, ami azt mutatja, hogy a csoport tranzitívan működik.

    Megjegyzések és hivatkozások

    1. Alain Kraus, "  Galois elmélete: DEA összeomlási tanfolyam  " , Párizsi Egyetem 6 ,1998.
    2. Vagy "root test"  : Henri Lombardi és Claude Quitte, Kommutatív algebra - Konstruktív módszerek - Véges projektív típusú modulokat , Calvage & Mounet,2016( 1 st  szerk. 2011) ( arXiv  1.611,02942 , online prezentáció ) , p.  117..
    3. A.-M. Simon, "  Bac 2 matematika tanfolyam: első kapcsolat a számelmélettel  " , ULB-n ,2010, P.  99, a „bevetés teste” terminológiát részesíti előnyben, de rámutat, hogy „egyes szerzők„ corps de rupture ”-nak ( angolul felosztó mező ) vagy akár„ gyökértestnek ” hívják , ez a vezetéknév azonban kissé kétértelmű . " A" törőerő "kifejezés nem utolsósorban a testnevelésről szóló cikkben található . Magyarán, nincs félreértés: a hasító mező valóban a bontó test.
    4. Daniel Perrin , Cours d'Algebre [ részlete kiadásban ], 1981, c. III 7.
    5. Ez a tulajdonság például: Régine és Adrien Douady , Algèbre et theories galoisiennes [ a kiadások részlete ], 2005, p.  307 .

    Bibliográfia