Tschirnhausen kölyke
A geometria , a Tschirnhausen köbös egy algebrai görbe által meghatározott poláregyenlet
r=nál nélszáraz3(θ/3).{\ displaystyle r = a \ sec ^ {3} (\ theta / 3).}
Történelem
Ezt a görbét Ehrenfried Walther von Tschirnhaus , Guillaume de l'Hôpital és Eugène Catalan tanulmányozta . A "Tschirnhausen cubic" nevet 1900-ban említette először Raymond Clare Archibald, bár néha "Hospital cubic" vagy "katalán trisectrix" néven is ismert.
Egyéb egyenletek
Legyen t = tan ( θ / 3) . Szerint a De Moivre formula , ez adja:
x=nál nélkötözősaláta(θ)száraz3(θ3)=nál nél[kötözősaláta3(θ3)-3kötözősaláta(θ3)bűn2(θ3)]száraz3(θ3)=nál nél[1-3Cser2(θ3)]=nál nél(1-3t2),{\ displaystyle x = a \ cos (\ theta) \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) = a \ left [\ cos ^ {3} \ left ({ \ frac {\ theta} {3}} \ jobb) -3 \ cos \ bal ({\ frac {\ theta} {3}} \ jobb) \ sin ^ {2} \ bal ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ right] \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) = a \ left [1-3 \ tan ^ {2} \ left ( {\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ right] = a (1-3t ^ {2}),}![{\ displaystyle x = a \ cos (\ theta) \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) = a \ left [\ cos ^ {3} \ left ({ \ frac {\ theta} {3}} \ jobb) -3 \ cos \ bal ({\ frac {\ theta} {3}} \ jobb) \ sin ^ {2} \ bal ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ right] \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) = a \ left [1-3 \ tan ^ {2} \ left ( {\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ right] = a (1-3t ^ {2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c78d425f87ac9e1a5b902b529b8bc9628046866)
y=nál nélbűn(θ)száraz3(θ3)=nál nél[3kötözősaláta2(θ3)bűn(θ3)-bűn3(θ3)]száraz3(θ3)=nál nél[3Cser(θ3)-Cser3(θ3)]=nál nélt(3-t2).{\ displaystyle y = a \ sin (\ theta) \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) = a \ left [3 \ cos ^ {2} \ left ( {\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) - \ sin ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ right] \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) = a \ left [3 \ tan \ left ({\ frac {\ theta } {3}} \ right) - \ tan ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ right] = itt (3-t ^ {2}).}![{\ displaystyle y = a \ sin (\ theta) \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) = a \ left [3 \ cos ^ {2} \ left ( {\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) - \ sin ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ right] \ sec ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) = a \ left [3 \ tan \ left ({\ frac {\ theta } {3}} \ right) - \ tan ^ {3} \ left ({\ frac {\ theta} {3}} \ right) \ right] = itt (3-t ^ {2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e810e64889f4c5d96bbc2b3274ea93736f9a47b)
amely paraméteres egyenletet ad . A t paraméter könnyen kiküszöbölhető, amely a derékszögű egyenletet adja
27.nál nély2=(nál nél-x)(8.nál nél+x)2{\ displaystyle 27ay ^ {2} = (ax) (8a + x) ^ {2}}
.
Ha a görbe vízszintes fordította 8 egy , az egyenlet
x=3nál nél(3-t2) , y=nál nélt(3-t2){\ displaystyle x = 3a (3-t ^ {2}) \, \ y = at (3-t ^ {2})}
vagy
x3=9.nál nél(x2-3y2){\ displaystyle x ^ {3} = 9a \ bal (x ^ {2} -3y ^ {2} \ jobb)}
,
amely a sarki formát adja
r=9.nál nélszáraz(θ)(1-3Cser2θ){\ displaystyle r = 9a \ sec (\ theta) \ bal (1-3 \ tan ^ {2} \ theta \ right)}
.
Tulajdonságok
Maró
A parabola kaustikusok , amikor a fényforrás a végtelenben van, Tschirnhausen köbösek. Pontra, a parabola fókuszára redukálódik, amikor a forrás iránya a parabola tengelye.
Lásd is
Kapcsolódó cikkek