Moivre képlete
A formula Moivre kimondja, hogy bármely valós szám x és bármely relatív egész n :
(kötözősalátax+énbűnx)nem=kötözősaláta(nemx)+énbűn(nemx)(1){\ displaystyle \ left (\ cos x + \ mathrm {i} \ sin x \ right) ^ {n} = \ cos (nx) + \ mathrm {i} \ sin (nx) \ quad (1)}Az i szám a képzeletbeli egységet , azaz a –1 négyzetgyök választását jelöli . Abraham de Moivre francia matematikusról kapta a nevét , aki írásaiban viszonylag hasonló képletet használt.
Ez a képlet összetett számokat, valamint a koszinusz és a szinusz trigonometrikus függvényeket kapcsol össze . Néha a képletet úgy írják át, hogy a „ cos ( x ) + i sin ( x ) ” kifejezés helyébe az „ exp (i x ) ” kifejezés lép. Ez Euler képlete . Azzal, hogy ennek a képletnek két tagját n értékre emeljük , közvetlenül bebizonyítjuk Moivre formuláját. Ezért bizonyítás sokkal egyszerűbb, mint az alábbiakban ismertetett indukcióval történő bizonyítás.
Geometriai értelmezés
A valós x , a egyenlőség „ cos 2 x + sin 2 x = 1 ” azt jelenti, hogy a komplex szám „ Z = cos ( x ) + i sin ( x ) ” modulusa egyenlő 1 . Az Argand síkban az 1 modulus komplex számai alkotják a C kört O középponttal és 1 sugárral (az egység kör). Különösen az z toldalék M pontja C-hez tartozik . Ha M az 1. rögzítés pontja , akkor az (OI, OM) szög x radiánt mér . Moivre képlete azt állítja, hogy z n a C N pontjának toldása, így az orientált szög (OI, ON) nx radiánt mér .
Moivre képlete egy általánosabb eredményen alapul, amely a komplex számok szorzatának geometriai értelmezésére vonatkozik: ha z és w két 1 modulus komplex szám , akkor az M és N pontokat megfelelő z és w toldalékokkal helyezzük el, és zw-t kapunk a C P pontjának toldalékaként úgy, hogy (OI, OP) = (OI, OM) + (OI, ON) . Ezután megkapjuk az általános képletet:
(kötözősalátax+énbűnx)(kötözősalátay+énbűny)=(kötözősaláta(x+y)+énbűn(x+y))(2){\ displaystyle \ left (\ cos x + \ mathrm {i} \ sin x \ right) \ left (\ cos y + \ mathrm {i} \ sin y \ right) = \ left (\ cos (x + y) + \ mathrm {i} \ sin (x + y) \ right) \ quad (2)}
Történelmi
A gyakori formája a képlet jelenik meg a Bevezetés a végtelenül elemzés az Euler amely igazolja, bármely természetes szám n , 1748-ban azonban úgy tűnik, így implicit Abraham de Moivre többször 1707 című munkájában n -edik gyökerei a komplex számok . A két probléma hatékonyan kapcsolódnak: írásban, hogy (cos x + i sin x ) n = cos ( NX ) + i sin ( NX ) egyenértékű azzal, hogy cos x + i sin x az egyik n -edik gyökereit a komplex cos ( nx ) + i sin ( nx ) .
Demonstráció...
képlet (2)
Minden valós x és y esetében:
(kötözősalátax+énbűnx)(kötözősalátay+énbűny)=(kötözősalátaxkötözősalátay-bűnxbűny)+én(bűnxkötözősalátay+kötözősalátaxbűny){\ displaystyle \ left (\ cos x + \ mathrm {i} \ sin x \ right) \ left (\ cos y + \ mathrm {i} \ sin y \ right) = \ left (\ cos x \ cos y- \ sin x \ sin y \ right) + \ mathrm {i} \ bal (\ sin x \ cos y + \ cos x \ sin y \ right)}Arany,
kötözősaláta(x+y)=(kötözősalátaxkötözősalátay-bűnxbűny)etbűn(x+y)=(bűnxkötözősalátay+kötözősalátaxbűny){\ displaystyle \ cos (x + y) = \ bal (\ cos x \ cos y- \ sin x \ sin y \ right) \ quad \ mathrm {et} \ quad \ sin (x + y) = \ left ( \ sin x \ cos y + \ cos x \ sin y \ right)}Ebből kifolyólag,
(kötözősalátax+énbűnx)(kötözősalátay+énbűny)=kötözősaláta(x+y)+énbűn(x+y){\ displaystyle \ left (\ cos x + \ mathrm {i} \ sin x \ right) \ left (\ cos y + \ mathrm {i} \ sin y \ right) = \ cos (x + y) + \ mathrm {i} \ sin (x + y)}Ezért a (2) képlet létrejön.
az (1) képlet
Először bebizonyítjuk (1) n > 0-ra az n indukciójával .
- Az n = 1 , a képlet igaz.
- Legyen k nem nulla egész szám. Tegyük fel, hogy a képlet igaz k-re . Így,
(kötözősalátax+énbűnx)k=kötözősaláta(kx)+énbűn(kx){\ displaystyle \ left (\ cos x + \ mathrm {i} \ sin x \ right) ^ {k} = \ cos (kx) + \ mathrm {i} \ sin (kx)}Melyek adják:
(kötözősalátax+énbűnx)k+1=(kötözősalátax+énbűnx)k(kötözősalátax+énbűnx)=[kötözősaláta(kx)+énbűn(kx)](kötözősalátax+énbűnx){\ displaystyle {\ begin {alignedat} {2} \ left (\ cos x + \ mathrm {i} \ sin x \ right) ^ {k + 1} & = \ left (\ cos x + \ mathrm {i} \ sin x \ right) ^ {k} \ left (\ cos x + \ mathrm {i} \ sin x \ right) \\ & = \ left [\ cos \ left (kx \ right) + \ mathrm {i} \ sin \ left (kx \ right) \ right] \ left (\ cos x + \ mathrm {i} \ sin x \ right) \ end {alignedat}}}A (2) képlet szerint:
(kötözősalátax+énbűnx)k+1=kötözősaláta((k+1)x)+énbűn((k+1)x){\ displaystyle \ left (\ cos x + \ mathrm {i} \ sin x \ right) ^ {k + 1} = \ cos ((k + 1) x) + \ mathrm {i} \ sin ((k + 1) x)}Arra következtetünk, hogy a képlet igaz a k + 1 rangban .
Az indukció elvéből következik, hogy a képlet minden nulla nem természetes természetes egészre igaz.
Amikor n = 0 , a képlet igaz, mivel cos (0 x ) + i sin (0 x ) = 1 + i × 0 = 1 , és megállapodás szerint z 0 = 1 .
Amikor n <0 , úgy véljük, egy szigorúan pozitív természetes egész szám, m olyan, hogy n = - m . Így
(kötözősalátax+énbűnx)nem=(kötözősalátax+énbűnx)-m=1(kötözősalátax+énbűnx)m=1(kötözősalátamx+énbűnmx)=kötözősaláta(mx)-énbűn(mx)=kötözősaláta(-mx)+énbűn(-mx)=kötözősaláta(nemx)+énbűn(nemx).{\ displaystyle {\ begin {alignedat} {2} \ left (\ cos x + i \ sin x \ right) ^ {n} & = \ left (\ cos x + \ mathrm {i} \ sin x \ right) ^ {-m} \\ & = {\ frac {1} {\ balra (\ cos x + \ mathrm {i} \ sin x \ jobbra) ^ {m}}} \\ & = {\ frac {1} {\ left (\ cos mx + \ mathrm {i} \ sin mx \ right)}} \\ & = \ cos \ left (mx \ right) - \ mathrm {i} \ sin \ left (mx \ right) \ \ & = \ cos \ bal (-mx \ jobb) + \ mathrm {i} \ sin \ bal (-mx \ jobb) \\ & = \ cos \ bal (nx \ jobb) + \ mathrm {i} \ sin \ bal (nx \ jobb). \ end {alignedat}}}Így a tétel minden n , cqfd relatív egész számra igaz .
Moivre képletének használata
Ez a képlet használják, hogy megtalálják a hatáskörét n edik a komplex számok a trigonometriai formában:
znem=rnem(kötözősaláta(nemx)+énbűn(nemx)){\ displaystyle z ^ {n} = r ^ {n} (\ cos (nx) + \ mathrm {i} \ sin (nx) \,)}valamint, hogy megkapjuk a formák cos ( nx ) és sin ( NX ) függvényében sin ( x ) és cos ( x ) .
Például, hogy cos (2 x ) és sin (2 x ) legyen , egyenlőek vagyunk:
(kötözősaláta(x)+énbűn(x))2=kötözősaláta(2x)+énbűn(2x) {\ displaystyle (\ cos (x) + \ mathrm {i} \ sin (x)) ^ {2} = \ cos (2x) + \ mathrm {i} \ sin (2x) \}Nekünk van :
kötözősaláta2(x)+2kötözősaláta(x)bűn(x)én-bűn2(x){\ displaystyle \ cos ^ {2} (x) +2 \ cos (x) \ sin (x) \ mathrm {i} - \ sin ^ {2} (x) \,}=kötözősaláta(2x)+énbűn(2x){\ displaystyle = \ cos (2x) + \ mathrm {i} \ sin (2x) \,}
Meghatározzuk a valós és a képzeletbeli részeket, hogy a következő két egyenlőséget kapjuk:
kötözősaláta(2x)=kötözősaláta2(x)-bűn2(x){\ displaystyle \ cos (2x) = \ cos ^ {2} (x) - \ sin ^ {2} (x) \,}
bűn(2x)=2kötözősaláta(x)bűn(x){\ displaystyle \ sin (2x) = 2 \ cos (x) \ sin (x) \,}
Így trigonometrikus képleteink vannak a duplikációra.
Chebyshev polinomok
Moivre képlete:
kötözősaláta(nemx)+énbűn(nemx)=(kötözősalátax+énbűnx)nem=∑o=0nem(nemo)kötözősalátanem-o(x)énobűno(x){\ displaystyle \ cos (nx) + \ mathrm {i} \ sin (nx) = {\ bal (\ cos x + \ mathrm {i} \ sin x \ right)} ^ {n} = \ sum _ {p = 0} ^ {n} {n \ válassza p} \ cos ^ {np} (x) \ mathrm {i} ^ {p} \ sin ^ {p} (x)}A valós rész felvételével és p = 2 k beállításával jön:
kötözősaláta(nemx)=Tnem(kötözősalátax){\ displaystyle \ cos (nx) = T_ {n} (\ cos x)}ahol T n egy n fokú polinom , amelyet Chebyshev polinomnak nevezünk.
Tnem(x)=∑0≤2k≤nem(nem2k)(-1)kxnem-2k(1-x2)k{\ displaystyle T_ {n} (X) = \ sum _ {0 \ leq 2k \ leq n} {n \ select 2k} (- 1) ^ {k} X ^ {n-2k} (1-X ^ { 2}) ^ {k}}
Megjegyzések és hivatkozások
Megjegyzések
-
Ez néha „de Moivre formula”, hogy közelebb kerüljön az angol Formula De Moivre vagy a megszentelt De Moivre formula . Másrészt Franciaországban és a franciául beszélő országokban, különösen az oktatásban, egyértelműen a „Moivre-képlet”, mert egyetlen tipográfiai kényszer sem követeli meg, hogy a részecske „egy szótag neve, két szótag neve mellett néma végződés és magánhangzóval vagy néma h-vel kezdődő nevek ”, erre emlékeztetnek a tipográfiai egyezményekre vonatkozó ajánlások, amelyek a tipográfiai szabályok lexikonjából származnak, és amelyet az Imprimerie Nationale- nál használnak, p. 137 ; ezek kivonata megtalálható a cikk vita oldalán .
Hivatkozások
-
Leonhard Euler , Introductio in analysin infinitorum , vol. 1. fejezet. 8 („De quantitatibus transcendentibus ex circulo ortis”), 133. §.
-
Több állítás , mint amit a Flament 2003 , p. 61.
-
Schneider 1968 , p. 250.
-
Mivel 1707 in a Philosophical Transactions , n o 309, Art. 3. Az analitikai megoldások egyes egyenletek a 3 -én , 5 -én , 7 -én teljesítmény és nagyobb teljesítményű ( előnézet a Google Books ), és 1730-ban az ő Miscellanea Analytica , London, p. 1-2 , és a Philosophical Transactions of 1738, n o 451, kérdés III ( előnézet a Google Books ).
Bibliográfia
- Dominique Flament , A komplex számok története: Algebra és geometria között , CNRS Édition,2003
- David E. Smith , Forráskönyv a matematikából , vol. 3, Courier Dover Publication,1959
- Ivo Schneider , „ Der Mathematiker Abraham de Moivre (1667 - 1754) ”, a pontos tudományok történetének archívuma ,1968. december 31, P. 177-317
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">