A matematika , a kifejezések „ mindent ” és a „ létezik ”, alakításához használt matematikai állítások a számítás predikátumok , nevezzük számszerűsítésüket . A formális nyelvet képviselő szimbólumokat kvantoroknak (vagy korábban kvantoroknak ) nevezzük .
Az univerzális kvantálást ("mindenki számára ..." vagy "bármi ...") a symbol szimbólum (egy A hátrafelé ) jelöli .
Példa:
∀ x P ( x )olvassa
"Minden x P ( x ) esetében"és azt jelenti
Msgstr "A figyelembe vett tartomány bármely objektumának P tulajdonsága van . "A "∀" jelölést először Gerhard Gentzen használta 1933-ban (megjelent 1934-ben). A német szó alle Jelentése „minden”, azt javasolja, hogy „szimbólum ( Zeichen ) érvényes minden ( für alle )” . Gentzen jelzi, hogy „mindennek szimbólumaként” ( All-Zeichen ) az invertált A-t analóg módon választotta az „∃” szimbólummal az egzisztenciális kvantorra, amelyet Russelltől vesz .
Az egzisztenciális mennyiségi meghatározást ("létezik egy ..." abban az értelemben, hogy "legalább egy van ...") ∃ jellel (egy visszatérő E) jegyezzük meg. Pontosabban,
∃ x P ( x )eszközök
létezik legalább egy olyan x , hogy P ( x ) (a figyelembe vett tartomány legalább egy objektumának P tulajdonsága van )Az egyediség kifejezéséhez a létezés mellett a használt jel ∃! (az egzisztenciális kvantor, amelyet felkiáltójel követ), pontosabban
∃! x P ( x )eszközök
létezik olyan egyedi x , hogy P ( x ), vagy pedig létezik egy és csak olyan x , hogy P ( x ) (egy pontosan a figyelembe vett tartomány objektuma P tulajdonsággal rendelkezik ).Ezt az utolsó kvantort úgy definiáljuk, hogy kiszámítjuk az egalitárius predikátumokat a két előző kvantorból (és az egyenlőségből), például
∃! x P ( x ) ≡ ∃ x [ P ( x ) és ∀ y ( P ( y ) ⇒ y = x )].
A ∃ jelölést 1897-ben Giuseppe Peano használta először matematikai formájának II. Kötetében, más szintaxissal, a jel közvetlenül az állítmányhoz kapcsolódott (( P az ∃ x P ( x ) esetében). Bertrand Russell az első, aki a jelenlegi módon használja linkkezelőként.
A tagadás :
Vagy: .A tagadás :
, vagy: a klasszikus logikában , de az intuitionista logikában nem .Egy előre formázott képlet esetében a kvantorok sorrendje az azonos kvantorok egyes blokkjai (tehát az egzisztenciális kvantorok vagy az univerzális kvantorok blokkja) között nem releváns, a képlet ugyanaz marad. Másrészt az egzisztenciális vagy univerzális kvantorok blokkjainak váltakozása nagyon különálló képleteket ad, amelyek logikai komplexitása különösen az aritmetikai hierarchiában figyelhető meg .
A természetes levonás , Gerhard Gentzen mutatja be a két kvantorokat az alábbiak szerint:
Bevezető szabályok | Ártalmatlanítási szabályok | |
---|---|---|
mindenért | . | |
létezik |
Ha egy csoport fekete macskát veszünk, akkor azt mondhatjuk, hogy bármilyen macskát választunk ebből a csoportból, az fekete lesz. ( )
Ha egy fekete macska csoportban van néhány fehér macska (vagy csak egy), akkor azt mondhatjuk, hogy egy (vagy csak egy) fehér macska van ebben a csoportban.
( )
Szimbólum | Unicode | Html | Latex | |
---|---|---|---|---|
mindenért | ∀ | U + 2200 | & mindenkinek; | \ mindenkinek |
létezik | ∃ | U + 2203 | &létezik; | \ létezik |
A szokásos kvantorokra vonatkozó szabályok ismertetése létezik, és bármi megtalálható az állítmányszámítás összes tankönyvében , amelynek bibliográfiája megtalálható a matematikai logikán .
Ezeknek a kvantoroknak az általánosítása érdekében a következőkre fordulhatunk: