Bode diagram

A Bode-diagram a rendszer frekvencia-válaszának ábrázolására szolgál, különösen az elektronikus .

Hendrik Wade Bode ( Bell Laboratories) ezt a diagramot javasolta a szervo és a visszacsatolás egyszerű grafikus tanulmányozásához egy elektronikus eszközben . Lehetővé teszi az erősítési margó, a fázis margó, a folyamatos erősítés, a sávszélesség , a zavar elutasítása és a rendszer stabilitásának gyors megjelenítését az átviteli funkcióból .

Meghatározás

A frekvencia-válasz rendszer Bode-diagramja két ábrából áll: T(jω) {\ displaystyle T (j \ omega) \}

• az erősítés (vagy amplitúdó) decibelben (dB). Értékét a következőkből számolják .20napló10.⁡(|T(jω)|) {\ displaystyle 20 \ log _ {10} {(| T (j \ omega) |)} \}
• a fázis fokban, megadvaarg⁡(T(jω)) {\ displaystyle \ arg {(T (j \ omega))}}

A pulzus skála van logaritmikus , és kifejeződik a radián / s (radián másodpercenként). A logaritmikus skála nagyon olvasható ábrázolást tesz lehetővé, mivel egy egyenes szakaszaiból épül fel .

Az analóg rendszerek aszimptotikus ábrázolása

Vegyünk egy tetszőleges átviteli függvényt, amelyet az alábbiak szerint írunk:

H(o)=αoq∏k=1K(1+2ξkoωk+(oωk)2)∏l=1L(1+oωl)∏m=1M(1+2ξmoωm+(oωm)2)∏nem=1NEM(1+oωnem){\ displaystyle H (p) = \ alpha p ^ {q} {\ frac {\ prod _ {k = 1} ^ {K} \ balra (1 + 2 \ xi _ {k} {\ frac {p} { \ omega _ {k}}} + \ balra ({\ frac {p} {\ omega _ {k}}} \ jobbra) ^ {2} \ jobbra) \ prod _ {l = 1} ^ {L} \ balra (1 + {\ frac {p} {\ omega _ {l}}} \ jobbra)} {\ prod _ {m = 1} ^ {M} \ balra (1 + 2 \ xi _ {m} {\ frac {p} {\ omega _ {m}}} + \ bal ({\ frac {p} {\ omega _ {m}}} \ jobb) ^ {2} \ right) \ prod _ {n = 1} ^ {N} \ balra (1 + {\ frac {p} {\ omega _ {n}}} \ jobbra)}}

vagy α∈R ; q∈Z ; ωk,ωl,ωm,ωnem∈R∗ ; ξk,ξm∈R {\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R} \; \ q \ in \ mathbb {Z} \; \ \ omega _ {k}, \ omega _ {l}, \ omega _ {m}, \ omega _ {n} \ in \ mathbb {R} ^ {*} \; \ \ xi _ {k}, \ xi _ {m} \ in \ mathbb {R} \}

Bár az átviteli függvény többféleképpen is írható, a fent leírtak szerint kell írni őket:

• az első és a második fok elemi polinomjainak állandó feltételeinek érvényesnek kell lenniük . Ehhez használja az állandót .1{\ displaystyle 1}α{\ displaystyle \ alpha}
• Az első és a második fokú elemi polinomokban szereplő kifejezéseknek a számlálóban kell lenniük. (lásd alább a High Pass funkció átírását )o{\ displaystyle p}

Megjegyezzük, hogy a modulus megegyezik az elemi tagok modulusainak összegével a logaritmus miatt . Ugyanez vonatkozik a szakaszra is, ezúttal az argumentum függvény miatt. Ezért kezdetben érdeklődni fogunk az elemi kifejezések Bode-diagramjai iránt. H(o) {\ displaystyle H (p) \}

Első rendű rendszerek

Aluláteresztő

• Meghatározás

Vagy az átviteli funkció:

H(o)=11+oω0 {\ displaystyle H (p) = {\ frac {1} {1 + {\ frac {p} {\ omega _ {0}}}}}}

Az impulzust cutoff impulzusnak nevezzük . ω0 {\ displaystyle \ omega _ {0} \}

• Aszimptotikus cselekmény

Mert ezért és . ω≪ω0, H(jω)≈1 {\ displaystyle \ omega \ ll \ omega _ {0}, \ H (j \ omega) \ kb 1 \}|HdB(jω)|=0 {\ displaystyle | H_ {dB} (j \ omega) | = 0 \}arg⁡(H(jω))=0∘ {\ displaystyle \ arg {(H (j \ omega))} = 0 ^ {\ circ} \}

Mert ezért és . ω≫ω0, H(jω)≈-jω0ω {\ displaystyle \ omega \ gg \ omega _ {0}, \ H (j \ omega) \ kb -j {\ frac {\ omega _ {0}} {\ omega}} \}|HdB(jω)|=-20napló10.⁡(ω)+20napló10.⁡(ω0) {\ displaystyle | H_ {dB} (j \ omega) | = -20 \ log _ {10} (\ omega) +20 \ log _ {10} (\ omega _ {0}) \}arg⁡(H(jω))=-90∘ {\ displaystyle \ arg {(H (j \ omega))} = - 90 ^ {\ circ} \}

Logaritmikus referenciában -20 dB / évtized vagy akár -6 dB / oktáv meredekséget eredményez . Beszélünk a -1 meredekségről is. A modul aszimptotikus Bode-diagramja ezért két lineáris szakaszra esik. |HdB(jω)| {\ displaystyle | H_ {dB} (j \ omega) | \}

• Igazi pálya

in , vagy  : a görbe átmegy 3 dB-lel alacsonyabb cut-off point. ω0 {\ displaystyle \ omega _ {0} \}H(jω0)=11+j{\ displaystyle H (j \ omega _ {0}) = {\ frac {1} {1 + j}}}|Hdb(jω0)|=-20napló10.⁡(2)=-10.napló10.⁡(2){\ displaystyle | H_ {db} (j \ omega _ {0}) | = -20 \ log _ {10} ({\ sqrt {2}}) = - 10 \ log _ {10} (2)}

Magas passz

Vagy az átviteli funkció:

H(o)=11+ω0o=oω01+oω0{\ displaystyle H (p) = {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ omega _ {0}} {p}}}} = {\ frac {\ frac {p} {\ omega _ {0 }}} {1 + {\ frac {p} {\ omega _ {0}}}}}}

A diagramot úgy kapjuk meg, hogy az ellenkezőjét vesszük a modulban dB-ben és az aluláteresztő fázisban.

Másodrendű rendszerek

Aluláteresztő

• Meghatározás

Az aluláteresztő második rendű rendszert a következő típusú átviteli funkció jellemzi:

H(o)=H01+2ξoω0+(oω0)2 {\ displaystyle H (p) = {\ frac {H_ {0}} {1 + 2 \ xi {\ frac {p} {\ omega _ {0}}} + \ bal ({\ frac {p} {\ omega _ {0}}} \ right) ^ {2}}} \}

H0{\ displaystyle H_ {0}}a statikus erősítés. A lüktetést megfelelő lüktetésnek nevezzük, és ez a csillapítás. ω0 {\ displaystyle \ omega _ {0} \}ξ {\ displaystyle \ xi \}

• Aszimptotikus cselekmény és a Real görbe

Ebben a részben a statikus erősítés egyenlő 1-vel. Az aszimptotikus elrendezés a csillapítás értékétől függ. Három eset van: H0{\ displaystyle H_ {0}}

• ξ >1{\ displaystyle \ xi \> 1}

A pólusok az átviteli függvény valós (és negatív stabilitás), és a rendszert bontani a két termék átviteli függvények az 1 st  ordre.Soit és tényleges pólusai az átviteli függvény: o1{\ displaystyle p_ {1}}o2{\ displaystyle p_ {2}}

H(o)=11+2ξoω0+(oω0)2=1(1-oo1)(1-oo2){\ displaystyle H (p) = {\ frac {1} {1 + 2 \ xi {\ frac {p} {\ omega _ {0}}} + \ bal ({\ frac {p} {\ omega _ { 0}}} \ jobbra) ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ balra (1 - {\ frac {p} {p_ {1}}} \ jobbra) \ balra (1 - {\ frac {p} {p_ {2}}} \ jobbra)}}}

• ξ =1{\ displaystyle \ xi \ = 1}

A pólusok valósak, negatívak és egyenlőek (kettős pólusúak). Ha az átviteli függvény kettős pólusa, akkor ezt kapjuk: o0{\ displaystyle p_ {0}}

H(o)=11+2ξoω0+(oω0)2=1(1+oω0)2{\ displaystyle H (p) = {\ frac {1} {1 + 2 \ xi {\ frac {p} {\ omega _ {0}}} + \ bal ({\ frac {p} {\ omega _ { 0}}} \ jobbra) ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ balra (1 + {\ frac {p} {\ omega _ {0}}} \ jobbra) ^ {2}}} }

Mert ezért és . ω≪ω0 H(jω)≈1 {\ displaystyle \ omega \ ll \ omega _ {0} \ H (j \ omega) \ kb 1 \}|HdB(jω)|=0 {\ displaystyle | H_ {dB} (j \ omega) | = 0 \}arg⁡(H(jω))=0∘ {\ displaystyle \ arg {(H (j \ omega))} = 0 ^ {\ circ} \}

Mert ezért és . ω≫ω0 |H(jω)|≈(ω0ω)2 {\ displaystyle \ omega \ gg \ omega _ {0} \ | H (j \ omega) | \ kb \ balra ({\ frac {\ omega _ {0}} {\ omega}} \ jobbra) ^ {2} \}|HdB(jω)|=-40napló10.⁡(ω)+40napló10.⁡(ω0) {\ displaystyle | H_ {dB} (j \ omega) | = -40 \ log _ {10} (\ omega) +40 \ log _ {10} (\ omega _ {0}) \}arg⁡(H(jω))=-180∘×séngneme(ω0ξ)⁡ {\ displaystyle \ arg {(H (j \ omega))} = - 180 ^ {\ circ} \ alkalommal \ operátornév {jel (\ omega _ {0} \ xi)} \}

Logaritmikus viszonyítási alapon -40 dB / évtized vagy akár -12 dB / oktáv meredekséget eredményez . Beszélünk a -2 lejtőről is. A modul aszimptotikus Bode diagramja tehát két lineáris szakaszra esik. |HdB(jω)| {\ displaystyle | H_ {dB} (j \ omega) | \}

• ξ <1{\ displaystyle \ xi \ <1}

Az aszimptotikus diagram ugyanaz, mint az előző esetben. Az átviteli függvény pólusai összetettek és konjugáltak, negatív valós részük van. Amikor a rendszer rezonanciát mutat. Az átviteli funkció modul maximuma ekkor van . A maximumnak megfelelő impulzus tehát mindig kisebb, mint . ξ<22 {\ displaystyle \ xi <{\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \}|H(jω)|mnál nélx=12ξ1-ξ2 {\ displaystyle | H (j \ omega) | _ {max} = {\ frac {1} {2 \ xi {\ sqrt {1- \ xi ^ {2}}}}}}ωR=ω01-2ξ2 {\ displaystyle \ omega _ {R} = \ omega _ {0} {\ sqrt {1-2 \ xi ^ {2}}} \}ωR{\ displaystyle \ omega _ {R}}ω0{\ displaystyle \ omega _ {0}}

Magas passz H(o)=(oω0)21+2ξoω0+(oω0)2 {\ displaystyle H (p) = {\ frac {({\ frac {p} {\ omega _ {0}}}) ^ {2}} {1 + 2 \ xi {\ frac {p} {\ omega _ {0}}} + \ bal ({\ frac {p} {\ omega _ {0}}} \ jobb) ^ {2}}} \}

A diagramot úgy kapjuk meg, hogy az ellenkezőjét vesszük a modulban dB-ben és az aluláteresztő fázisban.

Vissza az általános esethez

Amint arra fentebb rámutattunk, hozzáadhatjuk az elemi kifejezések összes Bode-diagramját az átviteli függvény diagram megszerzéséhez . H(o) {\ displaystyle H (p) \}

Ha azonban ez az átviteli funkció bonyolult, akkor az impulzus növekedésével könnyebb figyelembe venni az egyes tagok hozzájárulását . ω {\ displaystyle \ omega \}

Elején, amikor a modulus aszimptotája egy q meredekségű vonal (q * 20 dB / évtized), és a fázis állandó . Ezt követően minden alkalommal, amikor impulzus lép fel, a diagramot a következő eljárással módosítják: ω→0 {\ displaystyle \ omega \ rightarrow 0 \}q×90∘ {\ displaystyle q \ alkalommal 90 ^ {\ circ} \}

• Mert hozzáadjuk a +2 értéket a modul meredekségéhez (+40 dB / évtized) és a fázishoz.ω=ωk {\ displaystyle \ omega = \ omega _ {k} \}180∘×séngneme(ωkξk)⁡ {\ displaystyle 180 ^ {\ circ} \ times \ operatorname {jel (\ omega _ {k} \ xi _ {k})} \}
• Mert hozzáadjuk a +1 értéket a modul meredekségéhez (+20 dB / évtized) és a fázishoz.ω=ωl {\ displaystyle \ omega = \ omega _ {l} \}90∘×séngneme(ωl)⁡ {\ displaystyle 90 ^ {\ circ} \ times \ operatorname {jel (\ omega _ {l})} \}
• Mert hozzáadunk -2 értéket a modul meredekségéhez (-40 dB / évtized) és a fázishoz.ω=ωm {\ displaystyle \ omega = \ omega _ {m} \}-180∘×séngneme(ωmξm)⁡ {\ displaystyle -180 ^ {\ circ} \ times \ operatorname {jel (\ omega _ {m} \ xi _ {m})} \}
• Mert -1-et adunk a modul meredekségéhez (-20 dB / évtized) és a fázishoz.ω=ωnem {\ displaystyle \ omega = \ omega _ {n} \}-90∘×séngneme(ωnem)⁡ {\ displaystyle -90 ^ {\ circ} \ times \ operátornév {jel (\ omega _ {n})} \}

Digitális rendszerek ábrázolása

A pulzációs tartomány korlátozása

Ezúttal egy diszkrét rendszer átviteli funkciója van . G(z)=Z{g(nem)} {\ displaystyle G (z) = {\ mathcal {Z}} \ {g (n) \} \}

A Bode diagram megszerzéséhez ki kell értékelnünk a függvényt az egység körön.

Más szavakkal, a (szimmetriával kapjuk meg a teljes kört). z=e2πjv {\ displaystyle z = e ^ {2 \ pi j \ nu} \}v∈[0;12]{\ displaystyle \ nu \ a bal oldalon [0; {\ frac {1} {2}} \ jobb]}

Ha a diszkrét rendszert egy folytonos rendszer T periódusában vett mintavételből nyertük , akkor a . z=ejωT {\ displaystyle z = e ^ {j \ omega T} \}ω∈[0;πT]{\ displaystyle \ omega \ bal oldalon [0; {\ frac {\ pi} {T}} \ jobb]}

Sőt, a kapcsolatok és nem racionálisak . Következésképpen az útvonal tanulmányozása bonyolult és számítógépes erőforrásokat igényel. |G(z)|z=e2πjv {\ displaystyle | G (z) | _ {z = e ^ {2 \ pi j \ nu}} \}nál nélrg(G(z)z=e2πjv)⁡ {\ displaystyle \ kezelőnév {arg (G (z) _ {z = e ^ {2 \ pi j \ nu}})}}}v {\ displaystyle \ nu \}

Bilinear transzformáció

Van azonban olyan alkalmazás, amely lehetővé teszi a folyamatos esetre való csökkentést:

z=2T+w2T-w {\ displaystyle z = {\ frac {{\ frac {2} {T}} + w} {{\ frac {2} {T}} - w}} \}

vagy a kölcsönös függvény w=2Tz-1z+1 {\ displaystyle w = {\ frac {2} {T}} {\ frac {z-1} {z + 1}} \}

Ez Möbius átalakulása .

Ez az átalakulás teszi a képzetes tengelyének a folytonos tartomány megfelelnek az egység kör

a diszkrét domén : valóban pózol , akkor amely összetett elosztjuk a konjugátum, ezért a modulus 1. Ugyancsak írva , ezért az állítás de van a modulo fele  : argumentum . w=jΩ {\ displaystyle w = j \ Omega \}z=ejωT {\ displaystyle z = e ^ {j \ omega T} \}ω=2Tnál nélrvs.tnál nélnem(TΩ2)⁡ {\ displaystyle \ omega = {\ frac {2} {T}} \ operátornév {arctan \ bal ({\ frac {T \ Omega} {2}} \ jobb)} \}Z=2T+jΩ{\ displaystyle Z = {\ frac {2} {T}} + j \ Omega}z=2T+jΩ2T-jΩ=ZZ∗ {\ displaystyle z = {\ frac {{\ frac {2} {T}} + j \ Omega} {{\ frac {2} {T}} - j \ Omega}} = {\ frac {Z} {Z ^ {*}}} \}z=Z2|Z|2 {\ displaystyle z = {\ frac {Z ^ {2}} {| Z | ^ {2}}} \}Z {\ displaystyle Z \}z {\ displaystyle z \}π {\ displaystyle \ pi \}nál nélrg(Z)≡nál nélrvs.tnál nélnem(Ω2T)⁡ [π]≡12ωT [π]{\ displaystyle \ operátornév {arg (Z)} \ equiv \ operátornév {arctan \ left ({\ frac {\ Omega} {\ frac {2} {T}}} \ jobb)} \ [\ pi] \ equiv { \ frac {1} {2}} \ omega T \ [\ pi]}

Most, amikor megvan , ebben az esetben egy racionális, tanulmányozandó frakció folyamatos eseteiben találjuk magunkat. Ezután visszatérhetünk az analóg rendszerek klasszikus vizsgálatához arról, hogy tudjuk, hogy a közeli diagram értékei hibával vannak beszennyezve. ωT≪1{\ displaystyle \ omega T \ ll 1}ω≈Ω {\ displaystyle \ omega \ kb \ Omega \}ω∈[0;πT]{\ displaystyle \ omega \ bal oldalon [0; {\ frac {\ pi} {T}} \ jobb]}ω=πT {\ displaystyle \ omega = {\ frac {\ pi} {T}} \}

Lásd is

• Kibernetika
• Aluláteresztő szűrő
• Magasáramú szűrő
• Black diagramja
• Nyquist diagram

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">