Repülési dinamika széllökések jelenlétében

A repülés dinamikája a széllökéseknél a repülőgép viselkedésének vizsgálata a lamináris áramlástól eltérő légáramlás jelenlétében , vagyis a vízszintes széllökések és / vagy a függőleges szélnyírás okozta turbulens áramlás . . Ezt a turbulenciát a Szövetségi Légiközlekedési Hatóság (FAA) tisztán minőségi alapon határozza meg, és adott körülmények között nem tudja megjósolni a repülőgéphez kapcsolódó kockázatokat. A Nemzetközi Polgári Repülési Szervezet (ICAO) által adott mennyiségi meghatározást az örvényenergia diffúziójának sebessége fejezi ki, m 2 / s 3-ban kifejezve . Ez az utolsó meghatározás azonban nem veszi figyelembe a repülőgép tömegét és sebességét, míg egy vitorlázógép sokkal érzékenyebb az alacsony turbulenciára, mint a nehéz repülőgépek. Ezért fontos egy pontosabb megfogalmazás bemutatása.

A vitorlázó repülőgép vízszintes vagy függőleges széllökések jelenlétében mutatott reakciójának egyszerűsített megfogalmazását az irodalom kevéssé közelíti meg, kivéve Schmidt, Asselin és talán néhány más szerzőt. Azonban a közhiedelemmel ellentétben, miszerint a zivatarfelhők jelentik a legkomolyabb (indokolt) veszélyt a repülés számára, a meglehetősen ártalmatlannak tűnő kis felhők széteshetnek egy vitorlázórepülőgépen, ami 20 G- nál 16- os terhelési tényezőket okoz, ahogy Larry Edgar 1955. április 25-én szenvedett.  

Ezen túlmenően, a frontális széllökés a 70  km / h- felvisszük egy ernyőt repülő 70  km / h okoz terhelési tényező 4 G. Ez akkor fordulhat elő az al-hullám réteg ( rotorok társított hegy hullámok ). Heves zivatarfelhőkön belül ugyanez lehet. Még erős termikus Updraftok generálhat jelentős terhelést tényezők, amelyek nem a valós veszélyt vitorlázó, de kényelmetlenséget más kategóriába tartozó felhasználók.

Gyors becslés a terhelési tényezőkről

Turbulencia és örvényesség (örvényesség)

Legyen v a sebességmező, az örvényességet egy ponton a következő mennyiségnek hívjuk :

η→=∇→∧v→{\ displaystyle {\ vec {\ eta}} = {\ vec {\ nabla}} \ ék {\ vec {v}}}

Ez a mennyiség a levegő örvénymozgását írja le. Így minél nagyobb az örvény, annál nagyobb a turbulencia intenzitása az alábbiakban kifejtettek szerint.

A turbulencia erőszakja a repülőgép sebességének függvényében

Röviden: minden vitorlázó pilóta által használható frissítést generáló légkondicionálót motoros repülőgép pilóta turbulenciának fog nevezni, mert ez utóbbi nem tudja (vagy nem fogja) kihasználni ezeket a frissítéseket. Ráadásul minél gyorsabban repül a repülőgép, annál inkább jelentős terhelési tényezőknek lesznek kitéve, amelyeket a következőkben becsülünk meg. Legyen d a w függőleges sebességű utasszállítás és a -w függőleges sebesség süllyesztése közötti távolság, és u legyen a repülőgép sebessége. Az átlagos gyorsulás van érte a repülőgép:

nál nél=2wud{\ displaystyle a = {2wu \ d} felett}

Elég erős hőemelkedést tartunk ott, ahol w = 5  m / s , u = 125  m / s (legnagyobb engedélyezett sebesség 10 000  lábig ) és d = 100 m (az átlagos távolság a felvonó és az ereszkedés között). Ekkor a = 12,5 m / s 2 -et kapunk , amely nagyobb, mint a gravitáció gyorsulása (10 m / s 2 ). A repülőgép utasa vagy pilótája súlyosnak fogja minősíteni ezt a turbulenciát . A 20  m / s sebességgel repülõ vitorlázó pilóta azonban 2 m / s 2 gyorsulást tapasztal, és enyhének minõsíti ezt a turbulenciát. Ezenkívül ez a pilóta helyesen fogja központosítani ezt az emelkedő oszlopot, és a felvonó lamináris magjában találja magát, és aligha lesz többé turbulencia.

Átmeneti jelenségek

Heaviside funkció

Olyan vitorlázó repülőgépet tekintünk, amelynek csendes levegőben csökken a sebessége, és csendes levegőben repül, és amely hirtelen behatol t = 0 értékre a w a függőleges sebesség emelkedésével . Feltételezzük, hogy a felszálló oszlopba lépés előtt a vitorlázó pályája stabilizálódik. Tehát amikor a vitorlázó repülőgép belép az emelkedő oszlopba, függőleges sebessége a következő: w∞{\ displaystyle w _ {\ infty}}

w(t)=wnál nél-w∞-wnál néle-tτ{\ displaystyle w (t) = w_ {a} -w _ {\ infty} -w_ {a} e ^ {- {t \ over \ tau}}}

val vel τ=mπρSV{\ displaystyle \ tau = {m \ over \ pi \ rho SV}}

• m a vitorlázógép tömege.
• ρ a levegő sűrűsége.
• S a szárny területe
• V a levegő sebessége.

A függőleges gyorsulás a következő:

w˙(t)=wnál nélτe-tτ{\ displaystyle {\ dot {w}} (t) = {w_ {a} \ over \ tau} e ^ {- {t \ over \ tau}}}

Tehát, ha τ helyébe lépünk:

w˙(t)=πρSVwnál nélme-tτ{\ displaystyle {\ dot {w}} (t) = {\ pi \ rho SVw_ {a} \ over m} e ^ {- {t \ over \ tau}}}

A rázás maximális t = 0-nál .

A képlet fizikailag ésszerű. Minél nagyobb a szárny területe vagy nagyobb a vízszintes vagy függőleges sebesség, annál nagyobb a remegés. Ha a tömeg növekszik, a rázás kisebb lesz ( óceánjáró hatás ).

Számszerű példát veszünk figyelembe a nagyságrendek megszerzéséhez.

15 m 2 szárnyterületet , 1,22  kg / m 3 sűrűséget , 300 kg teljes vitorlázótömeget  és 20  m / s légsebességet veszünk figyelembe  . A jellemző idő tehát:

τ=300π×1,22.×15×20=1π×1,22.=0,26.{\ displaystyle \ tau = {300 \ over \ pi \ times 1 {,} 22 \ szor 15 \ szor 20} = {1 \ over \ pi \ times 1 {,} 22} = 0 {,} 26} második.

5  m / s emelésnek számítunk . A függőleges gyorsulás m / s 2 lesz . Ilyen körülmények között a terhelési tényező (2 + 1) G lesz. 5.0,26≈20{\ displaystyle {5 \ több mint 0,26} \ kb 20}

Ez a képlet megmagyarázza, hogy miért repülhetnek el a repülőgépek 20 000 lábnál egy szupercellás gomolyfelhőben, ahol az utómunkálatok elérhetik az 50  m / s-ot .

A fenti képlet 21 G terhelési tényezőt adna.

A függőleges sebesség kiszámítása

Legyen az alfa a támadási szög egy adott időpontban. A felvonót a következők adják:

L=12VSLρSV2{\ displaystyle L = {1 \ 2} felett C_ {L} \ rho SV ^ {2}}

• C L az emelési együttható.
• rho a levegő sűrűsége.
• S a szárny területe
• V a levegő sebessége.

Az emelési együttható:

VSL=2πα{\ displaystyle C_ {L} = 2 \ pi \ alfa}

A felvonó ekkor válik:

L=παρSV2{\ displaystyle L = \ pi \ alpha \ rho SV ^ {2}}

Legyen w 0 a sikló esési sebessége. Most arra törekszünk, hogy meghatározzuk a függőleges sebességet az emelkedő légtömegben. Legyen W a sikló súlya és m tömege. A függőleges gyorsulást a következők adják meg:

mdwdt=L-W{\ displaystyle m {dw \ over dt} = LW}

Vagy W jelentése a függőleges sebességét a légtömeg. A w r relatív függőleges sebesség a légtömeghez viszonyítva:

wr=wnál nél-w{\ displaystyle w_ {r} = w_ {a} -w}

Most arra törekszünk, hogy megbecsüljük a támadási szöget w r függvényében . Mindent összevetve, van: L = W . Tehát:

πα0ρSV2=W{\ displaystyle \ pi \ alpha _ {0} \ rho SV ^ {2} = W}

Legyen α i a beesési szög. A támadás szöge:

α=αén+wrV{\ displaystyle \ alpha = \ alpha _ {i} + {w_ {r} \ felett V}}

Helyettesítjük a differenciálegyenletet, és megkapjuk:

mdwdt=π(αén+wrV)ρSV2-W{\ displaystyle m {dw \ over dt} = \ pi \ bal (\ alpha _ {i} + {w_ {r} \ felett V} \ jobb) \ rho SV ^ {2} -W}

Ne feledje, hogy : wr=wnál nél-w{\ displaystyle w_ {r} = w_ {a} -w}

mdwdt=π(αén+wnál nél-wV)ρSV2-W{\ displaystyle m {dw \ over dt} = \ pi \ bal (\ alpha _ {i} + {w_ {a} -w \ felett V} \ jobb) \ rho SV ^ {2} -W}

Ebből kifolyólag,

mdwdt+πρSV2Vw=π(αén+wnál nélV)ρSV2-W{\ displaystyle m {dw \ over dt} + {\ pi \ rho SV ^ {2} \ over V} w = \ pi \ left (\ alpha _ {i} + {w_ {a} \ over V} \ right ) \ rho SV ^ {2} -W}

Ebből kifolyólag,

mdwdt+(πρSV)w=π(αén+wnál nélV)ρSV2-W{\ displaystyle m {dw \ over dt} + (\ pi \ rho SV) w = \ pi \ bal (\ alpha _ {i} + {w_ {a} \ felett V} \ jobb) \ rho SV ^ {2 } -W}

Ebből kifolyólag,

mdwdt+(πρSV)w=(παénρSV2-W)+πwnál nélρSV{\ displaystyle m {dw \ over dt} + (\ pi \ rho SV) w = (\ pi \ alfa _ {i} \ rho SV ^ {2} -W) + \ pi w_ {a} \ rho SV}

Ennek a differenciálegyenletnek az általános megoldása a következő:

w(t)=Ke-πρSVmt{\ displaystyle w (t) = Ke ^ {- {\ pi \ rho SV \ over m} t}}

A jellemző időt a következők határozzák meg:

τ=mπρSV{\ displaystyle \ tau = {m \ over \ pi \ rho SV}}

Számszerű példát veszünk figyelembe a nagyságrendek megszerzéséhez.

15 m 2 szárnyterületet , 1,22  kg / m 3 sűrűséget , 300 kg teljes vitorlázótömeget  és 20  m / s légsebességet veszünk figyelembe  . A jellemző idő tehát:

τ=300π×1,22.×15×20=1π×1,22.=0.26.{\ displaystyle \ tau = {300 \ over \ pi \ times 1 {,} 22 \ szor 15 \ szor 20} = {1 \ over \ pi \ times 1 {,} 22} = 0 {.} 26} második.

Tehát kevesebb, mint 1 másodperc múlva a vitorlázó repülőgép nyugodt levegőben éri el egyensúlyát.

Most megoldjuk a differenciálegyenletet. Az általános megoldás a következő:

w(t)=Ke-tτ{\ displaystyle w (t) = Ke ^ {- {t \ over \ tau}}}

Változtatjuk az állandó K (t) értéket és kicseréljük.

dwdt=K˙(t)e-tτ-K(t)1τe-tτ{\ displaystyle {dw \ over dt} = {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} - K (t) {1 \ over \ tau} e ^ {- {t \ felett \ tau}}}

Ezért megoldjuk:

mK˙(t)e-tτ-mK(t)1τe-tτ+πρSVKe-tτ=(παénρSV2-W)+πwnál nélρSV{\ displaystyle m {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} - mK (t) {1 \ over \ tau} e ^ {- {t \ over \ tau}} + \ pi \ rho SVKe ^ {- {t \ over \ tau}} = (\ pi \ alfa _ {i} \ rho SV ^ {2} -W) + \ pi w_ {a} \ rho SV}

Ebből kifolyólag,

mK˙(t)e-tτ-mK(t)1τe-tτ+mK(t)1τe-tτ=(παénρSV2-W)+πwnál nélρSV{\ displaystyle m {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} - mK (t) {1 \ over \ tau} e ^ {- {t \ over \ tau}} + mK (t) {1 \ over \ tau} e ^ {- {t \ over \ tau}} = (\ pi \ alfa _ {i} \ rho SV ^ {2} -W) + \ pi w_ {a } \ rho SV}

Van egy egyszerűsítés, ezért:

mK˙(t)e-tτ=(παénρSV2-W)+πwnál nélρSV{\ displaystyle m {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = (\ pi \ alfa _ {i} \ rho SV ^ {2} -W) + \ pi w_ {a} \ rho SV}

Először az egyszerűsített esetet vesszük figyelembe, ahol w a = 0 .

Emlékeztetünk arra, hogy W = mg . Ezért megszerezzük:

mK˙(t)e-tτ=mαénτV-mg{\ displaystyle m {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = {m \ alpha _ {i} \ over \ tau} V-mg}

Ebből kifolyólag,

K˙(t)e-tτ=αénVτ-g{\ displaystyle {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = {\ alpha _ {i} V \ over \ tau} -g}

Ebből kifolyólag,

K˙(t)=(αénVτ-g)etτ{\ displaystyle {\ dot {K}} (t) = \ balra ({\ alpha _ {i} V \ over \ tau} -g \ jobbra) e ^ {t \ over \ tau}}

A primitív tehát:

K(t)=τ(αénVτ-g)etτ+VSte{\ displaystyle K (t) = \ tau \ bal ({\ alpha _ {i} V \ over \ tau} -g \ right) e ^ {t \ over \ tau} + Cte}

Helyettesítjük és ezért:

w(t)=[τ(αénVτ-g)etτ+VSte]e-tτ{\ displaystyle w (t) = \ left [\ tau \ left ({\ alpha _ {i} V \ over \ tau} -g \ right) e ^ {t \ over \ tau} + Cte \ right] e ^ {- {t \ over \ tau}}}

Ebből kifolyólag,

w(t)=(αénV-gτ)+VSte e-tτ{\ displaystyle w (t) = \ balra (\ alpha _ {i} Vg \ tau \ jobbra) + Cte \ e ^ {- {t \ over \ tau}}}

Azt feltételezzük, hogy a t = 0 , van w = w 0 . Így t = 0- nál kapjuk meg ,

w0=(αénV-gτ)+VSte e0{\ displaystyle w_ {0} = \ balra (\ alpha _ {i} Vg \ tau \ jobbra) + Cte \ e ^ {0}}

Ebből kifolyólag,

VSte=w0-(αénV-gτ){\ displaystyle Cte ​​= w_ {0} - \ bal (\ alpha _ {i} Vg \ tau \ jobb)}

Végül:

w(t)=(αénV-gτ)+[w0-(αénV-gτ)]e-tτ{\ displaystyle w (t) = \ left (\ alpha _ {i} Vg \ tau \ right) + \ left [w_ {0} - \ left (\ alpha _ {i} Vg \ tau \ right) \ right] e ^ {- {t \ over \ tau}}}

Legyen az aszimptotikus sebesség, amelyet az alábbiak határoznak meg: w∞{\ displaystyle w _ {\ infty}}

w∞=αénV-gτ{\ displaystyle w _ {\ infty} = \ alpha _ {i} Vg \ tau}

Ezután megkapjuk:

w(t)=w∞+(w0-w∞)e-tτ{\ displaystyle w (t) = w _ {\ infty} + (w_ {0} -w _ {\ infty}) e ^ {- {t \ over \ tau}}}

A beesési szög a következő:

αén=w∞V+dτV{\ displaystyle \ alpha _ {i} = {w \ infty \ over V} + {d \ tau \ over V}}

Azt feltételezzük, hogy és a V = 20. Ezután kapjuk: w∞=-0.5{\ displaystyle w _ {\ infty} = - 0,5}

αén=-0.520+10.×0,2620{\ displaystyle \ alpha _ {i} = - {0,5 \ 20 felett + {10 \ x 0,26 \ 20 felett}}

Első közelítésünk tehát:

αén≈gτV=0,13{\ displaystyle \ alpha _ {i} \ kb {g \ tau \ felett V} = 0,13}

Tehát a becsült beesési szög (fokban):

αén=0,13×180π=7.5{\ displaystyle \ alpha _ {i} = {0,13 szorzat 180 \ felett \ pi} = 7,5} fok. Nagyon ésszerűen hangzik.  

Általános eset

Kiterjesztjük az előző modellt, ahol a lépcsőfüggvény figyelembevétele helyett azt vesszük figyelembe, hogy t = 0 -nál a vitorlázógép olyan liftbe lép, amelynek ereje „véletlenszerű”.

Most ezt figyelembe vesszük wnál nél=wnál nél(t){\ displaystyle w_ {a} = w_ {a} (t)}

Mi határozza meg az átmenetet függvény h (t) úgy, hogy h (t) = 0 T <0 és a t ≥ 0. Azt majd: h(t)=e-tτ{\ displaystyle h (t) = e ^ {- {t \ over \ tau}}}

w(t)=1τ(wnál nél∗h)(t){\ displaystyle w (t) = {1 \ felett \ tau} (w_ {a} * h) (t)}

ahol * a konvolúciós szorzat .

Az oldat konvolúciós termék formájában történő kifejezése hagyományos. Konzultálhatunk a Vrabie munkájával.

Azonban a legördülő mezőben kifejezett demonstráció található.

A konvolúciós terméket tartalmazó képlet bemutatása

Emlékezz arra:

mK˙(t)e-tτ=(παénρSV2-W)+πwnál nél(t)ρSV{\ displaystyle m {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = (\ pi \ alfa _ {i} \ rho SV ^ {2} -W) + \ pi w_ {a} (t) \ rho SV}

Az V sebesség megfelel annak a vitorlázógépnek, amelynek függőleges áramok hiányában nincs külső ereje. Ebből kifolyólag,

παénρSV2-W=0{\ displaystyle \ pi \ alpha _ {i} \ rho SV ^ {2} -W = 0}

Ebből kifolyólag,

K˙(t)=1metτπwnál nél(t)ρSV{\ displaystyle {\ dot {K}} (t) = {1 \ over m} e ^ {t \ over \ tau} \ pi w_ {a} (t) \ rho SV}

Cseréljük és ezért:

K˙(t)=1τwnál nél(t)etτ{\ displaystyle {\ dot {K}} (t) = {1 \ over \ tau} w_ {a} (t) e ^ {t \ over \ tau}}

Kiszámoljuk a primitívet, és ezért:

K(t)=1τ∫0twnál nél(t′)et′τdt′+VSte{\ displaystyle K (t) = {1 \ over \ tau} \ int _ {0} ^ {t} w_ {a} (t ') e ^ {t' \ over \ tau} dt '+ Cte}

Emlékeztetünk, hogy így, w(t)=K(t)e-tτ{\ displaystyle w (t) = K (t) e ^ {- {t \ over \ tau}}}

w(t)=1τ∫0twnál nél(t′)et′τdt′e-tτ+VSte e-tτ{\ displaystyle w (t) = {1 \ over \ tau} \ int _ {0} ^ {t} w_ {a} (t ') e ^ {t' \ over \ tau} dt'e ^ {- { t \ over \ tau}} + Cte \ e ^ {- {t \ over \ tau}}}

És aztán,

w(t)=VSte e-tτ+1τ∫0twnál nél(t′)e-t-t′τdt′{\ displaystyle w (t) = Cte \ e ^ {- {t \ over \ tau}} + {1 \ over \ tau} \ int _ {0} ^ {t} w_ {a} (t ') e ^ {- {tt '\ over \ tau}} dt'}

Ez egy konvolúciós termék .

Ha t = 0, akkor w (t = 0) = 0 . Ebből kifolyólag,

0=VStee-0τ+1τ∫00wnál nél(t′)e-t-t′τdt′{\ displaystyle 0 = Ctee ^ {- {0 \ over \ tau}} + {1 \ over \ tau} \ int _ {0} ^ {0} w_ {a} (t ') e ^ {- {tt' \ over \ tau}} dt '}

Ebből kifolyólag,

VSte=0{\ displaystyle Cte ​​= 0}

Feltételezhetjük, hogy t <0 esetén w a = 0 , ezért

w(t)=1τ∫-∞0wnál nél(t′)e-t-t′τdt′{\ displaystyle w (t) = {1 \ over \ tau} \ int _ {- \ infty} ^ {0} w_ {a} (t ') e ^ {- {tt' \ over \ tau}} dt ' }

Hasonlóképpen, mi határozza meg a függvény h (t) = 0 T <0 és a t ≥ 0 . Ebből kifolyólag, h(t)=e-tτ{\ displaystyle h (t) = e ^ {- {t \ over \ tau}}}

w(t)=1τ(wnál nél∗h)(t){\ displaystyle w (t) = {1 \ felett \ tau} (w_ {a} * h) (t)}  

Lineáris átmenet

Kiterjesztjük az előző modellt, ahol a lépcsőfüggvény figyelembevétele helyett azt gondoljuk, hogy t = 0 -nál a vitorlázógép olyan emelőbe lép, amelynek ereje az idővel lineárisan növekszik.

Most ezt figyelembe vesszük wnál nél=γt{\ displaystyle w_ {a} = \ gamma t}

A vitorlázó repülőgép függőleges sebessége a következő:

w(t)=(w∞+γ(t-τ))+γτe-tτ{\ displaystyle w (t) = \ left (w _ {\ infty} + \ gamma (t- \ tau) \ right) + \ gamma \ tau e ^ {- {t \ over \ tau}}}

A függőleges gyorsulás a következő:

w˙(t)=γ(1-e-tτ){\ displaystyle {\ dot {w}} (t) = \ gamma \ bal (1-e ^ {- {t \ over \ tau}} \ jobb)}

A függőleges bunkó a következő:

w¨(t)=γτe-tτ{\ displaystyle {\ ddot {w}} (t) = {\ gamma \ over \ tau} e ^ {- {t \ over \ tau}}}

Feltételezzük, hogy a sikló 20 m / s sebességgel repül, és hogy a felvonó sugara 70 m. Aztán ezt látjuk . Ezután megkapjuk az egyszerűsített képletet: t≫τ{\ displaystyle t \ gg \ tau}

w(t)≈w∞+γt+γτe-∞=w∞+γt{\ displaystyle w (t) \ kb w _ {\ infty} + \ gamma t + \ gamma \ tau e ^ {- \ infty} = w _ {\ infty} + \ gamma t}

Ez a forma azt bizonyítja, hogy amikor egy vitorlázó repülőgép belép a felvonóba, annak függőleges sebessége jó pontossággal megegyezik a felvonó sebességével és az esési sebességével.

Tegyük fel, hogy a sikló V sebességgel repül, és az átmeneti zóna szélessége d . Ezután:

γ=wnál nélVd{\ displaystyle \ gamma = {w_ {a} V \ d felett}}

Feltételezzük, hogy d = 10 méter és w a = 5 m / s. Ezután:

γ=5.×2010.=10.{\ displaystyle \ gamma = {5-szer 20-szor 10-nél nagyobb = 10} = 10} m / s 2

A terhelési tényező továbbra is 2 G. Ez megerősíti, hogy a túl erős függőleges áramok tönkretehetik a repülőgépet.

A függőleges sebesség kiszámítása

Emlékezz arra:

mK˙(t)e-tτ=(παénρSV2-W)+πwnál nélρSV{\ displaystyle m {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = (\ pi \ alfa _ {i} \ rho SV ^ {2} -W) + \ pi w_ {a} \ rho SV}

Ebből kifolyólag,

mK˙(t)e-tτ=(παénρSV2-W)+πγρSt{\ displaystyle m {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = (\ pi \ alfa _ {i} \ rho SV ^ {2} -W) + \ pi \ gamma \ rho St}

Emlékeztetünk arra, hogy W = mg . Ezért megszerezzük:

mK˙(t)e-tτ=mαénτV-mg+γπρSt{\ displaystyle m {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = {m \ alpha _ {i} \ over \ tau} V-mg + \ gamma \ pi \ rho St}

Ebből kifolyólag,

mK˙(t)e-tτ=mαénτV-mg+mγtτ{\ displaystyle m {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = {m \ alpha _ {i} \ over \ tau} V-mg + m \ gamma {t \ több mint \ tau}}

Ebből kifolyólag,

K˙(t)e-tτ=αénτV-g+γtτ{\ displaystyle {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = {\ alpha _ {i} \ over \ tau} V-g + \ gamma {t \ over \ tau}}

Ebből kifolyólag,

K˙(t)=(αénτV-g+γtτ)etτ{\ displaystyle {\ dot {K}} (t) = \ balra ({\ alpha _ {i} \ over \ tau} V-g + \ gamma {t \ over \ tau} \ right) e ^ {t \ over \ tau}}

Ebből kifolyólag,

K˙(t)=(αénVτ-g+γtτ)etτ{\ displaystyle {\ dot {K}} (t) = \ balra ({\ alpha _ {i} V \ over \ tau} -g + \ gamma {t \ over \ tau} \ right) e ^ {t \ több mint \ tau}}

Kiszámoljuk a következő primitívet:

L(t)=∫γtτetτdτ{\ displaystyle L (t) = \ int \ gamma {t \ over \ tau} e ^ {t \ over \ tau} d \ tau}

Részek szerint integráljuk:

L(t)=γtττetτ-γ∫1ττetτdτ{\ displaystyle L (t) = \ gamma {t \ over \ tau} \ tau e ^ {t \ over \ tau} - \ gamma \ int {1 \ over \ tau} \ tau e ^ {t \ over \ tau } d \ tau}

Ebből kifolyólag,

L(t)=γ(t-τ)etτ{\ displaystyle L (t) = \ gamma (t- \ tau) e ^ {t \ over \ tau}}

Helyettesítjük és ezért:

w(t)=[τ(αénVτ-g)+γ(t-τ)+VSte]e-tτ{\ displaystyle w (t) = \ left [\ tau \ left ({\ alpha _ {i} V \ over \ tau} -g \ right) + \ gamma (t- \ tau) + Cte \ right] e ^ {- {t \ over \ tau}}}

Ebből kifolyólag,

w(t)=[αénV-gτ+γ(t-τ)]+VSte e-tτ{\ displaystyle w (t) = \ left [\ alfa _ {i} Vg \ tau + \ gamma (t- \ tau) \ right] + Cte \ e ^ {- {t \ over \ tau}}}

Azt feltételezzük, hogy a t = 0 , van w = w 0 . Így t = 0- nál kapjuk meg ,

w0=(αénV-gτ-γτ)+VSte e0{\ displaystyle w_ {0} = \ balra (\ alpha _ {i} Vg \ tau - \ gamma \ tau \ jobbra) + Cte \ e ^ {0}}

Ebből kifolyólag,

VSte=w0-(αénV-gτ-γτ){\ displaystyle Cte ​​= w_ {0} - \ bal (\ alpha _ {i} Vg \ tau - \ gamma \ tau \ jobb)}

Végül:

w(t)=(αénV-(g+γ)τ+γτ)+[w0-(παénV-(g+γ)τ)]e-tτ{\ displaystyle w (t) = \ left (\ alpha _ {i} V- (g + \ gamma) \ tau + \ gamma \ tau \ right) + \ left [w_ {0} - \ left (\ pi \ alfa _ {i} V- (g + \ gamma) \ tau \ right) \ right] e ^ {- {t \ over \ tau}}}

Most tegyük fel, hogy (amikor a felvonóba lép, a vitorlázógép stabilizálódik). w0=w∞{\ displaystyle w_ {0} = w _ {\ infty}}

Emlékezz arra:

w∞=αénV-gτ{\ displaystyle w _ {\ infty} = \ alpha _ {i} Vg \ tau}

Ebből kifolyólag,

w(t)=(αénV-(g+γ)τ+γt)+[αénV-gτ-(αénV-(g+γ)τ)]e-tτ{\ displaystyle w (t) = \ left (\ alpha _ {i} V- (g + \ gamma) \ tau + \ gamma t \ right) + \ left [\ alpha _ {i} Vg \ tau - \ left (\ alpha _ {i} V- (g + \ gamma) \ tau \ right) \ right] e ^ {- {t \ over \ tau}}}

Ezért van egyszerűsítés:

w(t)=(αénV-(g+γ)τ+γt)+[-(-γ)τ)]e-tτ{\ displaystyle w (t) = \ left (\ alpha _ {i} V- (g + \ gamma) \ tau + \ gamma t \ right) + \ left [- \ left (- \ gamma) \ tau \ right ) \ right] e ^ {- {t \ over \ tau}}}

Ezután megkapjuk:

w(t)=(αénV-gτ+γ(t-τ))+γτe-tτ{\ displaystyle w (t) = \ left (\ alpha _ {i} Vg \ tau + \ gamma (t- \ tau) \ right) + \ gamma \ tau e ^ {- {t \ over \ tau}}}

Ebből kifolyólag,

w(t)=(w∞+γ(t-τ))+γτe-tτ{\ displaystyle w (t) = \ left (w _ {\ infty} + \ gamma (t- \ tau) \ right) + \ gamma \ tau e ^ {- {t \ over \ tau}}}  

Kozinusz alakú átmenet

Amikor egy ernyő legyek a termikus felhajtóerő (vagy egy rotor , akkor feltételezhetjük, a függőleges sebesség szinuszos alakú. A sugara termikus nagyságrendű 70 méter, miközben a rotor egy több szerkezetet. Összetettebbé tárgyaljuk az alábbiakban .

Kiterjesztjük az előző modellt, ahol a lépcsőfüggvény figyelembevétele helyett azt gondoljuk, hogy t = 0 esetén a vitorlázógép belép egy emelőbe, amelynek ereje a következőképpen növekszik:

wnál nél(x)=12wg[1-kötözősaláta⁡(πxd)]{\ displaystyle w_ {a} (x) = {1 \ több mint 2} w_ {g} \ bal [1- \ cos \ bal ({\ pi x \ felett d} \ jobb) \ jobb]}

Meghatározzuk

κ=πVd{\ displaystyle \ kappa = {\ pi V \ d felett}

A függőleges sebesség a következő:

w(t)=w∞+wg2-wg2(1+κ2τ2)(kötözősaláta⁡(κt)+κτbűn⁡(κt))+wg2(11+κ2τ2-1)e-tτ{\ displaystyle w (t) = w _ {\ infty} + {w_ {g} \ over 2} - {w_ {g} \ over 2 (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ left (\ cos (\ kappa t) + \ kappa \ tau \ sin (\ kappa t) \ right) + {w_ {g} \ over 2} \ left ({1 \ over 1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2}} - 1 \ jobbra) e ^ {- {t \ over \ tau}}}

A függőleges gyorsulás a következő:

w˙(t)=-wg2(1+κ2τ2)(-κbűn⁡(κt)+κτκkötözősaláta⁡(κt))-1τwg2(11+κ2τ2-1)e-tτ{\ displaystyle {\ dot {w}} (t) = - {w_ {g} \ 2 felett (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ bal (- \ kappa \ sin (\ kappa t) + \ kappa \ tau \ kappa \ cos (\ kappa t) \ right) - {1 \ over \ tau} {w_ {g} \ over 2} \ bal ({1 \ over 1+ \ kappa ^ { 2} \ tau ^ {2}} - 1 \ jobbra) e ^ {- {t \ over \ tau}}}

Ebből kifolyólag,

w˙(t)=-wgκ2(1+κ2τ2)(-bűn⁡(κt)+κτkötözősaláta⁡(κt))-1τwg2(11+κ2τ2-1)e-tτ{\ displaystyle {\ dot {w}} (t) = - {w_ {g} \ kappa \ 2 felett (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ bal (- \ sin (\ kappa t) + \ kappa \ tau \ cos (\ kappa t) \ right) - {1 \ over \ tau} {w_ {g} \ over 2} \ left ({1 \ over 1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2}} - 1 \ jobbra) e ^ {- {t \ over \ tau}}}Repülés a termikus liftben

Feltételezzük, hogy a sikló 20 m / s sebességgel repül, és hogy a felvonó sugara 70 m. Aztán ezt látjuk . Ezután megkapjuk az egyszerűsített képletet: t≫τ{\ displaystyle t \ gg \ tau}

w(t)≈w∞+wg2-wg2(1+κ2τ2)(kötözősaláta⁡(κt)+κτbűn⁡(κt)){\ displaystyle w (t) \ kb w _ {\ infty} + {w_ {g} \ over 2} - {w_ {g} \ over 2 (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2}) } \ bal (\ cos (\ kappa t) + \ kappa \ tau \ sin (\ kappa t) \ jobb)}

Ugyanígy van . Ezért van egy további egyszerűsítésünk: κτ≪1{\ displaystyle \ kappa \ tau \ ll 1}

w(t)≈w∞+wg2(1-kötözősaláta⁡(κt)){\ displaystyle w (t) \ kb w _ {\ infty} + {w_ {g} \ 2 felett (1- \ cos (\ kappa t))}

A vitorlázó sebessége tehát megközelítőleg követi a felvonó profilját.

A gyorsulás ekkor válik:

w˙(t)≈wgκ2bűn⁡(κt){\ displaystyle {\ dot {w}} (t) \ kb {w_ {g} \ kappa \ over 2} \ sin (\ kappa t)}

A gyorsulás tehát akkor lesz maximális, amikor és érdemes lesz κt=π/2{\ displaystyle \ kappa t = \ pi / 2}

nál nélM=wgκ2{\ displaystyle a_ {M} = {w_ {g} \ kappa \ over 2}}

Nekünk van :

κ=πVd=π×2070=0.9{\ displaystyle \ kappa = {\ pi V \ d felett} = {\ pi \ 20-szor 20 \ 70 felett = 0,9}

A gyorsulás a következő lesz:

nál nélM=5.×0.92=2.25{\ displaystyle a_ {M} = {5 \ szorosa 0,9 \ felett 2} = 2,25}

A terhelési tényező lényegesen kisebb lesz. Ha azonban az V sebesség nagy (szállító repülőgép) és w g is nagy, akkor is fennáll a repülőgép törésének veszélye.

Képletek bemutatása

Emlékezz arra:

mK˙(t)e-tτ=(παénρSV2-W)+πwnál nélρSV{\ displaystyle m {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = (\ pi \ alfa _ {i} \ rho SV ^ {2} -W) + \ pi w_ {a} \ rho SV}

Ebből kifolyólag,

mK˙(t)e-tτ=(παénρSV2-W)+π12wg[1-kötözősaláta⁡(πxd)]ρSV{\ displaystyle m {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = (\ pi \ alfa _ {i} \ rho SV ^ {2} -W) + \ pi { 1 \ felett 2} w_ {g} \ balra [1- \ cos \ balra ({\ pi x \ át d} \ jobbra) \ jobbra] \ rho SV}

Emlékeztetünk arra, hogy W = mg . Ezért megszerezzük:

mK˙(t)e-tτ=(παénρSV2-mg)+π12wg[1-kötözősaláta⁡(πxd)]ρSV{\ displaystyle m {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = (\ pi \ alfa _ {i} \ rho SV ^ {2} -mg) + \ pi { 1 \ felett 2} w_ {g} \ balra [1- \ cos \ balra ({\ pi x \ át d} \ jobbra) \ jobbra] \ rho SV}

Ebből kifolyólag,

mK˙(t)e-tτ=mαénτV-mg+wg2[1-kötözősaláta⁡(πxd)]mτ{\ displaystyle m {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = {m \ alpha _ {i} \ over \ tau} V-mg + {w_ {g} \ több mint 2} \ bal [1- \ cos \ bal ({\ pi x \ over d} \ jobb) \ jobb] {m \ over \ tau}}

Ebből kifolyólag,

K˙(t)e-tτ=αénτV-g+wg2[1-kötözősaláta⁡(πxd)]1τ{\ displaystyle {\ dot {K}} (t) e ^ {- {t \ over \ tau}} = {\ alpha _ {i} \ over \ tau} V-g + {w_ {g} \ over 2} \ balra [1- \ cos \ balra ({\ pi x \ over d} \ jobbra) \ jobbra {1 \ over \ tau}}

Ebből kifolyólag,

K˙(t)={αénτV-g+wg2τ[1-kötözősaláta⁡(πxd)]}etτ{\ displaystyle {\ dot {K}} (t) = \ bal \ {{\ alpha _ {i} \ over \ tau} V-g + {w_ {g} \ over 2 \ tau} \ bal [1- \ cos \ balra ({\ pi x \ over d} \ right) \ right] \ right \} e ^ {t \ over \ tau}}

Ebből kifolyólag,

K˙(t)=[αénτV-g+wg2τ-wg2τkötözősaláta⁡(πxd)]etτ{\ displaystyle {\ dot {K}} (t) = \ balra [{\ alpha _ {i} \ over \ tau} V-g + {w_ {g} \ over 2 \ tau} - {w_ {g} \ over 2 \ tau} \ cos \ balra ({\ pi x \ over d} \ right) \ right] e ^ {t \ over \ tau}}

Kiszámoljuk a következő primitívet:

L(t)=∫kötözősaláta⁡(πxd)etτdτ{\ displaystyle L (t) = \ int \ cos \ bal ({\ pi x \ over d} \ jobb) e ^ {t \ over \ tau} d \ tau}

Felidézzük, hogy x = V t .

Ebből kifolyólag,

L(t)=∫kötözősaláta⁡(πVtd)etτdτ{\ displaystyle L (t) = \ int \ cos \ left ({\ pi Vt \ over d} \ right) e ^ {t \ over \ tau} d \ tau}

Részek szerint integráljuk:

L(t)=kötözősaláta⁡(πVtd)etττ-πVd∫(-)bűn⁡(πVtd)etττdτ{\ displaystyle L (t) = \ cos \ left ({\ pi Vt \ over d} \ right) e ^ {t \ over \ tau} \ tau - {\ pi V \ over d} \ int (-) \ sin \ left ({\ pi Vt \ over d} \ right) e ^ {t \ over \ tau} \ tau d \ tau}

Újra kezdjük, ezért:

L(t)=kötözősaláta⁡(πVtd)etττ+πVdbűn⁡(πVtd)etτττ-∫(πVd)2kötözősaláta⁡(πVtd)etτττdτ{\ displaystyle L (t) = \ cos \ left ({\ pi Vt \ over d} \ right) e ^ {t \ over \ tau} \ tau + {\ pi V \ over d} \ sin \ left ({ \ pi Vt \ over d} \ right) e ^ {t \ over \ tau} \ tau \ tau - \ int \ left ({\ pi V \ over d} \ right) ^ {2} \ cos \ left ({ \ pi Vt \ over d} \ right) e ^ {t \ over \ tau} \ tau \ tau d \ tau}

Meghatározzuk κ=πVd{\ displaystyle \ kappa = {\ pi V \ d felett}

Ezután megkapjuk:

L(t)=kötözősaláta⁡(κt)etττ+κbűn⁡(κt)etττ2-κ2τ2L(t){\ displaystyle L (t) = \ cos (\ kappa t) e ^ {t \ over \ tau} \ tau + \ kappa \ sin (\ kappa t) e ^ {t \ over \ tau} \ tau ^ {2 } - \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2} L (t)}

Ebből kifolyólag,

L(t)(1+κ2τ2)=τkötözősaláta⁡(κt)etτ+κτ2bűn⁡(κt)etτ{\ displaystyle L (t) (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2}) = \ tau \ cos (\ kappa t) e ^ {t \ over \ tau} + \ kappa \ tau ^ {2 } \ sin (\ kappa t) e ^ {t \ over \ tau}}

Ebből kifolyólag :

K(t)=(αénτV-g+wg2τ)τetτ-wg2τL(t)+VSte{\ displaystyle K (t) = \ balra ({\ alpha _ {i} \ over \ tau} V-g + {w_ {g} \ over 2 \ tau} \ right) \ tau e ^ {t \ over \ tau} - {w_ {g} \ 2 felett \ tau} L (t) + Cte}

Ebből kifolyólag,

K(t)=(αénV-gτ+wg2)etτ-wg2τ(1+κ2τ2)(τkötözősaláta⁡(κt)etτ+κτ2bűn⁡(κt)etτ)+VSte{\ displaystyle K (t) = \ left (\ alpha _ {i} Vg \ tau + {w_ {g} \ over 2} \ right) e ^ {t \ over \ tau} - {w_ {g} \ over 2 \ tau (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} balra (\ tau \ cos (\ kappa t) e ^ {t \ over \ tau} + \ kappa \ tau ^ {2} \ sin (\ kappa t) e ^ {t \ over \ tau} \ right) + Cte}

Ebből kifolyólag,

K(t)=[αénV-gτ+wg2-wg2τ(1+κ2τ2)(τkötözősaláta⁡(κt)+κτ2bűn⁡(κt))]etτ+VSte{\ displaystyle K (t) = \ left [\ alpha _ {i} Vg \ tau + {w_ {g} \ over 2} - {w_ {g} \ over 2 \ tau (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ balra (\ tau \ cos (\ kappa t) + \ kappa \ tau ^ {2} \ sin (\ kappa t) \ right) \ right] e ^ {t \ tau } + Cte}

Van egy egyszerűsítés:

K(t)=[αénV-gτ+wg2-wg2(1+κ2τ2)(kötözősaláta⁡(κt)+κτbűn⁡(κt))]etτ+VSte{\ displaystyle K (t) = \ left [\ alpha _ {i} Vg \ tau + {w_ {g} \ over 2} - {w_ {g} \ over 2 (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ balra (\ cos (\ kappa t) + \ kappa \ tau \ sin (\ kappa t) \ right) \ right] e ^ {t \ over \ tau} + Cte}

Emlékezz arra:

w∞=αénV-gτ{\ displaystyle w _ {\ infty} = \ alpha _ {i} Vg \ tau}

Ebből kifolyólag,

K(t)=[w∞+wg2-wg2(1+κ2τ2)(kötözősaláta⁡(κt)+κτbűn⁡(κt))]etτ+VSte{\ displaystyle K (t) = \ left [w _ {\ infty} + {w_ {g} \ over 2} - {w_ {g} \ over 2 (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2 })} \ balra (\ cos (\ kappa t) + \ kappa \ tau \ sin (\ kappa t) \ right) \ right] e ^ {t \ over \ tau} + Cte}

Emlékezz arra: w(t)=K(t)e-tτ{\ displaystyle w (t) = K (t) e ^ {- {t \ over \ tau}}}

Ebből kifolyólag,

w(t)=[w∞+wg2-wg2(1+κ2τ2)(kötözősaláta⁡(κt)+κτbűn⁡(κt))]etτe-tτ+VSte e-tτ{\ displaystyle w (t) = \ left [w _ {\ infty} + {w_ {g} \ over 2} - {w_ {g} \ over 2 (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2 })} \ balra (\ cos (\ kappa t) + \ kappa \ tau \ sin (\ kappa t) \ right) \ right] e ^ {t \ over \ tau} e ^ {- {t \ over \ tau }} + Cte \ e ^ {- {t \ over \ tau}}}

Ebből kifolyólag,

w(t)=w∞+wg2-wg2(1+κ2τ2)(kötözősaláta⁡(κt)+κτbűn⁡(κt))+VSte e-tτ{\ displaystyle w (t) = w _ {\ infty} + {w_ {g} \ over 2} - {w_ {g} \ over 2 (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ left (\ cos (\ kappa t) + \ kappa \ tau \ sin (\ kappa t) \ right) + Cte \ e ^ {- {t \ over \ tau}}}

Most meghatároztuk a határfeltételeket. A t = 0 értéknél megvan . Ebből kifolyólag, w(t=0)=w∞{\ displaystyle w (t = 0) = w _ {\ infty}}

w∞=w∞+wg2-wg2(1+κ2τ2)(kötözősaláta⁡(κ0)+κτbűn⁡(κ0))+VSte e-0τ{\ displaystyle w _ {\ infty} = w _ {\ infty} + {w_ {g} \ 2 felett - {w_ {g} \ 2 felett (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2} )} \ left (\ cos (\ kappa 0) + \ kappa \ tau \ sin (\ kappa 0) \ right) + Cte \ e ^ {- {0 \ over \ tau}}}

Ebből kifolyólag,

0=wg2-wg2(1+κ2τ2)(kötözősaláta⁡(κ0)+κτbűn⁡(κ0))+VSte{\ displaystyle 0 = {w_ {g} \ over 2} - {w_ {g} \ over 2 (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ left (\ cos (\ kappa 0) + \ kappa \ tau \ sin (\ kappa 0) \ right) + Cte}

Ebből kifolyólag,

VSte=wg2(11+κ2τ2-1){\ displaystyle Cte ​​= {w_ {g} \ over 2} \ left ({1 \ over 1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2}} - 1 \ right)}

Ebből kifolyólag,

w(t)=w∞+wg2-wg2(1+κ2τ2)(kötözősaláta⁡(κt)+κτbűn⁡(κt))+wg2(11+κ2τ2-1)e-tτ{\ displaystyle w (t) = w _ {\ infty} + {w_ {g} \ over 2} - {w_ {g} \ over 2 (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ left (\ cos (\ kappa t) + \ kappa \ tau \ sin (\ kappa t) \ right) + {w_ {g} \ over 2} \ left ({1 \ over 1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2}} - 1 \ jobbra) e ^ {- {t \ over \ tau}}}  

Repülések pezsgőfürdőn keresztül

A Tourbillon modell merev szilárd anyagként viselkedik

A rotort ultralegyszerűsítve modellezhetjük egyszerű Ox tengelyű örvényként, amelynek merev dobja van.

Feltételezzük, hogy a forgási szögsebesség:

Ω→=Ωén→{\ displaystyle {\ vec {\ Omega}} = \ Omega {\ vec {i}}}

Az örvény a következő lesz:

η→=2Ω→{\ displaystyle {\ vec {\ eta}} = 2 {\ vec {\ Omega}}}

Az Oy tengely mentén a w függőleges sebesség megéri:

w=Ωy{\ displaystyle w = \ Omega y}

Most egy repülőgépet tekintünk V sebességgel Oy mentén .

Van y (t) = V t , tehát:

w(t)=12y(t)η=Vη2t{\ displaystyle w (t) = {1 \ felett 2} y (t) \ eta = {V \ eta \ felett 2} t}

Ez az eset tehát a fentiekben kezelt vertikális sebesség lineáris növekedésének esetére korlátozódik .

Az örvényesség kiszámítása

Ha egy örvényt úgy tekintünk, mint egy Ω szögsebességű szilárd anyag, akkor a lineáris sebesség és a hengeres koordináták a következők:u→=Ω→∧r→{\ displaystyle {\ vec {u}} = {\ vec {\ Omega}} \ ék {\ vec {r}}}

Leegyszerűsítésképpen úgy tekintjük, hogy az Ω tengely Ox (vízszintes rotor). Ezután:

u→=Ωén→∧(xén→+yj→+zk→{\ displaystyle {\ vec {u}} = \ Omega {\ vec {i}} \ ék (x {\ vec {i}} + y {\ vec {j}} + z {\ vec {k}}}

Ebből kifolyólag,

u→=Ω(yk→-zj→){\ displaystyle {\ vec {u}} = \ Omega (y {\ vec {k}} - z {\ vec {j}})}

Most kiszámoljuk az örvényt . Nekünk van : η{\ displaystyle \ eta}

η→=∇→∧u→=(∂∂xén→+∂∂jj→+∂∂zk→)∧Ω(yk→-zj→){\ displaystyle {\ vec {\ eta}} = {\ vec {\ nabla}} \ ék {\ vec {u}} = \ balra ({\ részben \ felett \ részleges x} {\ vec {i}} + {\ részleges \ felett \ részleges j} {\ vec {j}} + {\ részleges \ át \ részleges z} {\ vec {k}} \ jobbra) \ ék \ Omega (y {\ vec {k}} - z {\ vec {j}})}

Van egy kis egyszerűsítés:

η→=Ω(∂∂yj→+∂∂zk→)∧(yk→-zj→){\ displaystyle {\ vec {\ eta}} = \ Omega \ left ({\ részleges \ felett \ részleges y} {\ vec {j}} + {\ részleges \ át \ részleges z} {\ vec {k}} \ right) \ wedge (y {\ vec {k}} - z {\ vec {j}})}

Ebből kifolyólag,

η→=Ω(∂∂yj→∧(yk→-zj→)+∂∂zk→∧(yk→-zj→)){\ displaystyle {\ vec {\ eta}} = \ Omega \ left ({\ részleges \ felett \ részleges y} {\ vec {j}} \ ék (y {\ vec {k}} - z {\ vec { j}}) + {\ részleges \ át \ részleges z} {\ vec {k}} \ ék (y {\ vec {k}} - z {\ vec {j}}) \ jobb)}

Ebből kifolyólag,

η→=Ω(∂y∂yj→∧k→-zj→)-∂z∂zk→∧j→)=2Ωén→{\ displaystyle {\ vec {\ eta}} = \ Omega \ left ({\ részben y \ felett \ részleges y} {\ vec {j}} \ ék {\ vec {k}} - z {\ vec {j }}) - {\ részleges z \ át \ részleges z} {\ vec {k}} \ ék {\ vec {j}} \ jobbra) = 2 \ Omega {\ vec {i}}}

Végül:

η→=2Ω→{\ displaystyle {\ vec {\ eta}} = 2 {\ vec {\ Omega}}}

Az Oy tengely mentén a w függőleges sebesség megéri:

w=Ωy{\ displaystyle w = \ Omega y}   Repülés rotorral

A rotor szinte mindig hegyi hullámrendszerhez van kapcsolva, és megfelel a turbulens alrétegnek. A rotor különböző méretű szavazatokból áll. Ha k az örvény hullámszáma, akkor az ilyen örvények frekvenciája ( Fourier-transzformációja ) arányos a -vel , ezért főként a nagy sugarú örvények lesznek dominánsak. Az örvényeknek azonban minden méretük lehet, és a d = 10 méteres örvényt vesszük figyelembe . k-5.3{\ displaystyle k ^ {- {5 \ felett 3}}}k≥3×10.-3{\ displaystyle k \ geq 3 \ szor 10 ^ {- 3}}

Ezután megkapjuk:

κ=πVd=π×2010.=6.28{\ displaystyle \ kappa = {\ pi V \ over d} = {\ pi \ szor 20 \ 10 felett = 6,28}

A maximális gyorsulás a következő lesz:

nál nélM≈wgκ2(1+κ2τ2)(1+κτ){\ displaystyle a_ {M} \ kb {w_ {g} \ kappa \ over 2 (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} (1+ \ kappa \ tau)} A függőleges gyorsulás kiszámítása kis részrotorokban

Itt van: Felidézzük ezt . κτ=6.28×0,25≈1.5{\ displaystyle \ kappa \ tau = 6,28 szorzat 0,25 \ kb 1,5}κt≪1{\ displaystyle \ kappa t \ ll 1}

Emellett nem feltételezhetjük, hogy a κτ kicsi. A fenti képletet vesszük, és a gyorsulás:

w˙(t)=-wgκ2(1+κ2τ2)(-bűn⁡(κt)+κτkötözősaláta⁡(κt)){\ displaystyle {\ dot {w}} (t) = - {w_ {g} \ kappa \ 2 felett (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ bal (- \ sin (\ kappa t) + \ kappa \ tau \ cos (\ kappa t) \ right)}

Ebből kifolyólag,

w˙(t)=wgκ2(1+κ2τ2)(bűn⁡(κt)-κτkötözősaláta⁡(κt)){\ displaystyle {\ dot {w}} (t) = {w_ {g} \ kappa \ 2 felett (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ bal (\ sin (\ kappa t ) - \ kappa \ tau \ cos (\ kappa t) \ jobbra}}

A gyorsulás maximális, ha a rángás nulla. Mi írunk :

0=w¨(t)=-wgκ2(1+κ2τ2)(-κkötözősaláta⁡(κt)+κτ(-)κbűn⁡(κt)){\ displaystyle 0 = {\ ddot {w}} (t) = - {w_ {g} \ kappa \ 2 felett (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ bal (- \ kappa \ cos (\ kappa t) + \ kappa \ tau (-) \ kappa \ sin (\ kappa t) \ right)}

Ezért megoldjuk:

0=kötözősaláta⁡(κt)+κτbűn⁡(κt){\ displaystyle 0 = \ cos (\ kappa t) + \ kappa \ tau \ sin (\ kappa t)}

Ebből kifolyólag,

Cser⁡(κt)=-1κτ{\ displaystyle \ tan (\ kappa t) = - {1 \ over \ kappa \ tau}}

Tehát van:

nál nélM=wgκ2(1+κ2τ2)bűn⁡(κt)(1-(-)κτ){\ displaystyle a_ {M} = {w_ {g} \ kappa \ over 2 (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} \ sin (\ kappa t) \ left (1 - (-)) \ kappa \ tau \ jobbra}}

Feltételezhetjük, és ezért: bűn⁡(κt)≈1{\ displaystyle \ sin (\ kappa t) \ kb 1}

nál nélM=wgκ2(1+κ2τ2)(1+κτ){\ displaystyle a_ {M} = {w_ {g} \ kappa \ over 2 (1+ \ kappa ^ {2} \ tau ^ {2})} (1+ \ kappa \ tau)}  

Ezután számszerűen megkapjuk:

nál nélM=wg×6.282×(1+1.52)×(1+1.5)=wg×2.41{\ displaystyle a_ {M} = w_ {g} \ szor {6,28 \ több mint 2 \ szer (1 + 1,5 ^ {2})} \ szor (1 + 1,5) = w_ {g} \ szor 2,41}

Így egy 5 m / s széllökés körülbelül 1,5 G gyorsulást és így 2,5 G terhelési tényezőt eredményez. Ilyen széllökések előfordulhatnak.

A 10 m / s-os függőleges széllökések meglehetősen gyakoriak, és a terhelési tényező 3,5 G lesz. A múltban a rotorok 16 G-os terhelési tényezővel eltörtek a vitorlázórepülőkön. A fenti képletet használva a széllökések függőlegesen m nagyságrendűek lettek volna. / s. A pilóta rotorfelhőben repült. 150/2.41≈60{\ displaystyle 150 / 2,41 \ kb. 60}

A vízszintes törések hatása

Extrém körülmények között Joachim Kuettner és Larry Elgar hihetetlen légsebességi ugrásokkal találkozott; Larry Elgar eltörte vitorlázó repülőgépét, és 16 és 20 G közötti gyorsuláson ment volna keresztül. Ezért úgy tűnik, hogy a vízszintes légsebesség 20 m / s-ról 40 m / s-ra történő megduplázódása egy széllökés következtében veszélyeztetheti a vitorlázógép felbomlását.

Legyen V 0 a légsebesség a széllökés előtt, v pedig a széllökés sebessége. A vitorlázógép által tapasztalt terhelési tényező a következő:

nál nél=g(1+v2+2vV0V02){\ displaystyle a = g \ left (1+ {v ^ {2} + 2vV_ {0} \ felett V_ {0} ^ {2}} \ jobbra)}

A vitorlázó repülőgép függőleges gyorsulása (a pilóta javítása nélkül):

d2hdt2=g[(V0+v)2-V02]V02kötözősaláta⁡(ωt){\ displaystyle {d ^ {2} h \ over dt ^ {2}} = {g [(V_ {0} + v) ^ {2} -V_ {0} ^ {2}] \ felett V_ {0} ^ {2}} \ cos (\ omega t)}

• h a vitorlázó repülőgép magassága
• ω=2gV0{\ displaystyle \ omega = {{\ sqrt {2}} g \ over V_ {0}}}

Demonstráció az energiatakarékosságból

Legyen V 0 a repülőgép sebessége. Feltételezzük, hogy v sebességű töréssel találkozik . Mivel a talajsebesség lokálisan állandó, a légsebesség növekszik (vagy csökken) és V + r lesz . Feltételezzük, hogy a repülőgép állandó hozzáállást tart fenn. A támadási szög is állandó lesz, ezért az emelési együttható állandó lesz.

A széllökés előtt a felvonó:

L=12VSLρSV2{\ displaystyle L = {1 \ 2} felett C_ {L} \ rho SV ^ {2}}

A repülőgép egyensúlyban van, és ezért: L = W .

Feltételezzük, hogy hirtelen vízszintes széllökés után a levegő sebessége V_0 + v lesz .

Miután találkozott a lökéssel, a felvonó ekkor válik:

L′=12VSLρSV2{\ displaystyle L '= {1 \ 2} felett C_ {L} \ rho SV ^ {2}}

A felfelé irányuló erő tehát:

F=L′-W{\ displaystyle F = L'-W}

Ezért észrevesszük, hogy:

F=12VSLρS[V2-V02]{\ displaystyle F = {1 \ 2} felett C_ {L} \ rho S [V ^ {2} -V_ {0} ^ {2}]}

A felfelé gyorsulás tehát:

nál nél=12mVSLρS(V2-V02){\ displaystyle a = {1 \ 2m felett} C_ {L} \ rho S (V ^ {2} -V_ {0} ^ {2})}

A teljes energia (potenciális energia + mozgási energia) konzerválódik a vízszintes sorozatban. Ebből kifolyólag,

12V2+gh=VSte{\ displaystyle {1 \ over 2} V ^ {2} + gh = Cte}

Mi meg E = V 2 /2 . Ezután megkapjuk:

E+gh=VSte{\ displaystyle E + gh = Cte}

Levezetjük ezt az egyenletet. Ebből kifolyólag,

dEdt+gdhdt=0{\ displaystyle {dE \ over dt} + g {dh \ over dt} = 0}

Másodszor sodródunk:

d2Edt2+gd2hdt2=0{\ displaystyle {d ^ {2} E \ over dt ^ {2}} + g {d ^ {2} h \ over dt ^ {2}} = 0}

A h második deriváltját a gyorsulással helyettesítjük, ezért:

d2Edt2+g(12mVSLρS(V2-V02))=0{\ displaystyle {d ^ {2} E \ over dt ^ {2}} + g \ bal ({1 \ 2m felett} C_ {L} \ rho S (V ^ {2} -V_ {0} ^ {2 }) \ jobbra = 0}

És aztán :

d2Edt2+g(12mVSLρS(2E-V02))=0{\ displaystyle {d ^ {2} E \ over dt ^ {2}} + g \ bal ({1 \ 2m felett} C_ {L} \ rho S (2E-V_ {0} ^ {2}) \ jobb ) = 0}

Nekünk van :

12VSLρSV02=mg{\ displaystyle {1 \ több mint 2} C_ {L} \ rho SV_ {0} ^ {2} = mg}

Ebből kifolyólag,

VSL=2mgρSV02{\ displaystyle C_ {L} = {2mg \ over \ rho SV_ {0} ^ {2}}}

Cseréljük:

d2Edt2+g(12m×2mgρSV02×ρS(2E-V02))=0{\ displaystyle {d ^ {2} E \ over dt ^ {2}} + g \ left ({1 \ over 2m} szorzat {2mg \ over \ rho SV_ {0} ^ {2}} \ times \ rho S (2E-V_ {0} ^ {2}) \ jobbra = 0}

Ebből kifolyólag,

d2Edt2+g2V02(2E-V02)=0{\ displaystyle {d ^ {2} E \ over dt ^ {2}} + {g ^ {2} \ over V_ {0} ^ {2}} (2E-V_ {0} ^ {2}) = 0 }

Meghatározzuk:

E′=E-12V02{\ displaystyle E '= E- {1 \ felett 2} V_ {0} ^ {2}}

Ezután megkapjuk:

d2E′dt2+2g2V02E′=0{\ displaystyle {d ^ {2} E '\ over dt ^ {2}} + {2g ^ {2} \ over V_ {0} ^ {2}} E' = 0}

Ezután meghatározzuk:

ω2=2g2V02{\ displaystyle \ omega ^ {2} = {2g ^ {2} \ felett V_ {0} ^ {2}}}

Ebből kifolyólag,

ω=2gV0{\ displaystyle \ omega = {{\ sqrt {2}} g \ over V_ {0}}}

Ezért megoldjuk:

d2E′dt2+w2E′=0{\ displaystyle {d ^ {2} E '\ over dt ^ {2}} + w ^ {2} E' = 0}

Az általános megoldás ezért:

E(t)=NÁL NÉLkötözősaláta⁡(ωt)+Bbűn⁡(ωt){\ displaystyle E (t) = A \ cos (\ omega t) + B \ sin (\ omega t)}

Ha t = 0 , akkor E ' 0 van megadva. Ebből kifolyólag,

E′(t=0)=NÁL NÉLkötözősaláta⁡(ω0)+Bbűn⁡(ω0){\ displaystyle E '(t = 0) = A \ cos (\ omega 0) + B \ sin (\ omega 0)}

És aztán,

E′(t)=E0′kötözősaláta⁡(ωt)+Bbűn⁡(ωt){\ displaystyle E '(t) = E' _ {0} \ cos (\ omega t) + B \ sin (\ omega t)}

Tehát van:

E′˙(t)=-ωE0′bűn⁡(ωt)+Bωkötözősaláta⁡(ωt){\ displaystyle {\ dot {E '}} (t) = - \ omega E' _ {0} \ sin (\ omega t) + B \ omega \ cos (\ omega t)}

At t = 0 , mi van a függőleges sebesség zérus, mivel a gyorsulás véges. Ebből kifolyólag,

0=E˙(t=0)=-ωE0′bűn⁡(ω0)+Bωkötözősaláta⁡(ω0){\ displaystyle 0 = {\ dot {E}} (t = 0) = - \ omega E '_ {0} \ sin (\ omega 0) + B \ omega \ cos (\ omega 0)}

Tehát, B = 0 . Végül tehát:

E(t)=E0′kötözősaláta⁡(ωt){\ displaystyle E (t) = E '_ {0} \ cos (\ omega t)}

Ebből kifolyólag,

E¨(t)=-ω2E0′kötözősaláta⁡(ωt){\ displaystyle {\ ddot {E}} (t) = - \ omega ^ {2} E '_ {0} \ cos (\ omega t)}

Emlékezz arra:

d2Edt2+gd2hdt2=0{\ displaystyle {d ^ {2} E \ over dt ^ {2}} + g {d ^ {2} h \ over dt ^ {2}} = 0}

A függőleges gyorsulás tehát:

d2hdt2=1gE¨(t)=-ω2gE0′kötözősaláta⁡(ωt){\ displaystyle {d ^ {2} h \ over dt ^ {2}} = {1 \ over g} {\ ddot {E}} (t) = - {\ omega ^ {2} \ over g} E ' _ {0} \ cos (\ omega t)}

Ebből kifolyólag,

d2hdt2=2g2gV02E0′kötözősaláta⁡(ωt){\ displaystyle {d ^ {2} h \ over dt ^ {2}} = {2g ^ {2} \ gV_ {0} ^ {2}} E '_ {0} \ cos (\ omega t)}

Ebből kifolyólag,

d2hdt2=2gV02E0′kötözősaláta⁡(ωt){\ displaystyle {d ^ {2} h \ over dt ^ {2}} = {2g \ over V_ {0} ^ {2}} E '_ {0} \ cos (\ omega t)}  

Feltételezzük, hogy V 0 = 20 m / s, és hogy t = 0 esetén V (t = 0) = 40 m / s. (Legyen v = 20 m / s)

A kezdeti gyorsulás tehát:

nál nél=gv2+2V0vV02=10.×202+2×20×20202=30{\ displaystyle a = g {v ^ {2} + 2V_ {0} v \ over V_ {0} ^ {2}} = 10 \ szor {20 ^ {2} +2 \ szor 20 \ szor 20 \ 20 felett ^ {2}} = 30} m / s 2 .

Legyen 3 G. A terhelési tényező tehát (3 + 1) G = 4 G, amely közel áll a sikló töréspontjához.

Ez a modell megmagyarázza, hogy Joachim Kuettner miért ment át 4 G gyorsuláson, amikor nagyon szigorú rotorral repült, és hogy a légsebessége nagyon erősen megnőtt. Joachim Kuettner választott, és ez valószínűleg annak a negatív széllökésnek tudható be, amely csökkentette a sebességet a bódé alatt. Fél óra múlva Larry Edgar nagyon hasonló körülmények között törte el siklóját. 16-20 G gyorsuláson megy keresztül, amelyet túl fog élni. Mivel átmenetileg eszméletlen volt, az események pontos sorrendje nem határozható meg. Valószínű, hogy ezek a fenomenális gyorsulások a vitorlázógép megtörése után következtek be, de semmi sem engedi megerõsíteni.

Így Joachim Kuettner a következő jelentést írta:

"  Rövid 1600 láb / perc felfelé, 1000 láb / perc leolvasást követően a sebesség körülbelül 2 másodperc alatt 45 mph-ról 90 mph-ra nőtt, annak ellenére, hogy az orr felfelé állt, ami csak az eget engedte látni ki az ablakon. 4,5 G-értéknél a hajó ismét megakadt  »

Francia fordítás: "A variométer rövid ideig +8 m / s, majd -5 m / s. A légsebesség 2 mp alatt 20 m / s-ról 40 m / s-ra nőtt, annak ellenére, hogy a vitorlázó repülőgép rendkívül orral felfelé fordult, és csak a mennyezeten keresztül látta az eget. Amikor a gyorsulásmérő 4,5 G-ot mutatott, a vitorlázó repülőgép ismét elakadt ”.

Kuettner története megerősíti a fenti modellt , így amikor a széllökések elérik a 20  m / s-ot , a körülmények rendkívül veszélyesekké válnak.

Megjegyzések és hivatkozások

Megjegyzések

1. A hivatalos név a francia bunkóban az a lökés , amely kétértelmű, mert a dudor inkább Dirac "funkciója" . Azonban a bunkó szót az egyetemi tanfolyamokon használják, amint az a referenciában is szerepel
2. A referencia részletesen tárgyalja ezt a modellt.
3. alörvények bármilyen méretűek lehetnek, míg a nagyobb örvények átmérőjük körülbelül 600 m lehet. Ezt Sharman írása tárgyalja.

Hivatkozások

1. (in) Légiforgalmi tájékoztató kézikönyv , Szövetségi Repülési Igazgatóság ,2012, PDF ( online olvasás ) , p.  7-1-48
2. Dinamika
3. Teljesítmény
4. (in) Joachim Kuettner Rolf Hertenstein, "  A hegyek által előidézett rotorok megfigyelései és a kapcsolódó feltételezések: áttekintés  " , A hegyi meteorológia 10. konferenciájának anyagai, AMS , amerikai meteorológiai társaság,2002, P.  2 ( olvassa el online [PDF] )
5. Szörny , p.  141
6. (a) Joachim Kuettner , "  A rotor áramlás a lee hegyek  " , GRD kutatás megállapítja , geofizikai kutatások Igazgatósága USAF , n o  6,1959. január( olvasható online [PDF] )
7. (in) Bob Spielman, "  Glider crash  " , Soaring , Amerikai Szárnyaló Társaság ,2015. december, P.  32-36
8. Dinamika , p.  295
9. (a) Howard B. Bluestein, súlyos konvektív Zivatarok és tornádó Megfigyelések és Dynamics , Springer-Verlag ,2013, 456  p. ( ISBN  978-3-642-05380-1 , DOI  10.1007 / 978-3-642-05381-8 ) , p.  112
10. (in) Ioan Vrabie, differenciálegyenletek: An Introduction to Basic Concepts, eredmények és alkalmazások , World Scientific Publishing ,2004, 401  p. ( ISBN  981-238-838-9 , online olvasás ) , p.  257
11. "  Gyorsulás és bunkó sebesség  " [PDF] (hozzáférés : 2018. február 2. )
12. (in) JG Jones, "  Studies of Time-szakaszos függőleges és vízszintes széllökés: Fejlesztési többtengelyes-Minus-One koszinusz Gust Model  " [PDF] , Federal Aviation Administration ,1999. október(megtekintve 2018. február 10-én )
13. Dinamika , p.  297
14. Sylvie Malardel, A meteorológia alapjai, második kiadás , Toulouse, Cépaduès,2009, 710  p. ( ISBN  978-2-85428-851-3 ) , p.  634
15. (en) RD Sharman és mtsai. "  A légköri turbulencia automatizált helyzet-örvény-disszipációs sebességű jelentéseinek leírása és levezetett klimatológiája  " , Journal of Applied Meteorology and Climatology , vol.  53,2014. június( DOI  10.1175 / JAMC-D-13-0329.1 , online olvasás [PDF] )
16. (in) Lukas Strauss, "  Turbulencia a hegyi hullámok és légköri rotorok feltörésében, becsült levegőben lévő Doppler radar és in situ mérések alapján  " , Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society , vol.  141,2015. október( DOI  10.1002 / qj.2604 , online olvasás [PDF] )
17. (in) Richard Scorer, "  A nagy amplitúdójú hegyi hullámok elmélete  " , Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society , vol.  85, n o  364, 1959. április, P.  142 ( DOI  10.1002 / qj.49708536406 )
18. Szörny , p.  136
19. Teljesítmény , p.  270

Bibliográfia

• [Dynamics] (en) Louis V Schmidt, Bevezetés a repülőgépek repülési dinamikájába , AIAA,1998, 397  p. ( ISBN  978-1-56347-226-8 )
• [Teljesítmény] (en) Mario Asselin, Bevezetés a repülőgépek teljesítményébe , AIAA,1997 augusztus, 339  p. ( ISBN  978-1-56347-221-3 )
• [Monster] (en) Robert F Whelan, A szörny felfedezése: Hegyi lee hullámok: a légifelvonó , a Wind Canyon Books,2000, 170  p. ( ISBN  978-1-891118-32-6 ) , p.  136

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">