A hiperbolikus halmaz a dinamikus rendszerek tanulmányozása , amelyek hiperbolikusak. Írjunk le egy egyszerű példát: megadjuk magunknak az átlós mátrixot
megnézhetjük annak dinamikáját a síkon. az egyetlen rögzített pont. Van egy irányunk, amely összenyomva van, egy irány, amely kitágult. Észrevehetjük, hogy a többi pontnak három viselkedése van: vagy felé hajlanak , vagy egyenes vonalban távolodnak el tőle, vagy pedig pályája van hiperbola formájában .
Azt mondjuk, hogy a differenciális dinamikus rendszer hiperbolicitást mutat, ha az összes periodikus pont ilyen viselkedést mutat, vagy általánosabban az összes invariáns kompakt halmaz . Ezeknek a dinamikus rendszereknek az a fontos eredménye, hogy stabilitási és ergodikus tulajdonságokkal rendelkeznek , amelyek jó jelöltté teszik őket a fizikai rendszerek leírására.
Adott egy Riemann sokrétű , és egy alkalmazás , honnan belül . Adunk magunknak egy része az . Aztán azt mondjuk, hogy ez (egységesen) hiperbolikus halmaz, ha:
és ha vannak olyan állandók és egyenruhák , amelyek bármely pontra és pozitív egész számra vonatkoznak ,
Több megjegyzést kell tenni. Ha az elosztó tömör, akkor ez a meghatározás független a metrika megválasztásától, tehát valóban tisztán differenciális tulajdonság .
A bevezetőben szereplő példa esetében önmagában hiperbolikus halmaz volt.
nem feltétlenül diffeomorfizmus , de gyakran feltesszük ezt a feltevést, amely lehetővé teszi számunkra, hogy a dinamikát csoportos cselekvésként szemléljük. A belépő Bourbakism- akut arra késztethet minket, hogy hasonló koncepciót határozzunk meg a Lie-csoportok részvényeire vonatkozóan . Szoruljunk csak arra, hogy észrevegyük, hogy áramlás esetén elegendő a Whitney-összeg helyébe a következő lép:
hol van az áramlás iránya.
Most tudnia kell, mikor mondjuk, hogy ez maga a hiperbolikus. A hiperbolikus fix pont mindig hiperbolikus halmaz, de fordítva, bizonyos dinamikák sokkal kevésbé egyszerű hiperbolikus halmazokat ismernek el (például Cantors ). Az uralkodó Smole terminológia : "A axióma térkép (en) ". Ezért azt mondjuk, hogy kielégíti Smale A axiómáját, ha:
Azt mondjuk, hogy egy térképet a sokrétű önmagában egy rendszeresség (egy bizonyos osztály ) szerkezetileg stabil, ha van egy nyitott , a topológia a térképek az , hogy mindent a létezik egy nyitott homeomorfizmus a mely konjugátumok és :
.A gyakorlatban a példák létezéséhez a rendszeresség térén kell dolgozni, amely szigorúan erősebb, mint a folyamatos. És általában a terekben dolgozunk . A részletekbe bocsátás nélkül megmutathatjuk, hogy a C 1 -szerkezetileg stabil diffeomorfizmusok (és az áramlások is) pontosan azok, amelyek A axióma és további technikai hipotézist igazolnak. Ezekből az eredményekből sejtjük, hogy ugyanez igaz a C 2 topológiára is , de még mindig nyitott probléma.
Az Anosov-rendszerek a hiperbolikus halmaz alapvető példái.