Részleges származék

A matematika , a parciális deriváltja egy funkció több változó van annak származéka , amelyből egy változója, a többi állandó. Ez egy alapvető koncepciója az elemzést a dimenziója a differenciál geometria , és a vektor analízis . nem{\ displaystyle n}

Gyakran megjegyzik a függvény részleges deriváltját a változóhoz képest . f{\ displaystyle f}x{\ displaystyle x}∂f∂x{\ displaystyle {\ frac {\ részleges f} {\ részleges x}}}

Ha a függvénye , és a végtelenül lépésekben a rendre, akkor a megfelelő infinitezimális növekménye van: f{\ displaystyle f}x1,⋯,xnem{\ displaystyle x_ {1}, \ cdots, x_ {n}}dx1,⋯,dxnem{\ displaystyle \ mathrm {d} x_ {1}, \ cdots, \ mathrm {d} x_ {n}} x1,⋯,xnem{\ displaystyle x_ {1}, \ cdots, x_ {n}}f{\ displaystyle f}

df=∂f∂x1dx1+⋯+∂f∂xnemdxnem{\ displaystyle \ mathrm {d} f = {\ frac {\ részleges f} {\ részleges x_ {1}}} \, \ mathrm {d} x_ {1} + \ cdots + {\ frac {\ részleges f} {\ részleges x_ {n}}} \, \ mathrm {d} x_ {n}}.

Ez a kifejezés a "  teljes differenciál " , az összes kifejezés az összeg "részleges differenciája" . f{\ displaystyle f}f{\ displaystyle f}

Abban az esetben, ahol a funkció attól függ, csak egy változó, a-származék és a parciális derivált azonosak: . f′=dfdx=∂f∂x{\ displaystyle f '= {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x}} = {\ frac {\ részleges f} {\ részleges x}}}

Példa

Tekintsük egy kúp térfogatát  ; a képlet alapján az alap magasságától és sugarától függ V{\ displaystyle V} h{\ displaystyle h} r{\ displaystyle r}

V=r2hπ3{\ displaystyle V = {\ frac {r ^ {2} h \ pi} {3}}}.

A parciális deriváltja tekintetében IS V{\ displaystyle V}r{\ displaystyle r}

∂V∂r=2rhπ3{\ displaystyle {\ frac {\ részleges V} {\ részleges r}} = {\ frac {2rh \ pi} {3}}}.

Leírja, hogyan változik a kúp térfogata, ha a sugara megváltozik, miközben a magassága állandó marad.

A részleges származtatott az h{\ displaystyle h}

∂V∂h=r2π3{\ displaystyle {\ frac {\ részleges V} {\ részleges h}} = {\ frac {r ^ {2} \ pi} {3}}}

és azt ábrázolja, hogy a térfogat hogyan változik, ha a kúp magassága változik, miközben a sugár állandó.

Ezután kifejezhetjük, hogy a térfogat hogyan változik, ha a kúp sugara és magassága is megváltozik.

dV=∂V∂rdr+∂V∂hdh=2rhπ3dr+r2π3dh=(∂V∂re→r+∂V∂he→z)⋅(dre→r+dhe→z){\ displaystyle \ mathrm {d} V = {\ frac {\ részben V} {\ részleges r}} \ mathrm {d} r + {\ frac {\ részleges V} {\ részleges h}} \ matrm {d} h = {\ frac {2rh \ pi} {3}} \ mathrm {d} r + {\ frac {r ^ {2} \ pi} {3}} \ mathrm {d} h = \ bal ({\ frac {\ részleges V} {\ részleges r}} {\ vec {e}} _ {r} + {\ frac {\ részleges V} {\ részleges h}} {\ vec {e}} _ {z} \ jobb ) \ cdot \ left (\ mathrm {d} r {\ vec {e}} _ {r} + \ mathrm {d} h {\ vec {e}} _ {z} \ right)} =(2rhπ3e→r+r2π3e→z)⋅(dre→r+dhe→z)=grad→V⋅dOM→{\ displaystyle = \ left ({\ frac {2rh \ pi} {3}} {\ vec {e}} _ {r} + {\ frac {r ^ {2} \ pi} {3}} {\ vec {e}} _ {z} \ jobbra) \ cdot \ balra (\ mathrm {d} r {\ vec {e}} _ {r} + \ mathrm {d} h {\ vec {e}} _ {z } \ right) = {\ overrightarrow {\ operatornév {grad}}} \, V \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {d} OM}}} A pont a kúp csúcsa, és egy pont az alap sugarán.O{\ displaystyle O}M{\ displaystyle M}

Differenciál egyenletek bevonásával parciális deriváltak, az úgynevezett parciális differenciálegyenletek , megtalálhatók sok kontextusban tudomány.

Formális meghatározás és tulajdonságok

A részleges származtatott ügyleteket határértékek határozzák meg . Meghatározásuk hasonló a „hétköznapi” származékok definíciójához, amelyeket általánosítanak.

Definíció  -  Hagy egy pont a , a környéken a be , és a funkciója változók. nál nél=(nál nél1,...,nál nélnem){\ displaystyle a = (a_ {1}, \ pontok, a_ {n})}Rnem{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}U{\ displaystyle U}nál nél{\ displaystyle a}Rnem{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}f:U→R{\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {R}}nem{\ displaystyle n}

A parciális deriváltja (a sorrendben 1, vagy az első) az azon a ponton , tekintettel a th változó van, ha létezik, a irányított származékot az azon a ponton, az irányt a edik vektor a kanonikus alapján , vagy ismét a származékát pontjában a valódi funkcióját egy valós változó  : f{\ displaystyle f}nál nél{\ displaystyle a}j{\ displaystyle j}xj{\ displaystyle x_ {j}}f{\ displaystyle f}nál nélj{\ displaystyle a_ {j}}j{\ displaystyle j}nál nélj{\ displaystyle a_ {j}} x↦f(nál nél1,...,nál nélj-1,x,nál nélj+1,...,nál nélnem){\ displaystyle x \ mapsto f (a_ {1}, \ pontok, a_ {j-1}, x, a_ {j + 1}, \ pontok, a_ {n})}

∂f∂xj(nál nél)=limh→0f(nál nél1,...,nál nélj-1,nál nélj+h,nál nélj+1,...,nál nélnem)-f(nál nél1,...,nál nélnem)h{\ displaystyle {\ frac {\ részleges f} {\ részleges x_ {j}}} (a) = \ lim _ {h \ - 0} {f (a_ {1}, \ pontok, a_ {j-1} , a_ {j} + h, a_ {j + 1}, \ pontok, a_ {n}) - f (a_ {1}, \ pontok, a_ {n}) \ felett h}}.

Még akkor is, ha az összes parciális derivátum létezik egy adott pontban, előfordulhat, hogy a függvény nem folytonos ezen a ponton. Van azonban egy függvénynek egy ponton elégséges feltétele a differenciálhatóságnak - és még inkább a folytonosságnak -: ∂f∂x1(nál nél),...,∂f∂xnem(nál nél){\ displaystyle {\ frac {\ részleges f} {\ részleges x_ {1}}} (a), \, \ pontok, \, {\ frac {\ részleges f} {\ részleges x_ {n}}} (a )}

Tétel  -  Ha az összes (1. sorrendű) részleges származéka pontszomszédságában vanés folytonos, akkorezen a ponton differenciálható. f{\ displaystyle f}nál nél{\ displaystyle a}nál nél{\ displaystyle a}f{\ displaystyle f}

Ezért, ha a parciális deriváltak definiáltak és nyitottakon folytonosak, akkor a differenciál is. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy ez az osztály a . U{\ displaystyle U}f{\ displaystyle f} VS1{\ displaystyle C ^ {1}}U{\ displaystyle U}

A vektort, amelynek alkotórészei egy adott pont első részleges deriváltjai, gradiensnek nevezzük attól a ponttól  : f{\ displaystyle f}nál nél{\ displaystyle a}f{\ displaystyle f}nál nél{\ displaystyle a}

grad→f(nál nél)=(∂f∂x1(nál nél),...,∂f∂xnem(nál nél)){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operatornév {grad}}} f (a) = \ balra ({\ frac {\ részben f} {\ részleges x_ {1}}} (a), \ pontok, {\ frac { \ részleges f} {\ részleges x_ {n}}} (a) \ jobb)} ; azt is megjegyzik (olvassa el a "  nabla  " szót ).∇→f(nál nél){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}} f (a)}

Ha osztályba tartozik , akkor a pont gradiense , ha nem nulla, geometriai értelmezéssel rendelkezik: jelzi azt az irányt, amelyben a legnagyobb meredekségű vonal változik a leggyorsabban. f{\ displaystyle f}VS1{\ displaystyle C ^ {1}}f{\ displaystyle f}nál nél{\ displaystyle a}f{\ displaystyle f}

Magasabb rendű részleges származékok

Ha a parciális derivált egy pont szomszédságában van definiálva, akkor ebben a pontban maga is be tudja fogadni az 1. sorrendű parciális deriváltakat: ezeket a 2. vagy másodperc nagyságrendű részleges származékoknak nevezzük  ; az 1. sorrend részleges deriváltját a pontban a th változóhoz viszonyítva . A magasabb rendű részleges származékokat analóg módon határozzuk meg. ∂f∂xén{\ displaystyle {\ frac {\ részleges f} {\ részleges x_ {i}}}}f{\ displaystyle f}∂f∂xén{\ displaystyle {\ frac {\ részleges f} {\ részleges x_ {i}}}}nál nél{\ displaystyle a}j{\ displaystyle j}∂2f∂xj∂xén(nál nél){\ displaystyle {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges x_ {j} \, \ részleges x_ {i}}} (a)}

Ha kétszer differenciálható egy ponton, akkor az adott pont összes második részderiváltja létezik, és a származtatás sorrendje megváltoztatható anélkül, hogy ez módosítaná az eredményt, Schwarz-tétel szerint  : f{\ displaystyle f}f{\ displaystyle f}

∂2f∂xén∂xj=∂2f∂xj∂xén{\ displaystyle {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges x_ {i} \, \ részleges x_ {j}}} = {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges x_ { j} \, \ részleges x_ {i}}}}.

Ha minden második részleges származékok meghatározása és folyamatos több mint egy nyitott , akkor ( lásd fent ) a második különbségi az is. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy ez az osztály a . f{\ displaystyle f}U{\ displaystyle U}f{\ displaystyle f}f{\ displaystyle f}VS2{\ displaystyle C ^ {2}}U{\ displaystyle U}

Értékelés

A karakter ∂, jelképe a részleges levezetése , az úgynevezett kerek d , esetleg kerek d (nem tévesztendő össze a kisbetűs delta a görög ábécé ). δ{\ displaystyle \ delta}

Legyen függvénye , és . f{\ displaystyle f}x{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}z{\ displaystyle z}

Az első változóhoz viszonyított részleges derivatívát megjegyezzük:

D1f{\ displaystyle \ mathrm {D} _ {1} f}( Csatterdzsi p. 79 ) , , vagy∂f∂x{\ displaystyle {\ frac {\ részleges f} {\ részleges x}}}fx′{\ displaystyle f_ {x} '}∂xf{\ displaystyle \ részleges _ {x} f}

és a másodrendűek:

D1,1f{\ displaystyle \ mathrm {D} _ {1,1} f}( Csatterdzsi p. 123 ) , , , vagy .∂2f∂x2{\ displaystyle {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges x ^ {2}}}}fx,x″{\ displaystyle f_ {x, x} ''}∂x,xf{\ displaystyle \ részleges _ {x, x} f}∂x2f{\ displaystyle \ részleges _ {x} ^ {2} f}

A két változót tartalmazó másodrendűek - a másodrendű vegyes deriváltak - az alábbiak:

D1,2f{\ displaystyle \ mathrm {D} _ {1,2} f}( Csatterdzsi p. 123 ) , , vagy .∂2f∂x∂y{\ displaystyle {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges x \, \ részleges y}}}fx,y″{\ displaystyle f_ {x, y} ''}∂x,yf{\ displaystyle \ részleges _ {x, y} f}

és

D2,1f{\ displaystyle \ mathrm {D} _ {2,1} f}( Csatterdzsi p. 123 ) , , vagy .∂2f∂y∂x{\ displaystyle {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges y \, \ részleges x}}}fy,x″{\ displaystyle f_ {y, x} ''}∂y,xf{\ displaystyle \ részleges _ {y, x} f}

Több változó függvényeinek kezelésekor néhány kapcsolatban lehet egymással, és szükséges lehet meghatározni, hogy mely változókat tartják állandónak.

Az olyan területeken, mint a termodinamika vagy a statisztikai mechanika , gyakran megjegyzik a változók részleges származtatását és állandó értéken tartását . f{\ displaystyle f}x{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}z{\ displaystyle z}(∂f∂x)y,z{\ displaystyle \ bal ({\ frac {\ részleges f} {\ részleges x}} \ jobb) _ {y, z}}

Operátorok

Gradiens

Nabla

Laplacian

Megjegyzések és hivatkozások

1. Srishti D. Chatterji, Analysis Course , vol.  1: Vector elemzés , PPUR ,1997( online olvasható ) , p.  79.
2. Az ellenpéldák bővelkednek. Lásd S. Sarfati és M. Fegyvères, Matematika: módszerek, know-how és tippek , Bréal ,1997( online olvasható ) , p.  375-376(például F. Cottet-Emard, Analyze ,  2. kötet , De Boeck Supérieur ,2006( online olvasható ) , p.  31és X. Oudot és Mr. Allano Chevalier matematika PCSI - pisi 1 -jén  év , Hachette Education ,2008( online olvasható ) , p.  493-494) és H. Muller, A. Boisseau és Weidenfeld matematika PTSI , Bréal,2008( online olvasható ) , p.  447vagy az egyszerűbb a „Funkciókülönbségek R p- től R q-ig  ” a Wikiverzióban .
3. Demonstráció a terméken definiált funkció differenciálhatóságának elégséges feltételeiben a Wikiverzióban .
4. Chatterji 1997 , p.  121.

Kapcsolódó cikkek

• Divergencia (vektoranalízis)
• Jakob mátrix
• Forgó

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">