Redukálhatatlan topológiai tér

A topológiában az irreducibilis tér egy nem üres topológiai tér, amelyet nem lehet két szigorúan kisebb zárt részre bontani (vagyis egyesülésként írni) . Ez a fajta tér különösen az algebrai geometriában jelenik meg (és használatos) , ahol az irreducibilitás az egyik topológiai tulajdonság.

Meghatározás

Az X nem üres topológiai térről akkor mondhatjuk, hogy nem olvasható, ha a következő (egyenértékű) állítások egyikét adjuk meg:

• X nem két rendesen zárt (vagyis különbözik X-től ) egyesülése ;
• az X nem üres nyílásainak véges családjának kereszteződése nem üres;
• a lezárt családok véges családjának újraegyesítése tiszta;
• X minden nem üres nyitása sűrű az X-ben  ;
• minden, ami X-re nyitott, össze van kapcsolva .

Redukálhatatlan komponens

Gyakran próbálunk egy topológiai teret lebonthatatlan részekre bontani. Egy irreducibilis eleme a topológiai tér X jelentése irreducibilis altér X maximális felvételét. Segítségével Zorn-lemma , azt látjuk, hogy X mindig bomlik uniója irreducibilis elemek. A maximális érték alapján könnyen láthatjuk, hogy a redukálhatatlan komponensek zárva vannak.

Külön topológiai tér esetén a redukálhatatlan komponensek a szingulettek. Így az irreducibilis terek fogalma csak bizonyos típusú topológiák esetében hasznos, például Zariski topológiájában .

Egy noetheriánus sémában az irreducibilis komponensek száma véges. Általánosságban elmondható, hogy bármely noetheri topológiai térnek véges számú redukálhatatlan komponense van.

Példák

• Ha X végtelen halmaz, amely együttes véges topológiával rendelkezik (vagyis olyan topológiával, ahol a zárt részek végesek vagy egyenlőek X- szel ), akkor ez egy nem redukálható tér.
• Egy algebrai set társított gyökér ideális én egy gyűrű polinomok irreducibilis akkor és csak akkor, ha azt egy elsődleges ideális .
• Legyen A az egy egységes kommutatív gyűrű , és hagyja, X lehet a spektrum a A , felruházva annak Zariski topológia . Ezután irreducibilis komponensei X felelnek prime eszméket bijectively minimum az A .
• Legyen Z egy redukálhatatlan része X-nek . Ekkor az X-ben tapadása sem redukálható (valóban, az adhézió minden nem üres nyílása találkozik Z - vel , ezért sűrű Z-ben , ezért sűrű a tapadásban).
• Ha X megváltozhatatlan, akkor bármely sűrű része Z az X irreducibilis: Let U 1 , U 2 nyitott, nem üres Z . Definíció szerint léteznek V 1 , V 2 nyílások az X úgy, hogy U 1 = V 1 ∩ Z és U 2 = V 2 ∩Z és van V 1 ∩ V 2 egy nem-üres nyitott a X által visszavezethetetlensége az X . Tehát, mivel Z sűrű X-ben, megkapjuk Z ∩V 1 ∩ V 2 therefore obtain és ezért U 1 ∩ U 2 ≠ ∅.

Bármely redukálhatatlan diagram egyetlen általános pontot enged meg , vagyis egy olyan pontot, amelynek tapadása a teljes tér. Ez általában nem a redukálhatatlan terek esetében (például az irreducibilis algebrai halmazok nélkülöznek egy általános pontot, kivéve, ha egy pontra redukálódnak).

Kapcsolódó cikkek

• Ezt a fogalmat használják a topológiai dimenzió meghatározására .
• Lásd még: Krull dimenzió .

Bibliográfia

1. N. Bourbaki , Kommutatív Algebra , II, § 4, n o  2, Proposition 10.

Az algebrai geometria elemei , I, 2.1.