Ultrametrikus távolság

A matematikában , pontosabban a topológiában , az ultrametrikus távolság az E halmaz feletti d távolság, amely kielégíti az ultratrianguláris egyenlőtlenséget:

{\ displaystyle d (x, z) \ leq \ max (d (x, y), d (y, z))}

A metrikus tér , amelyek távolsága megfelel az ingatlan azt mondják, hogy ultrametric .

Meghatározás és példák

Hadd E lennie egy sor ; egy ultrametrikus távolságot ( E-n ) a következő tulajdonságokat ellenőrző alkalmazásnak nevezünk : ${\ displaystyle d: \ mathrm {E} \ times \ mathrm {E} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {+}}$

Vezetéknév	Ingatlan
szimmetria	${\ displaystyle \ forall x, y \ in \ mathrm {E}, \ d (x, y) = d (y, x)}$
elválasztás	${\ displaystyle \ forall x, y \ in \ mathrm {E}, \ d (x, y) = 0 \ Balra mutató nyíl x = y}$
ultratriangular egyenlőtlenség	${\ displaystyle \ forall x, y, z \ in \ mathrm {E}, \ d (x, z) \ leq \ max (d (x, y), d (y, z))}$

Figyelembe véve a szimmetriát, az ultraszög alakú egyenlőtlenség azt jelenti, hogy egy háromszögben mindkét oldal hossza kisebb vagy egyenlő, mint a másik két oldal hosszának nagyobb (tehát ennek a két hosszúságnak az összegével, amelyet l ' háromszög egyenlőtlenség ).

Triviális távolság

Bármely készlet biztosítható úgynevezett triviális vagy diszkrét távolsággal, amelyet a következők határoznak meg:

{\ displaystyle d (x, y) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {si}} x = y \\ 1 & {\ text {si}} x \ neq y \ end {esetben}}}

Egyenlőtlenség

{\ displaystyle d (x, z) \ leq \ max (d (x, y), d (y, z))}

igaz, hogy x egyenlő-e z-vel vagy sem. Ezért ultrametrikus távolságról van szó.

P -adic távolság a halmaz felett over

A p prímszámra meghatározhatjuk bármely r nulla nulla racionális szám p -adikus értékelését . ${\ displaystyle v_ {p} (r)}$

Könnyen bebizonyítjuk, hogy ez az alkalmazás igazolja

{\ displaystyle v_ {p} (r + r ') \ geq \ inf (v_ {p} (r), v_ {p} (r'))}

és

{\ displaystyle v_ {p} (- r) = v_ {p} (r).}

Ezután meghatározzuk a ℚ p- adikus távolságát a következő módon:

{\ displaystyle d (x, y) = {\ begin {esetben} 0 & {\ text {si}} x = y \\ p ^ {- v_ {p} (xy)} és {\ text {si}} x \ neq y \ end {esetek}}}

A fenti tulajdonság könnyen ultrametrikus egyenlőtlenséghez vezet. A másik két ellenőrzés könnyű. $v_p$

Ezért valóban ultrametrikus távolság a ℚ-n.

Egyéb példák

Let X tetszőleges halmaz és E = X ℕ minden lakosztállyal értékeiket X . Biztosítjuk E egy komplett ultrametric térszerkezet pózol ${\ displaystyle k (x, y) = \ inf \ {n \ in \ mathbb {N} \ x x {n} \ neq y_ {n} \}}$ (az más szavakkal : ha , a rangsorban az első ciklus, ahol a két szekvencia különbözik), akkor ${\ displaystyle k (x, x) = + \ infty}$ $x \ ne y$ ${\ displaystyle k (x, y)}$ ${\ displaystyle d (x, y) = {\ frac {1} {1 + k (x, y)}}}$ vagy még egyszer, önkényes valóságért : ${\ displaystyle a> 1}$ ${\ displaystyle d_ {a} (x, y) = a ^ {- k (x, y)}}$ ,amely egy távolságot egyenletesen egyenértékű a . $d$ Az X = {0, 1}, megkapjuk a Cantor teret és X = ℕ, a Baire teret .
A genetikában a filogenetikai fa ágai mentén a genotípusok közötti távolság ultrametrikus távolsággal mérhető.

Tulajdonságok

Íme az ultrametrikus tér néhány olyan tulajdonsága, amelyek ellentétben állnak az intuícióval.

Nincsenek metsző golyók abban az értelemben, hogy ha két nyitott gömbnek (vagy két zárt gömbnek ) van egy közös pontja, akkor az egyik a másikat tartalmazza: ${\ displaystyle B (a, r) \ cap B (a ', r') \ neq \ varnothing {\ text {et}} r \ leq r '\ Rightarrow B (a, r) \ B részhalmaz (a ', r')}$ .
A labda bármely pontja középpont: ${\ displaystyle \ forall x \ B (a, r) \ quad B (x, r) = B (a, r)}$ .
Metrikus térben bármely nyitott labda nyitva van , minden zárt labda zárva van . Az ultrametrikus térben van még: Bármely zárt, nem nulla sugarú labda nyitva van. Bármely nyitott labda zárva van. Következésképpen minden olyan ultra metrizálható topológiai tér van a nulla dimenzió és ezért teljesen folytonos , vagyis, hogy a csatlakoztatott készülékek a egyesterhességek .
Mivel a három pontot, a két legközelebbi ugyanazon a távolság a harmadik, más szóval: „minden háromszög az egyenlő szárú és bázisa legfeljebb egyenlő az egyenlő oldalak” , amely szintén írt: ${\ displaystyle d (x, y) \ neq d (y, z) \ Rightarrow d (x, z) = \ max (d (x, y), d (y, z))}$ .
A folytatást, hogy legyen Cauchy elegendő, ha $(x_ {n})$ ${\ displaystyle d (x_ {n}, x_ {n + 1}) \ - 0.}$

Alkalmazás

Legyen X olyan halmaz, amelynek d ultrametrikus távolsága van , és r legyen pozitív szám. Minden golyó sugarú r definiált X partíciója X . Az r 0-ról való növelésével finomsági láncot képezünk e partíciók között, a legfinomabbtól (diszkrét partíció r = 0 esetén ) a legkevésbé finomig (univerzális partíció a maximális r értékig ). Ez a hierarchikus csoportosítás szerinti automatikus osztályozás egyik alapja .

Lásd is

Megjegyzések és hivatkozások

Ezt a fogalmat vezette be Marc Krasner : „ Félig valós számok és ultrametrikus terek ”, Heti jelentések a Tudományos Akadémia üléseiről , vol. 219, n o 21944, P. 433–435 ( online olvasás ), Ami arról számol be: "Úgy tűnik, hogy az egyetlen ultrametrikus teret eddig a test és az algebra értékelték " .
Diadikus modellek, Terence Tao , 2007. július 27 .: https://terrytao.wordpress.com/2007/07/27/dyadic-models/
Jean-Luc Verley, Metrikus terek , a Matematika szótárában; algebra, elemzés, geometria , szerk. Albin Michel, p. 652-653 .
Az 1.b probléma kijavítása Jean Dieudonné által , Az elemzés elemei , t. I: A modern elemzés alapjai [ a kiadások részlete ], fej. III, § 14, áttekintést ad az angol nyelvű kiadás a Google Books .
Különösen . ${\ displaystyle d (x, x) = {\ frac {1} {1+ \ infty}} = 0}$
Különösen . ${\ displaystyle d (x, x) = a ^ {- \ infty} = 0}$
Bemutatásukhoz lásd például ezt a korrigált gyakorlatot a Wikiverzióról .
(in) Emil Artin , algebrai számok és algebrai függvények , AMS ,1967, 349 p. ( ISBN 978-0-8218-4075-7 , online olvasás ) , p. 44..
IC Lerman, Az automatikus osztályozás alapjai , Gauthier-Villars , 1970.