Liapunov kiállító

Egy dinamikus rendszer elemzése során a Liapunov-kitevő lehetővé teszi mozgásainak stabilitásának vagy instabilitásának számszerűsítését. A Liapunov-kitevő vagy valós (véges) szám, vagy + ∞ vagy –∞ . Az instabil mozgás pozitív Liapunov, a stabil mozgás negatív Liapunov kitevővel rendelkezik. A lineáris rendszer határolt mozgásainak negatív vagy nulla Liapunov-kitevője van. A Liapunov-kitevő felhasználható a nemlineáris rendszerek egyensúlyi pontjainak stabilitásának (vagy instabilitásának) tanulmányozására. Linearizáljon egy ilyen rendszert az egyensúlyi pont közelében. Ha a nemlineáris rendszer nem autonóm , a kapott lineáris rendszer változó együtthatóval rendelkezik; minden mozdulatának megvan a maga Liapunov-kitevője. Ha mindegyik negatív, és ha a lineáris rendszer „szabályos” (felfogás, amelyet később részletezünk), akkor az egyensúlyi pont (lokálisan) aszimptotikusan stabil a nemlineáris rendszer számára. Ha ezen Liapunov-kitevők egyike pozitív, és ha a lineáris rendszer szabályos, akkor az egyensúlyi pont instabil a nemlineáris rendszer számára. Ebben az esetben a rendszer viselkedése rendkívül „érzékeny a kezdeti feltételekre”, abban az értelemben, hogy ezek bizonytalansága magában foglalja a mozgás bizonytalanságát, amely az idő múlásával exponenciálisan növekszik. Ezt a jelenséget néha asszimilálják (legalábbis általában) a kaotikus viselkedéshez  ; mindazonáltal szükséges feltétel.

A legnagyobb Liapunov-kitevő inverze a rendszer jellegzetes ideje, amelyet néha Liapunov-horizontnak neveznek . A rendszer fejlődésének kiszámítható jellege csak ennél a horizontnál jóval alacsonyabb időkig marad meg; ilyenkor a pálya aktuális pontján lévő hiba megtartja a kezdeti feltételek hibájához hasonló méretet. Másrészt a magasabb időkre nézve bármilyen előrejelzés gyakorlatilag lehetetlenné válik, még akkor is, ha a kezdeti feltételek tökéletes ismeretét feltételező Cauchy-Lipschitz-tétel érvényben marad.

Bevezetés: A differenciálrendszerek Liapunov-kitevői

Mielőtt a történeti vagy matematikai részletekbe kezdenénk, vegyük fontolóra az egyszerű különbségekkel rendelkező rendszereket, hogy megértsük, milyen célokra használhatjuk a Liapunov-kitevőket. Vizsgáljuk meg tehát a különbségek rendszerét, amelynek állapota egy ismétlődési reláció által meghatározott szekvencia . unem=f(unem-1){\ displaystyle u_ {n} = f (u_ {n-1})}

Probléma

A megismétlődési reláció által meghatározott szekvenciák a legegyszerűbb esetekben olyan viselkedéssel bírnak, amely lényegében egy paraméter függvényében stabilitásra (exponenciális konvergencia) vagy instabilitásra (exponenciális divergencia) redukálódik.

Más szekvenciák korlátozottak, ami tiltja a divergenciát, amelyet aztán bonyolultabb jelenségek, limitciklusok és káosz váltanak fel.

Liapunov kiállító

Kiszámíthatjuk a hibát egy adott n lépésnél az előzőnél kicsinek feltételezett lépés függvényében:

εnem=f(unem-1+εnem-1)-f(unem-1){\ displaystyle \ varepsilon _ {n} = f (u_ {n-1} + \ varepsilon _ {n-1}) - f (u_ {n-1})}.

Amikor a két egymást követő hiba 0 felé halad, a hiba pillanatnyi erősödését mérő arányuk a lejtő felé hajlik . f′(unem-1){\ displaystyle f '(u_ {n-1})}

Ez az amplifikáció általában egyik lépésről a másikra változik, ami az egymást követő hibaarányok szorzatának kiszámításához vezet:

|εnemε0|=∏én=1nem|εénεén-1|=∏én=1nem|f′(uén-1)|{\ displaystyle \ left | {\ frac {\ varepsilon _ {n}} {\ varepsilon _ {0}}} \ right | = \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ left | {\ frac {\ varepsilon _ {i}} {\ varepsilon _ {i-1}}} \ right | = \ prod _ {i = 1} ^ {n} | f '(u_ {i-1}) |}.

Az írás és halad a határ megkapjuk a Liapunov kitevő amely az átlagos logaritmusát a növekedés: εnem=eλnemε0{\ displaystyle \ varepsilon _ {n} = e ^ {\ lambda n} \ varepsilon _ {0}}

λ=limnem→∞1nem∑én=1nemln⁡(|f′(uén-1)|){\ displaystyle \ lambda = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ ln (| f '(u_ {i-1 }) |)}.

Írhatunk ekvivalens módon is, a következők i-dik iterációjának bevezetésével  : f(NEM){\ displaystyle f ^ {(N)}}NEM{\ displaystyle N}f{\ displaystyle f}

λ(x0)=limNEM→∞ln⁡(|df(NEM)(x)dx|x0){\ displaystyle \ lambda (x_ {0}) = \ lim _ {N \ to \ infty} \ ln \ left (\ left | {\ frac {\ mathrm {d} f ^ {(N)} (x)} {\ mathrm {d} x}} \ jobb | _ {x_ {0}} \ jobb)}.

Egyágyas lakosztály

A geometriai szekvencia esetén a meredekség állandó és egyenlő a-val , ami miatt nincs szükség az átlag kiszámítására. unem=nál nélunem-1{\ displaystyle u_ {n} = au_ {n-1}}

Ez a szekvencia akkor stabil, amikor instabil . Ezek a viselkedések analógak egy harmonikus oszcillátor viselkedésével, amely instabillá válna, ha a negatív csillapítás energiát szolgáltatna neki. Negatív vagy pozitív Liapunov-kitevőt eredményeznek (a csillapítási együtthatóval ellentétes előjellel). |nál nél|<1{\ displaystyle | a | <1}|nál nél|>1{\ displaystyle | a |> 1}

Ha a paraméter egyenlő 1-vel, a rendszer továbbra is stabil (stacionárius), míg ha ez a paraméter egyenlő -1-vel, akkor a konzervatív rendszeréhez hasonló tartós oszcillációkat figyelhetünk meg. Ez egy korlátozott ciklus egyszerűsített példája. Beszélhetünk egy szupersztár rendszerről, amely egy Liapunov-kitevőhöz kapcsolódik, amely a mínusz végtelen felé hajlik.

Korlátozott szekvenciák

A logisztikai szekvencia a korlátozott szekvencia legegyszerűbb példáját adja:

unem=nál nélunem-1(1-unem-1)(0⩽nál nél⩽4){\ displaystyle u_ {n} = a \, u_ {n-1} \, (1-u_ {n-1}) \ quad (0 \ leqslant a \ leqslant 4)}.

A geometriai sorrendre adott korrekciós kifejezés arra kényszeríti az értékeket, hogy a [0,1] intervallumban maradjanak. Ez a korlátozás összetett evolúciót vezet be.

Viszonylag gyenge értékeket a paraméterek egy találunk 0 és ½ superstable helyeket, amelyek között vannak pontok, amelynek aszimptotikus stabilitás minden erősebb, mint a kitevő inkább negatív. Ezután egy sor bifurkációt figyelünk meg, amelyek a határciklusok egyre bonyolultabb halmazait mutatják, amelyek ennek ellenére többé-kevésbé erős stabilitásnak felelnek meg, amelyet negatív exponens jelöl.

Amikor ez a kitevő pozitív lesz, akkor a divergencia kísérletét az intervallum határai korlátozzák. Ez egy kaotikus jelenséget eredményez, amelyben az evolúció, bár korlátozott marad, érzékeny a kezdeti feltételekre.

Történelmi bevezetés

A dinamikus rendszerek stabilitásának problematikáját különféle szerzők egymástól függetlenül vizsgálták: nevezetesen Nyikolaj Zsukovszkij 1882-ben, Henri Poincaré 1882 és 1886 között, valamint Alexandre Liapounov 1892-ben doktori értekezésében A mozgalom stabilitásának általános problémája ( először oroszul jelent meg, majd 1908-ban lefordították franciára, jóval később, 1992-ben pedig angolra). Ebből az alkalomból Liapunov nemcsak az igazságosan híres Liapunov-függvényeket mutatta be , hanem (és ez a cikk tárgya) a differenciálegyenlet megoldásának "jellegzetes számát" is. Oskar Perron 1929-ben inkább az ellentétes előjel mennyiségével okoskodott, és ezt nevezik ma "Liapunov kitevőnek" (vagy néha "jellegzetes kitevőnek", vagy akár "rendszámnak").

Vegyük például a függvényt , ahol c és a komplex számok, c nem nulla. Liapunov-kitevőjének kiszámításához meghatározzuk abszolút értékének logaritmusát, vagyis elosztjuk t-vel , amely megadja  ; ekkor hajlamosak vagyunk t a végtelen felé, és megkapjuk . Ha tehát , hajlamos 0, annál gyorsabban, mint a nagy, ha a függvény f nem hajlamos a 0, de továbbra is korlátos, ha , „elágazik”, annál is inkább gyorsan, mint nagy. f(t)=vs.enál nélt{\ displaystyle f (t) = ez ^ {at}}χ(f){\ displaystyle \ chi (f)}ln⁡(vs.)+ℜ(nál nél)t{\ displaystyle \ ln (c) + \ Re (a) t}ln⁡(vs.)/t+ℜ(nál nél){\ displaystyle \ ln (c) / t + \ Re (a)}χ(f)=ℜ(nál nél){\ displaystyle \ chi (f) = \ Re (a)}χ(f)<0{\ displaystyle \ chi (f) <0}f(t){\ displaystyle f (t)}|χ(f)|{\ displaystyle | \ chi (f) |}χ(f)=0{\ displaystyle \ chi (f) = 0}χ(f)>0{\ displaystyle \ chi (f)> 0}|f(t)|{\ displaystyle | f (t) |}χ(f){\ displaystyle \ chi (f)}

Liapunov célja a jellegzetes számok bevezetésével az volt, hogy megvizsgálja a differenciálegyenlet 0 egyensúlyi pontjának stabilitását.

(NL): dxdt=NÁL NÉL(t)x+g(x,t){\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = A (t) x + g (x, t)}

ahol a t idő folyamatosan függő mátrixa és g a lineáris rendszer "kis zavara" NÁL NÉL(t){\ displaystyle A (t)}

(L): dxdt=NÁL NÉL(t)x{\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = A (t) x}

közelében feltételezik, hogy egyensúlyi pont. Ez a megközelítés az „első Liapounov-módszer”. x=0{\ displaystyle x = 0}

Adjuk meg a hipotéziseket: g folytonos függvény, amely  ; feltételezzük, hogy vannak olyan állandóak és olyanok, amelyek a szomszédságában vannak , tehát (L) az (NL) első rendű közelítése ebben a környéken. Tegyük fel, hogy a rendszer nulla nulla megoldásának (L) Liapunov-kitevői mind . Ez azt jelenti, hogy mindezek a megoldások exponenciálisan hajlanak a 0 felé, és ezért a 0 aszimptotikailag stabil egyensúlyi pont (L) számára. Mi lesz akkor (NL)? g(0,t)=0,∀t{\ displaystyle g (0, t) = 0, \ összes t}vs.>0{\ displaystyle c> 0}v>1{\ displaystyle \ nu> 1}‖g(x,t)‖≤vs.‖x‖v{\ displaystyle \ left \ Green g \ left (x, t \ right) \ right \ Green \ leq c \ left \ Green x \ right \ Green ^ {\ nu}}x=0{\ displaystyle x = 0}<0{\ displaystyle <0}

Liapunov a következő eredményt mutatta:

Liapunov-tétel  -  A rendszer (L) nem egyformán nulla megoldásának Liapunov-kitevői végesek. Ha ez a rendszer „szabályos” (lásd alább ), és ha mindezek a kitevők (vagy ha ezen kitevők közül legalább egy van ), akkor a 0 egyensúlyi pont aszimptotikusan stabil (ill. Instabil) a rendszer számára (NL) . <0{\ displaystyle <0}>0{\ displaystyle> 0}

Másrészt, ha 0 exponenciálisan stabil (L), akkor az (NL) esetében is. Nem volt fölösleges az a „szabályszerűség” hipotézis, amelyet Liapunov akkor váltott ki? Ellenpéldaként Perron 1930-ban megmutatta, hogy nem ez a helyzet. Konkrétan az ellenpéldája a következő tényeket mutatja:

• Előfordulhat, hogy az (L) nem nulla megoldások mindegyikének van Liapunov-kitevője, és hogy az (0) egyensúlyi pont ennek ellenére instabil) (NL) esetén.<0{\ displaystyle <0}
• Előfordulhat, hogy létezik (L) megoldás, amelynek Liapunov-kitevője van, míg 0 aszimptotikailag stabil egyensúlyi pont (NL) számára.>0{\ displaystyle> 0}

A Perron által kiemelt jelenség (amelyet néha „Perron-effektusnak” hívnak) nagy hatással volt kortársaira, a nemlineáris rendszerek elméletének szakértőire; azzal magyarázható, hogy az általa tekintett rendszer „nem szabályos”. Egy ilyen rendszer esetében a megoldások mind exponenciálisan konvergálhatnak 0-ra anélkül, hogy a 0 exponenciálisan stabil egyensúlyi pont lenne. Perron pontosította a rendszeres rendszer fogalmát; Nicolai Chetaev 1948-ban az (L) oldatának Liapunov-kitevőiből állította az 0 (NL) instabilitási kritériumát. Ioėlʹ Gilʹevich Malkin 1952-ben és Nikolai N. Krasovskii 1959-ben leegyszerűsítette Liapunov, Perron és Chetaev bemutatóit; az utóbbi demonstrációit is korrigálták. Ezt a művet Wolfgang Hahn  (en) 1967- ben szintetizálta azóta mérvadónak tartott könyvében.

Liapunov funkciói mind a mai napig automatikus üzemmódban , sikerrel nem használhatók nemlineáris rendszerek vezérléséhez; nem itt kell részletezni ezt a pontot. Liapunov kiállítói viszont megújult érdeklődésben részesültek az 1960-as években, amikor a káoszelmélet megszületett , elsősorban Edward Lorenz munkájának köszönhetően . Utóbbi úgy határozta meg a káoszt, hogy egyrészt kapcsolódik a kezdeti viszonyok megoldásának érzékenységéhez (Henri Poincaré által a három test problémájáról írt dolgozatában 1889-ben már megfigyelt és elméleti jelenség), másrészt korlátozott globális vonzerő megléte ; a Lorenz vonzó ilyen természetű. Tekintsük a lineáris rendszer (L), és az egyszerűség kedvéért feltételezzük, a mátrix egy állandó. Ha ennek van egy sajátértéke, amelynek valós része van , akkor ez a rendszer instabil (azaz az egyedi egyensúlyi pontja instabil), ennek ellenére nem lehet kaotikus, mivel ebben az esetben . Ez a fajta megfigyelés a közelmúltban arra késztette a különféle szakértőket, köztük Gennagyij A. Leonovot, hogy figyelmeztessenek a Liapunov kitevőiből levonható visszaélésszerű következtetésekre. J. Mathiesen és P. Cvitanovi´c káoszelméleti tudósok nemrég a következőket írták a Káoszkönyvben  : >0{\ displaystyle> 0}x=0{\ displaystyle x = 0}limt→+∞‖x(t)‖=+∞{\ displaystyle \ lim \ limits _ {t \ rightarrow + \ infty} \ left \ Vert x \ left (t \ right) \ right \ Vert = + \ infty}

„  Kétségesek vagyunk a Ljapunov-kitevők hasznosságáról, mint bármilyen fizikai jelentőségű megfigyelhetőség előrejelzéséről, de ez a kisebbségi helyzet.  "

A kiállítók meghatározásának lehetősége Liapounov összefügg az Osedelets-tétellel  (in) (lásd alább ), amely az ergodicitás mély és nehéz matematikájának eredménye, amelyet 1965-ben mutattak be. Itt csak annyit mondhatunk, hogy Liapunov kitevőinek viszontagságai a a valamivel több mint egy évszázados történelem azt mutatja, hogy ezeket okosan kell felhasználni, hogy meghatározzuk a mozgások kezdeti viszonyok iránti érzékenységét, és veszélyes, ha túl akarunk lépni.

Definíció és alapvető tulajdonságok

Meghatározás és példák

Legyen E véges dimenziós vektortér a valósok vagy komplexek mezője és a valós változó (illetve szekvenciák) függvényeinek vektortereje , E értékekkel, és az (ill. ) alkotnak , . A következőkben kényelmes lesz egy szekvenciát függvényként jelölni. FE{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {E}}én{\ displaystyle {\ mathcal {I}}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}[t0,+∞[{\ displaystyle \ left [t_ {0}, + \ infty \ right [}t0>0{\ displaystyle t_ {0}> 0}

Definíció  -  Ha az f nem tűnik el , a Liapunov kitevője:f∈FE{\ displaystyle f \ in {\ mathcal {F}} _ {E}}én{\ displaystyle {\ mathcal {I}}}

χ(f)=lim.supt→+∞,t∈énln⁡‖f(t)‖t{\ displaystyle \ chi \ left (f \ right) = {\ underset {t \ rightarrow + \ infty, t \ in {\ mathcal {I}}} {\ lim. \ sup}} {\ frac {\ ln \ bal \ Vert f \ bal (t \ jobb) \ jobb \ Vert} {t}}}, és .χ(0)=-∞{\ displaystyle \ chi \ left (0 \ right) = - \ infty}

Ha az a mennyiség, a jobb oldali egy határ (ahelyett, hogy egy felső határ), azt mondjuk, hogy az f enged teret a pontos Liapunov kitevő . χ(f){\ displaystyle \ chi \ bal (f \ jobb)}

Ez a meghatározás eleve az E-ben kiválasztott szabványtól függ . De azonnal két egyenértékű norma határozza meg ugyanazt a Liapunov-kitevőt; mindazonáltal az összes norma ekvivalens egy véges dimenziós térben, ezért a definíció belső. ‖.‖{\ displaystyle \ left \ Vert. \ right \ Vert}

Példa

Legyen a szekvencia , ahol c és a nem nulla komplex számok. Megvan , tehát ugyanazok a következtetések, mint fent a funkcióval kapcsolatban . f(t)=vs.nál nélt{\ displaystyle f (t) = ca ^ {t}}χ(f)=ln⁡|nál nél|{\ displaystyle \ chi (f) = \ ln | a |}f(t)=vs.enál nélt{\ displaystyle f (t) = ez ^ {at}}

Ez a példa, akármilyen egyszerű is, olyan, mint a precedens, amely nagyon jellemző Liapunov kitevő fogalmára.

Elemi tulajdonságok

Az elkészült sor összeadását és szorzását a szokásos módon határozzuk meg; mennyiségeket, és nincsenek meghatározva. Mi pózolunk és . A következőkben E egy véges dimenziós vektorteret jelöl. A következő tulajdonságok a definíció közvetlen következményei; többségüket Liapunov bizonyította: R¯{\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}-∞+∞{\ displaystyle - \ infty + \ infty}0.±∞{\ displaystyle 0. \ pm \ infty}ln⁡(0)=-∞{\ displaystyle \ ln (0) = - \ infty}ln⁡(+∞)=+∞{\ displaystyle \ ln (+ \ infty) = + \ infty}

(1) Egy konstans a szigorú Liapunov exponensre vallja a 0. értéket. Általánosságban elmondható, hogy ha olyan, hogy két konstans van, amelyre akkor . f∈FE{\ displaystyle f \ in {\ mathcal {F}} _ {E}}nál nél,b>0{\ displaystyle a, b> 0}nál nél≤‖f(t)‖≤b,∀t∈én{\ displaystyle a \ leq \ left \ Vert f (t) \ right \ Vert \ leq b, \ forall t \ in {\ mathcal {I}}}χ(f)=0{\ displaystyle \ chi (f) = 0}

(2) Let és ( ). Így fén∈FE{\ displaystyle f_ {i} \ in {\ mathcal {F}} _ {E}}vs.én∈VS∖{0}{\ displaystyle c_ {i} \ in \ mathbb {C} \ hátsó perjel \ bal \ {0 \ jobb \}}én=1,...,nem{\ displaystyle i = 1, ..., n}

χ(∑én=1nemvs.énfén)≤sup1≤én≤nem{χ(fén)}{\ displaystyle \ chi \ left (\ sum \ nolimits _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} f_ {i} \ right) \ leq \ sup _ {1 \ leq i \ leq n} \ bal \ {\ chi \ left (f_ {i} \ right) \ right \}}

egyenlőséggel, ha . χ(fén)>χ(fj)(j≠én){\ displaystyle \ chi \ left (f_ {i} \ right)> \ chi \ left (f_ {j} \ right) (j \ neq i)}

(3) Legyen ( ) véges dimenziós terek, több vonalas térkép és ( ). Így Eén{\ displaystyle E_ {i}}én=1,...,nem{\ displaystyle i = 1, ..., n}u:∏1≤én≤nemEén→E{\ displaystyle u: \ prod \ nolimits _ {1 \ leq i \ leq n} E_ {i} \ rightarrow E}fén∈FEén{\ displaystyle f_ {i} \ in {\ mathcal {F}} _ {E_ {i}}}én=1,...,nem{\ displaystyle i = 1, ..., n}

χ(u(f1,...,fnem))≤∑én=1nemχ(fén){\ displaystyle \ chi \ left (u \ left (f_ {1}, ..., f_ {n} \ right) \ right) \ leq \ sum \ nolimits _ {i = 1} ^ {n} \ chi \ balra (f_ {i} \ jobbra)}.

(4) Legyen és ahol egy elismeri szigorú Liapunov kitevő. Így f∈FE{\ displaystyle f \ in {\ mathcal {F}} _ {E}}nál nél∈FVS{\ displaystyle a \ in {\ mathcal {F}} _ {\ mathbb {C}}}

χ(nál nélf)=χ(nál nél)+χ(f){\ displaystyle \ chi \ left (af \ right) = \ chi \ left (a \ right) + \ chi \ left (f \ right)}.

(5) Legyen ( ) pozitív értékű szekvencia vagy függvény. Így fén∈FR{\ displaystyle f_ {i} \ in {\ mathcal {F}} _ {\ mathbb {R}}}én=1,...,nem{\ displaystyle i = 1, ..., n}

χ(∑én=1nemfén)≥inf1≤én≤nemχ(fén){\ displaystyle \ chi \ left (\ sum \ nolimits _ {i = 1} ^ {n} f_ {i} \ right) \ geq \ inf _ {1 \ leq i \ leq n} \ chi \ left (f_ { i} \ jobbra}}.

(6) Ha olyan szekvencia van, amely nem tűnik el és olyan, hogy akkor f∈FVS{\ displaystyle f \ itt: {\ mathcal {F}} _ {\ mathbb {C}}}lim.supt→+∞|f(t)|=l∈R¯{\ displaystyle {\ underset {t \ rightarrow + \ infty} {\ lim. \ sup}} \ left \ vert f \ left (t \ right) \ right \ vert = l \ in {\ overline {\ mathbb {R }}}}

χ(t↦∏τ=t0tf(τ))≤ln⁡(l){\ displaystyle \ chi \ left (t \ mapsto \ prod \ limits _ {\ tau = t_ {0}} ^ {t} f \ left (\ tau \ right) \ right) \ leq \ ln (l)}

egyenlőséggel, ha a felső határ határ.

(7) Ha egy folyamatos függvény (vagy általánosabban mérhető a Lebesgue-mérés értelmében), akkor f∈FE{\ displaystyle f \ in {\ mathcal {F}} _ {E}}

χ(t↦∫f(t)dt)≤χ(f){\ displaystyle \ chi \ left (t \ mapsto \ int f \ left (t \ right) dt \ right) \ leq \ chi \ left (f \ right)}

egyenlőséggel, ha , és f csak pozitív értékeket vesz fel , és szigorú Liapunov kitevőt vesz fel. E=R{\ displaystyle E = \ mathbb {R}}

(8) Ha és , akkor a függvények lineárisan függetlenek. fén∈FE(én=1,...,nem){\ displaystyle f_ {i} \ in {\ mathcal {F}} _ {E} (i = 1, ..., n)}χ(f1)>χ(f2)>...>χ(fnem){\ displaystyle \ chi (f_ {1})> \ chi (f_ {2})> ...> \ chi (f_ {n})}f1,...,fnem{\ displaystyle f_ {1}, ..., f_ {n}}

(9) Ha nem tűnik el, akkor  ; ha ráadásul csak akkor létezik egyenlőség, ha létezik és véges. f∈FVS{\ displaystyle f \ itt: {\ mathcal {F}} _ {\ mathbb {C}}}χ(f)+χ(1/f)≥0{\ displaystyle \ chi (f) + \ chi (1 / f) \ geq 0}f(t)=eth(t){\ displaystyle f (t) = e ^ {th (t)}}limt→+∞h(t){\ displaystyle \ lim \ limits _ {t \ rightarrow + \ infty} h (t)}

A dinamikus rendszerek Liapunov-kitevői

Meghatározás

Vegyünk egy differenciálható dinamikus rendszert, amelyet a differenciálegyenlet határoz meg:

x˙=f(x,t){\ displaystyle {\ dot {x}} = f (x, t)}

ahol t az idő ,, és f megfelel a Cauchy-Lipschitz-tétel alkalmazásának szokásos feltételeinek; ennek a függvénynek az értékekkel együtt feltételezhetően folyamatosan differenciálható az x szempontjából . Egy adott kezdeti feltétel esetében létezik tehát egy egyedi megoldás , amelyet feltételezzük, hogy meghatározzuk . A térkép az f vektormező által meghatározott folyamat . Van , ami a család egy félig csoport a diffeomorphisms. x˙=dx/dt{\ displaystyle {\ dot {x}} = dx / dt}Rnem{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}x(t0)=x0{\ displaystyle x (t_ {0}) = x_ {0}}x(t)=φ(x0,t)=gt(x0){\ displaystyle x (t) = \ varphi (x_ {0}, t) = g ^ {t} (x_ {0})}[t0,+∞[{\ displaystyle [t_ {0}, + \ infty [}g:t↦gt:x0↦gtx0{\ displaystyle g: t \ mapsto g ^ {t}: x_ {0} \ mapsto g ^ {t} x_ {0}}gt+s=gsgt(t≥t0,s≥0){\ displaystyle g ^ {t + s} = g ^ {s} g ^ {t} \ balra (t \ geq t_ {0}, s \ geq 0 \ right)}(gt)t≥t0{\ displaystyle \ left (g ^ {t} \ right) _ {t \ geq t_ {0}}}

Legyen tehát megoldás (más néven mozgás ) . Tegyük fel, hogy a kezdeti feltételt egy olyan mennyiséggel változtatjuk, ahol . Ez ugyanis a mozgás variációját eredményezi , elhanyagolva a másodrendű kifejezéseket, ahol x(t)=gtx0=φ(x0,t){\ displaystyle x (t) = g ^ {t} x_ {0} = \ varphi (x_ {0}, t)}x0{\ displaystyle x_ {0}}εδx0{\ displaystyle \ varepsilon \ delta x_ {0}}ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}ε→0{\ displaystyle \ varepsilon \ rightarrow 0}εδx(x0,t){\ displaystyle \ varepsilon \ delta x \ bal (x_ {0}, t \ jobb)}

δx(x0,t)=Jt(x0)δx0{\ displaystyle \ delta x \ left (x_ {0}, t \ right) = J ^ {t} \ left (x_ {0} \ right) \ delta x_ {0}}, a .Jt(x0)=∂φ∂x0(x0,t){\ displaystyle J ^ {t} \ left (x_ {0} \ right) = {\ frac {\ partis \ varphi} {\ részleges x_ {0}}} \ bal (x_ {0}, t \ jobb)}

Ebből kifolyólag,

sup‖δx0‖=1‖δx(x0,t)‖=σ¯(Jt(x0)){\ displaystyle \ sup \ limits _ {\ left \ Vert \ delta x_ {0} \ right \ Vert = 1} \ left \ Vert \ delta x \ left (x_ {0}, t \ right) \ right \ Vert = {\ overline {\ sigma}} \ bal (J ^ {t} \ bal (x_ {0} \ jobb) \ jobb)}

ahol a zárójelben lévő mátrix legnagyobb egyesértékét jelöli . Általánosabban, σ¯(.){\ displaystyle {\ overline {\ sigma}} (.)}

Definíció  -  Legyen az egyes számértékek (más szóval a sajátértékek négyzetgyökei ). A dinamikus rendszer Liapunov-kitevői azok . σén(t,x0)(én=1,...,nem){\ displaystyle \ sigma _ {i} (t, x_ {0}) (i = 1, ..., n)}Jt(x0){\ displaystyle J ^ {t} \ bal (x_ {0} \ jobb)}Jt(x0)TJt(x0){\ displaystyle J ^ {t} \ left (x_ {0} \ right) ^ {T} J ^ {t} \ left (x_ {0} \ right)}χ(σén(.,x0))(én=1,...,nem){\ displaystyle \ chi (\ sigma _ {i} (., x_ {0})) (i = 1, ..., n)}

A rendszer Liapunov-kitevőinek kiszámítása

A fenti definíció nem teszi lehetővé a rendszer Liapunov-kitevőinek közvetlen kiszámítását. Nekünk van

∂2φ∂x0∂t(x0,t)=∂∂x0(f(φ(x0,t),t))=∂f∂x(φ((x0,t),t)∂φ∂x0(x0,t){\ displaystyle {\ frac {\ részleges ^ {2} \ varphi} {\ részleges x_ {0} \ részleges t}} (x_ {0}, t) = {\ frac {\ részleges} {\ részleges x_ {0 }}} \ left (f (\ varphi \ left (x_ {0}, t), t \ right) \ right) = {\ frac {\ részleges f} {\ részleges x}} \ bal (\ varphi \ bal ((x_ {0}, t \ jobb), t \ jobb) {\ frac {\ részleges \ varphi} {\ részleges x_ {0}}} \ bal (x_ {0}, t \ jobb)}

ezért megkapjuk

ddtJt(x0)=NÁL NÉL(x0,t)Jt(x0){\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} J ^ {t} \ bal (x_ {0} \ jobb) = A (x_ {0}, t) J ^ {t} \ bal (x_ {0} \ jobb)}a .NÁL NÉL(x0,t)=∂f∂x(φ(x0,t),t){\ displaystyle A (x_ {0}, t) = {\ frac {\ részleges f} {\ részleges x}} \ bal (\ varphi \ bal (x_ {0}, t \ jobb), t \ jobb)}

Ezen felül nyilvánvalóan van . Jt0(x0)=énnem{\ displaystyle J ^ {t_ {0}} (x_ {0}) = I_ {n}}

Ez a számítás és az Oseledec-tétel lehetővé teszi számunkra a kijelentést

Tétel  -  (i) A család félcsoport, és a függvény a lineáris "variációk egyenletének" egyedi megoldása (Jt)t≥t0{\ displaystyle \ bal (J ^ {t} \ jobb) _ {t \ geq t_ {0}}}Φx0:t↦Jt(x0){\ displaystyle \ Phi _ {x_ {0}}: t \ mapsto J ^ {t} \ bal (x_ {0} \ jobb)}

(EV): dΦx0dt=NÁL NÉL(x0,t)Φx0{\ displaystyle {\ frac {d \ Phi _ {x_ {0}}} {dt}} = A (x_ {0}, t) \ Phi _ {x_ {0}}}

a kezdeti állapot ellenőrzése . Φx0=énnem{\ displaystyle \ Phi _ {x_ {0}} = I_ {n}}

(ii) A Liapunov-kitevők "szinte biztosan" pontosak (az áramlás ergodikus valószínűségi mértékének értelmében ) a határértékek χ(σén(.,x0)){\ displaystyle \ chi (\ sigma _ {i} (., x_ {0}))}}gt{\ displaystyle g ^ {t}}

Λ(x0)=limt→+∞(Jt(x0)TJt(x0))1/(2t){\ displaystyle \ Lambda \ left (x_ {0} \ right) = \ lim \ limits _ {t \ rightarrow + \ infty} \ left (J ^ {t} \ left (x_ {0} \ right) ^ {T } J ^ {t} \ bal (x_ {0} \ jobb) \ jobb) ^ {1 / (2t)}}

szinte biztosan létezik (a valószínűség azonos mértékének értelmében), és ezek a sajátértékek logaritmusai . χ(σén(.,x0)){\ displaystyle \ chi (\ sigma _ {i} (., x_ {0}))}}Λ(x0){\ displaystyle \ Lambda \ bal (x_ {0} \ jobb)}

A szimulációban meghatározható a lineáris egyenlet (EV) és a jelzett kezdeti feltétel integrálása, majd levezethetők belőle a Liapunov-kitevők . Ad hoc módszerek is léteznek a Liapunov-exponensek megközelítő módon történő kiszámítására a kísérleti adatok alapján. Jt(x0){\ displaystyle J ^ {t} \ bal (x_ {0} \ jobb)}χ(σén(.,x0))(én=1,...,nem){\ displaystyle \ chi (\ sigma _ {i} (., x_ {0})) (i = 1, ..., n)}

Rendszeres lineáris rendszerek

Liapunov fentebb említett tétele a rendszeres rendszer fogalmát hívja fel . Ezt a fogalmat Liapunov vezette be. Tekintsük az (L) egyenletet és a hozzá tartozó egyenletet

(HIRDETÉS): dydt=-NÁL NÉL(t)y.{\ displaystyle {\ frac {dy} {dt}} = - A (t) y.}

Az (L) egyenletnek - amint láttuk - véges Liapunov-kitevői vannak  ; hasonlóképpen az (AD) egyenletnek véges Liapunov-kitevői vannak . λ1≤λ2≤...≤λnem{\ displaystyle \ lambda _ {1} \ leq \ lambda _ {2} \ leq ... \ leq \ lambda _ {n}}μ1≥μ2≥...≥μnem{\ displaystyle \ mu _ {1} \ geq \ mu _ {2} \ geq ... \ geq \ mu _ {n}}

Definíció  -  A rendszer (L) szabályos, ha . λén+μén=0(én=1,...,nem){\ displaystyle \ lambda _ {i} + \ mu _ {i} = 0 (i = 1, ..., n)}

Ezt a definíciót meglehetősen kényelmetlen ellenőrizni, és ehelyett a Perron miatt használhatjuk a módszert, amelyet most kiteszünk.

Tegyük fel, hogy elvégezzük (L) a változó változását, ahol folyamatosan differenciálható függvény van, és minden t-re invertálható  ; így kapunk egy új (T) egyenletet. Ennek során, nem változtatja meg a rendszer (L) (azaz, ha 0 stabil, ill. Aszimptotikusan stabilis, stb, az (L), akkor az is az (T)) ha P egy transzformációs a Liapunov a következő értelemben: x=P(t)z{\ displaystyle x = P (t) z}P:[t0,+∞[→Rnem×nem{\ displaystyle P: [t_ {0}, + \ infty [\ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n \ szor n}}P(t){\ displaystyle P (t)}

Definíció  -  P egy Liapunov átalakulás, ha a funkciókat , és korlátosak. t↦‖P(t)‖{\ displaystyle t \ mapsto \ left \ Vert P (t) \ right \ Vert}t↦‖P˙(t)‖{\ displaystyle t \ mapsto \ left \ Green \ \ dot {P}} (t) \ right \ Green}t↦‖P-1(t)‖{\ displaystyle t \ mapsto \ left \ Vert P ^ {- 1} (t) \ right \ Vert}

Perron megállapította, hogy ha korlátos, mindig meghatározhatunk egy Liapunov-transzformációt, amelynek (T) formája NÁL NÉL:t↦NÁL NÉL(t){\ displaystyle A: t \ mapsto A (t)}

(T): dzdt=B(t)z{\ displaystyle {\ frac {dz} {dt}} = B (t) z}

hol van a felső háromszög. Legyen az átlós fogalma. Ezután megvan a B(t){\ displaystyle B (t)}bénén(t){\ displaystyle b_ {ii} (t)}

Tétel (Perron, 1922)  -  A rendszer (T) akkor és csak akkor szabályos, ha a határ

limt→+∞1t-t0∫t0tbénén(τ)dτ{\ displaystyle \ lim \ limits _ {t \ rightarrow + \ infty} {\ frac {1} {t-t_ {0}}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} b_ {ii} \ balra (\ tau \ jobbra) d \ tau}

számára létezik én=1,...,nem.{\ displaystyle i = 1, ..., n.}

Ez az eredmény és Floquet tétele azt mutatja, hogy bármely lineáris rendszer periodikus együtthatóval (és különösen bármely lineáris rendszer állandó együtthatóval) szabályos.

Megjegyzések és hivatkozások

Megjegyzések

1. stabilitást leggyakrabban egy egyensúlyi ponthoz határozzák meg; de ez a fogalom kiterjedhet egy rendszer mozgására (vagyis a cikk keretein belül annak állapotegyenletének megoldására) ( Hahn 1967 , V. fejezet).
2. Ugyanezt az érvelést lehet megtenni a névleges mozgás körüli linearizálásnál is.
3. [1] A káosz számszerűsítése Ljapunov-kitevőkkel
4. [2] Káosz mérése Lyapunov Exponent
5. Ljapunov 1992
6. Hahn 1967
7. Perron 1930
8. Vannak különböző fogalmak a stabilitás a mozgás, különösen a Liapunov, Zsukovszkij és Poincaré, majd a legerősebb a leggyengébb ezen tulajdonságok; egyensúlyi pont esetén ekvivalensek; egy időszakos mozgalom esetében Zsukovszkij és Poincaréé egyenértékű. A mozgalom instabilitása Zsukovszkij értelmében (ami tehát Liapunov, de Poincaré értelmében nem ehhez vezet), amely legjobban jellemzi a kezdeti viszonyokra való érzékenységét ( Leonov 2008 ).
9. Leonov 2008
10. Cvitanovi´c et al. 2013 , 6. fejezet.
11. Eckmann és Ruelle 1985
12. Feltételezhetjük általánosabban, hogy ez egy Banach-tér.
13. Cesari 1963
14. Alley 1979

Hivatkozások

• en) Lamberto Cesari , Aszimptotikus viselkedés és stabilitás a szokásos differenciálegyenletekben , Springer Verlag,1963( ISBN  3-642-85673-X )
• (en) Predrag Cvitanovi'c , Roberto Artuso , Ronnie Mainieri , Gregor Tanner és G'abor Vattayt , káosz: Klasszikus és Quantum: I: A determinisztikus káosz , ChaosBook.org,2013( online olvasás )
• (en) JP Eckmann és D. Ruelle , „  A káosz és a furcsa vonzerők ergodikus elmélete  ” , A modern fizika áttekintése , vol.  57, n o  3,1985, P.  617-656 ( online olvasás )
• (en) Gennadi A. Leonov , furcsa vonzerők és a klasszikus stabilitási elmélet , St. Petersburg University Press,2008( ISBN  978-5-288-04500-4 )
• en) Wolfgang Hahn , mozgásstabilitás , Springer-Verlag ,1967( ISBN  0-387-03829-9 )
• en) Alexandre Liapounov , A mozgásstabilitás általános problémája , CRC Press ,1992( ISBN  0-7484-0062-1 )
• (de) Oskar Perron , „  Die Stabilitätsfrage bei Differentialgleichungen  ” , Mathematische Zeitschrift , vol.  32, n o  1,1930, P.  703–728 ( online olvasás )
• (en) David Ruelle , „  A differenciálható dinamikai rendszerek ergodikus elmélete  ” , Publications Mathematics de l'IHÉS , vol.  50,1979, P.  27–58 ( online olvasás )

Kapcsolódó cikkek

• Liapunov időtartama
• Liapunov fraktál
• Liapunov stabilitás

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">