Thomae funkció

A Thomae-függvény (amelyet néha pattogatott kukorica- függvénynek is hívnak ) egy olyan valós funkció példája, amely egyszerre folytonos egy sűrű rész (az irracionálisok halmaza ) minden pontján, és egy másik sűrű részen (az ésszerűségek halmaza) folytonos . Thomae funkcióját az határozza meg ${\ displaystyle T \ kettőspont \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle T (x) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {si}} x \ notin \ mathbb {Q}, \\ 1 & {\ text {si}} x = 0, \\ 1 / q és {\ text {si}} x = p / q, \ mathrm {~ frakció ~ irr {\ akut {e}} kiskereskedelmi ~ non ~ null} \ end {esetek}}}

(Egy nem csökkenthető frakció egy hányados p / q két egész szám prím legyen , a q > 0).

A Thomae-függvény a Dirichlet-függvény egyik változata . Carl Johannes Thomae matematikus tiszteletére nevezték el, aki először 1875-ben határozta meg.

Tulajdonságok

Thomae féle funkciója T a egységes határa sorozatából funkciók T n , amelyek mindegyike, bármely szegmens [ a , b ], nulla, kivéve egy véges számú pontot. Ebből kifolyólag :

A T határértéke („tompa” határa) minden ponton nulla, tehát felsőbbrendűen félig folytonos (ezért az 1. Baire osztályba tartozó ), minden irracionális ponton folytonos, és ésszerűségre korlátozása mindenütt folytonos;
Lebesgue kritériuma szerint T ezért Riemann-integrálható bármely [ a , b ] szegmensben (mert szinte mindenhol folytatódik);
még azt is szabályozza (mivel a T n vannak lépcsős funkciók ) és annak Riemann integrál [ a , b ] értéke nulla (mint, hogy a T n ).
T egyetlen ponton sem differenciálható.

Demonstráció

Közelítés T n-vel :
Bármely korlátozott intervallumban bármely n > 0 egész számra csak egy véges számú racionális argumentum van, amelynek T- képe nagyobb, mint 1 / n : ezek azok a p / q , amelyek q < n . (Ezenkívül a T grafikonján láthatjuk , például a jelen cikk tetején látható ábrán; és Euklidész gyümölcsösében csak véges számú fa van, amelyek látszólagos magassága nagyobb, mint egy adott magasság.)
Nem differenciálhatóság:
A differenciálhatóság kérdése csak azokban a pontokban merül fel, ahol T folytonos, vagyis irracionálisak. Ha x irracionális, az irracionális számok szekvenciáinak növekedését figyelembe véve könnyen megállapíthatjuk, hogy ha T feltételezhető, hogy differenciálható x-ben, akkor szükségszerűen T ' ( x ) = 0. De bármely n > 0 egész szám esetén: megadva j n egész számot, amely | j n - nx | <1, van | j n / n - x | <1 / n ; akkor a növekedés sorrendjének figyelembevételével ellentmondásba kerülünk, mert ezek a növekedések abszolút értékben mindig nagyobbak, mint 1, és ezért nem hajlamosak a 0 felé. ${\ displaystyle {\ frac {T (h_ {n}) - T (x)} {h_ {n} -x}}}$ ${\ displaystyle h_ {n} \ rightarrow x}$ ${\ displaystyle {\ frac {T (j_ {n} / n) -T (x)} {j_ {n} / nx}}}$

A T a folyamatos bekapcsolás és a folytonos funkció bekapcsolásának a példája . Ezzel szemben nincs folyamatos és folyamatos szakaszos funkció . Valójában nem G δ , míg a valós függvény folytonossági pontjainak halmaza egy. ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ $\ mathbb {Q}$

Thomae és Euklidész gyümölcsösének funkciója

Ezt a funkciót arra használják, hogy kiemeljenek bizonyos furcsa viselkedéseket, amelyek a határ és a folytonosság fogalmának meghatározásához kapcsolódnak a matematikában. Bár küllemében furcsa, de nagyon természetes módon bevezethető, például " Euklidész gyümölcsösének " példájára .

Tekintsük azt a hálózatot, amelyet az ( i , j , 0) és ( i , j , 1) összekötő függőleges vonalszakaszok alkotnak , ahol i és j a szigorúan pozitív egészek halmazát írják le . Ezek a szegmensek, amelyek rendszeresen ültetett fákat képviselnek, alkotják az " euklideszi gyümölcsös " -t.

Az origóból látható fák megfelelnek a hálózat azon pontjainak ( i , j , 0), ahol i és j koptársak. Ha a gyümölcsös az origóhoz viszonyított lineáris perspektívából vetül ki az x + y = 1 síkban (azaz ha az origótól perspektívában nézzük, ha az első felezőre merőleges síkban képződött képet nézzük ), akkor a a kivetített fák alkotják a Thomae-függvény grafikonját .

Általánosítások

Különbség

A következő „módosított Thomae-függvény” az $a = ( a q ) q > 0$ csökkenő valós szekvenciákhoz társul, amelyek konvergálnak 0-ra:

{\ displaystyle T_ {a} (x) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {si}} x \ notin \ mathbb {Q}, \\ 1 & {\ text {si}} x = 0, \\ a_ {q} és {\ text {si}} x = p / q, \ mathrm {~ tört ~ irr {\ akut {e}} levonható ~ nem ~ nulla.} \ vég {esetek}}}

A folyamatosság szempontjából ugyanolyan viselkedésű, mint a $T$ , és sűrű, megszámlálhatatlan irracionális halmazon még mindig nem vezethető le . Azonban, bármilyen megszámlálható halmaz E a irracionálisnak, létezik egy $olyan$ , hogy bármely pontján E , $T egy$ differenciálható (tehát nulla-származék). Sőt, a domain derivability a $T egy$ , sebessége határozza meg a csökkenés a sorozat $egy$ , gyakran sokkal nagyobb. Például :

számára $egy q = 1 / q k$ , $T egy$ sehol sem differenciálható, ha k ≤ 2, de ha k > 2, ez teljesen irracionális differenciálható egy intézkedés irracionalitásának szigorúan kisebb, mint k , tehát majdnem mindenütt (és egy sűrű része);
számára $egy q = 1 / e q$ , $T egy$ még differenciálható minden irracionális, amely nem a Liouville .

Bijektivitás

Induljunk , és q egész szám nagyobb vagy egyenlő, mint 2, Induljunk a készlet frakciók , ahol p leírja az nem nulla relatív egész szám úgy, hogy p jelentése prím a q . A család a partíciót alkotja . Minden q , egy diszkrét halmaz , amelyre számíthatunk az elemek szigorúan növekvő sorrendben , hogy az a legkisebb pozitív vagy nulla eleme . Pózoljunk aztán: ${\ displaystyle H_ {1} = \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle H_ {q}}$ ${\ frac {p} {q}}$ ${\ displaystyle H_ {q}}$ ${\ mathbb Q}$ ${\ displaystyle H_ {q}}$ ${\ displaystyle \ dots <a _ {- 2} (q) <a _ {- 1} (q) <a_ {0} (q) <a_ {1} (q) <a_ {2} (q) < \ dots}$ ${\ displaystyle a_ {0} (q)}$ ${\ displaystyle H_ {q}}$

{\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} x & {\ text {si}} x \ notin \ mathbb {Q}, \\ a_ {n + 1} (q) és {\ text {si} } x = a_ {n} (q), n \ in \ mathbb {Z}, q \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ end {esetek}}}

Ezután megmutathatjuk, hogy f az in -one egy-egy függvénye , folytonos minden irracionális pontban, folytonos minden racionális pontban. $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {R}$

Lásd is

Blumberg tétele

Megjegyzések és hivatkozások

(in) Kevin Beanland , James W. Roberts és Craig Stevenson , " Thomae funkciójának és differenciálhatóságának változásai " , Amer. Math. Havi , vol. 116, n o 6,2009. június-július, P. 531-535 ( online olvasás ).
Jean-Paul Delahaye, „ Szörnyű, de hasznos funkciók ”, Pour la science , n o 517,2020 november, P. 80-85
(in) Judith D. Sally és Paul J. Sally, Jr. (in) , Roots Kutatás: A függőleges fejlesztése matematikai problémák , AMS ,2007, 338 p. ( ISBN 978-0-8218-7267-3 , online olvasás ) , p. 232.
(in) kannai Zoltán, " Egy-egy funkciós popcorn " , Amer. Math. Havi , vol. 124, N o 8,2017. október, P. 746-748