Hiányos gamma funkció
A matematikai analízis , több definíciója hiányos gamma funkció : egy komplex paraméter egy egy szigorúan pozitív valós része ,
γ(nál nél,x)=∫0xtnál nél-1e-tdt,Γ(nál nél,x)=∫x∞tnál nél-1e-tdt=Γ(nál nél)-γ(nál nél,x),P(nál nél,x)=γ(nál nél,x)Γ(nál nél)=1Γ(nál nél)∫0xe-ttnál nél-1dt,γ∗(nál nél,x)=x-nál nélP(nál nél,x)=x-nál nélΓ(nál nél)γ(nál nél,x).{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ gamma (a, x) & = \ int _ {0} ^ {x} t ^ {a-1} {\ rm {e}} ^ {- t} {\ rm {d}} t, \\\ Gamma (a, x) & = \ int _ {x} ^ {\ infty} t ^ {a-1} {\ rm {e}} ^ {- t} {\ rm {d}} t = \ Gamma (a) - \ gamma (a, x), \\ P (a, x) & = {\ frac {\ gamma (a, x)} {\ Gamma (a)}} = {\ frac {1} {\ Gamma (a)}} \ int _ {0} ^ {x} {\ rm {e}} ^ {- t} t ^ {a-1} {\ rm {d} } t, \\\ gamma ^ {*} (a, x) & = x ^ {- a} P (a, x) = {\ frac {x ^ {- a}} {\ Gamma (a)}} \ gamma (a, x). \ end {igazítva}}}
Származékok
A származék a hiányos gamma-függvény Γ ( a , x ) képest x az ellentéte az integrandus az annak szerves meghatározás:
∂Γ(nál nél,x)∂x=-xnál nél-1e-x.{\ displaystyle {\ frac {\ részleges \ Gamma (a, x)} {\ részleges x}} = - x ^ {a-1} {\ rm {e}} ^ {- x}.}
A derivált paraméter egy adják
∂Γ(nál nél,x)∂nál nél=ln(x)Γ(nál nél,x)+x T(3,nál nél,x){\ displaystyle {\ frac {\ részleges \ Gamma (a, x)} {\ részleges a}} = \ ln (x) \ Gamma (a, x) + x ~ T (3, a, x)}
a második származék pedig
∂2Γ(nál nél,x)∂nál nél2=ln2(x)Γ(nál nél,x)+2x (ln(x) T(3,nál nél,x)+T(4,nál nél,x)),{\ displaystyle {\ frac {\ részleges ^ {2} \ Gamma (a, x)} {\ részleges a ^ {2}}} = \ ln ^ {2} (x) \ Gamma (a, x) + 2x ~ (\ ln (x) ~ T (3, a, x) + T (4, a, x)),}
ahol a T ( m , a , x ) függvény Meijer (en) G függvényének speciális esete
T(m,nál nél,z)=Gm-1,m m, 0(x|0,0,...0-1,-1,...,nál nél-1,-1).{\ displaystyle T (m, a, z) = G_ {m-1, m} ^ {~ m, ~ 0} \ bal (x \ bal | {\ begin {tömb} {c} 0,0, \ ldots 0 \\ - 1, -1, \ ldots, a-1, -1 \ end {tömb}} \ jobb. \ Jobb).}
Ez a konkrét eset sajátos belső záró tulajdonságokkal rendelkezik, mivel lehetővé teszi az összes egymást követő származék kifejezését. Általánosságban,
∂mΓ(nál nél,x)∂nál nélm=lnm(x)Γ(nál nél,x)+mx ∑én=0m-1Pénm-1lnm-én-1(x) T(3+én,nál nél,x){\ displaystyle {\ frac {\ részleges ^ {m} \ Gamma (a, x)} {\ részleges a ^ {m}}} = \ ln ^ {m} (x) \ Gamma (a, x) + mx ~ \ sum _ {i = 0} ^ {m-1} P_ {i} ^ {m-1} \ ln ^ {mi-1} (x) ~ T (3 + i, a, x)}
ahol P a csökkenő tényezőt jelöli :
Pjén=én!(én-j)!.{\ displaystyle P_ {j} ^ {i} = {\ frac {i!} {(ij)!}}.}
Mindezek a származékok előállíthatók
∂T(m,nál nél,x)∂nál nél=ln(x) T(m,nál nél,x)+(m-1)T(m+1,nál nél,x){\ displaystyle {\ frac {\ részleges T (m, a, x)} {\ részleges a}} = \ ln (x) ~ T (m, a, x) + (m-1) T (m + 1 , a, x)}
és
∂T(m,nál nél,x)∂x=-1x(T(m-1,nál nél,x)+T(m,nál nél,x)).{\ displaystyle {\ frac {\ részleges T (m, a, x)} {\ részleges x}} = - {\ frac {1} {x}} (T (m-1, a, x) + T ( m, a, x)).}
Ez a T ( m , a , x ) függvény kiszámítható a | -ra érvényes soros ábrázolásával z | <1 :
T(m,nál nél,z)=-(-1)m-1(m-2)!dm-2dtm-2[Γ(nál nél-t)zt-1]|t=0+∑én=0∞(-1)énznál nél-1+énén!(-nál nél-én)m-1{\ displaystyle T (m, a, z) = - {\ frac {(-1) ^ {m-1}} {(m-2)!}} \ balra. {\ frac {{\ rm {d} } ^ {m-2}} {{\ rm {d}} t ^ {m-2}}} \ balra [\ Gamma (at) z ^ {t-1} \ jobbra] \ jobbra | _ {t = 0} + \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {i} z ^ {a-1 + i}} {i! (- ai) ^ {m -1 }}}}
és feltéve, hogy a paraméter egy nem negatív vagy nulla egész szám. Ez utóbbi esetben korlátot kell alkalmazni. Eredmények a következőre : z | ≥ 1 analitikai folytatással érhető el . Ennek a funkciónak néhány speciális esete egyszerűsíthető. Például,
T(2,nál nél,x)=Γ(nál nél,x)xetx T(3,1,x)=E1(x),{\ displaystyle T (2, a, x) = {\ frac {\ Gamma (a, x)} {x}} \ quad {\ rm {és}} \ quad x ~ T (3,1, x) = {\ rm {E}} _ {1} (x),}
ahol E 1 az integrál exponenciális . A deriváltak és a T ( m , a , x ) függvény pontos megoldásokat nyújt számos integrálra a hiányos gammafüggvény integral ( a , x ) integráldefiníciójának ismételt differenciálásával . Például,
∫x∞tnál nél-1lnm(t) e-tdt=∂m∂nál nélm∫x∞tnál nél-1e-tdt=∂m∂nál nélmΓ(nál nél,x).{\ displaystyle \ int _ {x} ^ {\ infty} t ^ {a-1} \ ln ^ {m} (t) ~ {\ rm {e}} ^ {- t} {\ rm {d}} t = {\ frac {\ részleges ^ {m}} {\ részleges a ^ {m}}} \ int _ {x} ^ {\ infty} t ^ {a-1} {\ rm {e}} ^ { -t} {\ rm {d}} t = {\ frac {\ részleges ^ {m}} {\ részleges a ^ {m}}} \ Gamma (a, x).}
Ez a képlet tovább "felfújható", vagy általánosítható a Laplace vagy Mellin transzformációk jelentős osztályára . Számítógépes algebrai rendszerrel kombinálva a speciális funkciók kihasználása hatékony módszert jelent a meghatározott integrálok megoldására, különösen azokra, amelyek a mérnökök gyakorlati alkalmazásával találkoznak.
Megjegyzések és hivatkozások
(en) Ez a cikk részben vagy egészben az
angol Wikipedia
" Incomplete gamma function " című cikkéből származik
( lásd a szerzők felsorolását ) .
-
(in) Milton Abramowitz és Irene Stegun , Handbook of Matematikai függvények és képletek, grafikonok, táblázatok és matematikai [ kiadói részletek ] ( olvasható online ).
-
(in) KO Geddes (in) , ML Glasser, RA Moore és TC Scott, "Határozott integrálok osztályainak értékelése, elemi funkciók bevonása speciális funkciók differenciálásával", AAECC (Alkalmazható algebra a mérnöki, kommunikációs és számítástechnikai eszközökben) , t. 1, 1990, p. 149-165 , DOI : 10.1007 / BF01810298 .
Bibliográfia
- en) KO Geddes és TC Scott, „Receptek meghatározott integrálok osztályaihoz, amelyek exponenciákat és logaritmusokat tartalmaznak” , E. Kaltofen és SM Watt, Computers and Mathematics , Springer-Verlag,1989( DOI 10.1007 / 978-1-4613-9647-5_24 ) , p. 192-201
- (en) Serge Winitzki, „A hiányos Gamma-funkció önkényes pontossággal történő kiszámítása ” , Computational Science and its Applications - ICCSA 2003 ( olvasható online ) , p. 790-798
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">