Cauchy-formula az egymást követő integrációhoz

Az egymást követő integráció Cauchy-formulája , amelyet Augustin-Louis Cauchy állított , n integrációt sűrít eggyé. Különösen a frakcionális elemzésben általánosított .

Skaláris eset

{\ displaystyle x \ mapsto \ int _ {a} ^ {x} \ int _ {a} ^ {\ sigma _ {1}} \ cdots \ int _ {a} ^ {\ sigma _ {n-1}} f (\ sigma _ {n}) \, \ mathrm {d} \ sigma _ {n} \ cdots \, \ mathrm {d} \ sigma _ {2} \, \ mathrm {d} \ sigma _ {1} }

Sűrített változata egyetlen integrálban:

{\ displaystyle f ^ {[n]} (x) = {\ frac {1} {(n-1)!}} \ int _ {a} ^ {x} \ balra (xy \ jobbra) ^ {n- 1} f (y) \, \ mathrm {d} y}

Bizonyítást megismételhetünk . Az inicializáláshoz ( n = 1) nincs semmi bizonyíték, mert a fenti két kifejezés egybeesik.

Néhány számítás ( Beardon 2000 ) a következőkre vezet minket:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} f ^ {[n]} (x) = f ^ {[n-1]} (x)}

Sőt, $f$ [ n ] eltűnik $a$ . Az indukciós hipotézis, ezért az n-edik primitív az $f$ eredetileg megadott.

(en) Ez a cikk részben vagy egészben az angol Wikipedia cikkéből származik, a " Cauchy formula for ismételt integráció " címmel ( lásd a szerzők felsorolását ) , amelynek két hivatkozása a következő volt:
- (en) Gerald Folland (en) , Advanced Calculus , Prentice Hall,2002, 461 p. ( ISBN 978-0-13-065265-2 ) , p. 193 ;
- fr ) Alan Beardon, „ Fractional calculus II ” , Cambridge-i Egyetem ,2000.