Töredékelemzés

A frakcionált elemzés egyik ága analitikus matematika , hogy a tanulmányok lehetőségét meghatározó hatalmak nem teljes az üzemeltetők a levezetés és integráció .

Ezek a származékok vagy frakcionális integrációk az ál-differenciál operátorok általánosabb keretei közé tartoznak .

Elgondolkodhat például azon, hogyan kell helyesen értelmezni a négyzetgyököt

\ sqrt {\ mathrm D} = \ mathrm D ^ {1/2}

a derivációs operátor, vagyis egy bizonyos operátor kifejezése, amelynek kétszer egy függvényre történő alkalmazása ugyanolyan hatást fog eredményezni, mint a levezetés. Általánosabban megvizsgálhatjuk a definiálás problémáját

{\ displaystyle \ mathrm {D} ^ {\ alpha}}

az $α$ valós értékeire úgy, hogy amikor $α$ egész $n$ értéket kap , akkor visszaállítjuk a szokásos $n-$ edik levezetést $n > 0$ vagy az iterált integráció esetén $| n |$ alkalommal $n <0 esetén$ . A „tört” kifejezést helytelenül használják: az $α$ nem feltétlenül racionális szám , ezért helyette nem egész szám levezetéséről kell beszélnünk. A "frakcionális elemzés" kifejezés azonban hagyományos lett.

A frakcionált származékokat például a fizika bizonyos területein használják, amelyek diffúziós jelenségeket, például elektromágnesességet , akusztikát vagy termikát foglalnak magukba , diffúziós pszeudo-differenciál operátorok meghatározásával, a „ fraktálgeometria ” élfeltételeivel .

Törtrészes származék

Ennek a témának az alapjait Liouville tette le egy 1832-ben megjelent cikkében. Az $x$ pontban lévő függvény $α$ sorrendű deriváltját gyakran meghatározzák a Fourier-transzformációból vagy a Laplace-transzformációból .

Fontos szempont, hogy egy függvény törtrészlete az $x$ pontban csak akkor lokális tulajdonság , ha az $α$ sorrend egész szám; a többi esetben, többé már nem mondhatjuk, hogy a frakcionált származékot egy függvény $F$ az $x$ függ csak a grafikonon $F$ szomszédságában $X$ , ahogy ez a helyzet a értéke megrendelések levezetése.

Ennek szemléltetésére mutassuk be a „fordítás” operátort és az identitás operátort . A határ , amikor $h$ megközelíti a $0 értéket$ , az operátor $T: f (x) \ mapsto f (x + h)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Id}}$

\ Delta = \ frac {T - \ rm \ mathrm Id} {h}

jól megfelel az elsőrendű derivációs operátornak.

Az általánosított binomiális képletnek köszönhetően ezt az operátort nem egész számra emelhetjük. Így végtelen sorozatot kapunk :

{\ displaystyle \ Delta ^ {\ alpha} = {\ frac {(T- \ mathrm {\ mathrm {I} d}) ^ {\ alpha}} {h ^ {\ alpha}}} = {\ frac {1 } {h ^ {\ alpha}}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ alpha \ select k}}

{\ displaystyle (-T) ^ {k}}

ahol az általánosított binomiális együtthatót jelöli . ${\ displaystyle {\ alpha \ select k}}$ ${\ displaystyle {\ alpha \ select k} = {\ frac {\ alpha (\ alpha -1) (\ alpha -2) \ dots (\ alpha -k + 1)} {k!}}}$

Egy ilyen definíció nem egész sorrendben indukálja a derivációs művelet nem lokális karakterét .

Természetes megközelítés

Természetes kérdés merül fel: van-e olyan lineáris $H$ operátor , amely

{\ displaystyle \ mathrm {H} ^ {2} f = \ mathrm {D} f = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} f = f '}

Úgy tűnik, hogy létezik ilyen operátor, sőt bármely racionális $α > 0$ esetén létezik olyan $P$ operátor , amely (pontosabban, ha $α = p$ $/$ $q$ , ), vagy másképp megfogalmazva, amely minden valós értékek $n$ $> 0$ . ${\ displaystyle \ mathrm {P} ^ {\ alpha} = \ mathrm {D}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {P} ^ {p} = \ mathrm {D} ^ {q}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ mathrm {d} ^ {n} f} {\ mathrm {d} x ^ {n}}}}$

Hasonló eredmény érvényes az integrációra is. Figyelembe véve az $x$ $> 0-hoz$ definiált $f$ függvényt , megadhatjuk annak határozott integrálját 0-tól $x-ig$ :

{\ displaystyle (\ mathrm {I} f) (x) = \ int _ {0} ^ {x} f (t) \; \ mathrm {d} t}

Ennek a folyamatnak a megismétlésével kapjuk meg

(\ mathrm I ^ 2 f) (x) = \ int_0 ^ x (\ mathrm I f) (t) \; \ mathrm dt = \ int_0 ^ x \ balra (\ int_0 ^ tf (u) \; \ mathrm du \ right) \ mathrm dt

és ezt önkényesen meg lehet ismételni.

A következő képlet, amelyet Cauchy képletének nevezünk az egymást követő integrációhoz ,

(\ mathrm I ^ nf) (x) = \ frac {1} {(n-1)! } \ int_0 ^ x (xt) ^ {n-1} f (t) \; \ mathrm dt

egyetlen integrállal fejezi ki az $f$ függvény $n-edik$ primitívjét . Ez egyenesen általánosításhoz vezet bármely valós $α$ $> 0$ , sőt, szigorúan pozitív valós rész tetszőleges számú komplex száma esetén .

A gamma funkciót $Γ$ , amely a tényezőt kiterjeszti a komplex értékekre, úgy definiálják, hogy:

n! = \ Gamma (n + 1)

Ha a gamma függvényt felszabadítjuk a faktoriál diszkrét természetétől, természetes jelöltet kapunk az integrációs operátor nem egész hatványaihoz:

{\ displaystyle (\ mathrm {I} ^ {\ alpha} f) (x) = {\ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)}} \ int _ {0} ^ {x} (xt) ^ { \ alpha -1} f (t) \; \ mathrm {d} t \ quad (\ operátornév {Re} (\ alpha)> 0)}

. Példa:

Ha $f$ egy hatványfüggvénnyel , a forma , majd . ${\ displaystyle f (x) = x ^ {k} \ quad (k \ in \ mathbb {C}, \; x> 0)}$ ${\ displaystyle (\ mathrm {I} ^ {\ alpha} f) (x) = {\ frac {\ Gamma (k + 1)} {\ Gamma (\ alpha + k + 1)}} x ^ {\ alfa + k}}$

Demonstráció

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {x} (xt) ^ {\ alfa -1} t ^ {k} \; \ mathrm {d} t = x ^ {\ alpha + k} \ int _ {0 } ^ {1} (1-u) ^ {\ alfa -1} u ^ {k} \; \ mathrm {d} u = x ^ {\ alpha + k} \ mathrm {B} (\ alfa, k + 1) = x ^ {\ alfa + k} {\ frac {\ Gamma (\ alfa) \, \ Gamma (k + 1)} {\ Gamma (\ alfa + k + 1)}}}$ , ahol $B$ a béta függvény .

A család az integrál operátorok ellenőrzi: ${\ displaystyle (\ mathrm {I} ^ {\ alpha})}$

{\ displaystyle \ mathrm {I} ^ {\ alpha} \ circ \ mathrm {I} ^ {\ beta} = \ mathrm {I} ^ {\ alpha + \ beta}}

(ezért ).

{\ displaystyle \ mathrm {I} ^ {\ alpha} \ circ \ mathrm {I} ^ {\ beta} = \ mathrm {I} ^ {\ beta} \ circ \ mathrm {I} ^ {\ alpha}}

Demonstráció

{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ left (I ^ {\ alpha} \ right) \ left (I ^ {\ beta} f \ right) (x) & = {\ frac {1} {\ Gamma (\ alfa)}} \ int _ {0} ^ {x} (xt) ^ {\ alfa -1} \ bal (I ^ {\ beta} f \ jobb) (t) \, \ mathrm {d} t \\ & = {\ frac {1} {\ Gamma (\ alfa) \ Gamma (\ beta)}} \ int _ {0} ^ {x} \ bal (\ int _ {0} ^ {t} \ bal (xt) \ jobb) ^ {\ alfa -1} \ bal (ts \ jobb) ^ {\ beta -1} f (s) \, \ mathrm {d} s \ jobb) \, \ mathrm {d} t \\ & = {\ frac {1} {\ Gamma (\ alfa) \ Gamma (\ beta)}} \ int _ {0} ^ {x} f (s) \ balra (\ int _ {s} ^ {x} \ bal (xt \ jobb) ^ {\ alfa -1} \ bal (ts \ jobb) ^ {\ beta -1} \, \ mathrm {d} t \ jobb) \, \ mathrm {d} s \ end {igazítva }}}

Mi egy új változót $r$ által $t = s + ( X - ok ) R$ és azt kapjuk:

{\ displaystyle \ left (I ^ {\ alpha} \ right) \ left (I ^ {\ beta} f \ right) (x) = {\ frac {1} {\ Gamma (\ alpha) \ Gamma (\ beta )}} \ int _ {0} ^ {x} \ left (xs \ right) ^ {\ alpha + \ beta -1} f (s) \ left (\ int _ {0} ^ {1} \ left ( 1-r \ jobbra) ^ {\ alpha -1} r ^ {\ beta -1} \, \ mathrm {d} r \ right) \, \ mathrm {d} s}

Az integrál belsejében a béta funkció , amely ellenőrzi:

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ bal (1-r \ jobb) ^ {\ alpha -1} r ^ {\ beta -1} \, \ mathrm {d} r = \ mathrm {B } (\ alpha, \ beta) = {\ frac {\ Gamma (\ alpha) \, Gamma (\ beta)} {\ Gamma (\ alpha + \ beta)}}}

úgy hogy

{\ displaystyle \ left (I ^ {\ alpha} \ right) \ left (I ^ {\ beta} f \ right) (x) = {\ frac {1} {\ Gamma (\ alpha + \ beta)}} \ int _ {0} ^ {x} \ balra (xs \ jobbra) ^ {\ alpha + \ beta -1} f (s) \, \ mathrm {d} s = \ balra (I ^ {\ alpha + \ béta} f \ jobb) (x)}

Sajnos a $D$ levezetési operátor analóg folyamata lényegesen bonyolultabb. A család nem additív (általában nincs ), sőt kommutatív sem ( ) . ${\ displaystyle (\ mathrm {D} ^ {\ alpha})}$ ${\ displaystyle \ mathrm {D} ^ {\ alpha} \ circ \ mathrm {D} ^ {\ beta} = \ mathrm {D} ^ {\ alpha + \ beta}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {D} ^ {\ alpha} \ circ \ mathrm {D} ^ {\ beta} \ neq \ mathrm {D} ^ {\ beta} \ circ \ mathrm {D} ^ {\ alpha}}$

Alapvető meghatározás

A legegyszerűbb ötlet az, hogy az $n-$ edik deriváltra vonatkozó „szabályos” képletekből indulunk ki, és $n-$ t a valódi $α-val$ helyettesítünk ; így megkapjuk az exponenciális és a szinuszfüggvényre: A hatványfüggvényekre ugyanaz az elképzelés szükséges, mint korábban a gammafüggvény bevezetéséhez : mivel , meglesz . Ezekre a képletekre megvan az additivitás ( ), amely lehetővé teszi például a deriváció „négyzetgyökének” megszerzését az $α$ $= 1/2 érték felvételével$ . ${\ displaystyle \ mathrm {\ mathrm {D}} ^ {\ alpha} (\ mathrm {e} ^ {\ lambda x}) = \ lambda ^ {\ alpha} \ mathrm {e} ^ {\ lambda x}}$ ${\ displaystyle (\ mathrm {\ mathrm {D}} ^ {\ alpha} \ sin) (x) = \ sin \ left (x + {\ frac {\ alpha \ pi} {2}} \ right).}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {n}} {\ mathrm {d} x ^ {n}}} x ^ {k} = {\ frac {k!} {(kn)!}} x ^ {kn}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {\ mathrm {D}} ^ {\ alpha} (x ^ {k}) = {\ frac {\ Gamma (k + 1)} {\ Gamma (k + 1- \ alfa)}} x ^ {k- \ alpha}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {D} ^ {\ alpha} \ circ \ mathrm {D} ^ {\ beta} = \ mathrm {D} ^ {\ alpha + \ beta}}$

De ez az elemi megközelítés nemcsak nem általánosítható, hanem ellentmond az integrál operátorokból felépített általánosabb meghatározásoknak.

A tört származékok általános meghatározása

Riemann -Liouville származéka

Az ötlet, hogy határozza meg a sorrendben származékot a $Re ($ $α$ $) \geq 0$ , van itt, hogy kiszámítja a szokásos $N-$ edik származékot a frakcionált integrálját érdekében $N - α$ , az $n$ $=$ $⌊Re ($ $α$ $) ⌋$ $+ 1$ . A definíciónak két változata létezik: ${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {C}}$

{\ displaystyle \ mathrm {D} _ {a +} ^ {\ alpha} f (x) = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {n}} {\ mathrm {d} x ^ {n}}} \ mathrm {D} _ {a +} ^ {- (n- \ alpha)} f (x) = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {n}} {\ mathrm {d} x ^ {n} }} \ mathrm {I} _ {a +} ^ {n- \ alpha} f (x)}

(for );

{\ displaystyle x> a}

{\ displaystyle \ mathrm {D} _ {b -} ^ {\ alpha} f (x) = \ balra (- {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ jobbra) ^ {n} \ mathrm {D} _ {b -} ^ {- (n- \ alpha)} f (x) = \ balra (- {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} } \ right) ^ {n} \ mathrm {I} _ {b -} ^ {n- \ alpha} f (x)}

(a ).

{\ displaystyle x <b}

Az itt használt integrációs operátorok családjai és (itt $Re ($ $α$ $)> 0$ ) általánosítják az $x$ $> 0$ esetében fent definiált családot : ${\ displaystyle (\ mathrm {I} _ {a +} ^ {\ alpha})}$ ${\ displaystyle (\ mathrm {I} _ {b -} ^ {\ alpha})}$ ${\ displaystyle (\ mathrm {I} ^ {\ alpha}) = (\ mathrm {I} _ {0 +} ^ {\ alpha})}$

{\ displaystyle (\ mathrm {I} _ {a +} ^ {\ alpha}) f (x) = {\ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)}} \ int _ {a} ^ {x} (xt) ^ {\ alfa -1} f (t) \; \ mathrm {d} t \ quad (x> a)}

;

{\ displaystyle (\ mathrm {I} _ {b -} ^ {\ alpha}) f (x) = {\ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)}} \ int _ {x} ^ {b} (tx) ^ {\ alfa -1} f (t) \; \ mathrm {d} t \ quad (x <b)}

. Példa:

Vegyük például a hatványfüggvényt , amelynek képével számoltunk . Tegyük fel, hogy $Re ($ $k$ $)> -1$ és $Re ($ $α$ $) \geq 0$ . Tehát $x$ $> 0$ esetén ${\ displaystyle f (x) = x ^ {k}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {I} ^ {\ alpha}}$

{\ displaystyle \ mathrm {D} _ {0 +} ^ {\ alpha} f (x) = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {n}} {\ mathrm {d} x ^ {n}}} {\ frac {\ Gamma (k + 1)} {\ Gamma (n- \ alpha + k + 1)}} x ^ {n- \ alpha + k} = {\ frac {\ Gamma (k + 1)} {\ cancel {\ Gamma (n- \ alpha + k + 1)}}}} {\ frac {\ cancel {\ Gamma (n- \ alpha + k + 1)}} {\ Gamma (- \ alpha + k + 1)}} x ^ {- \ alfa + k}}

Ezért az ad hoc meghatározás fent az valójában egy speciális esete Riemann-Liouville származék. ${\ displaystyle \ mathrm {\ mathrm {D}} ^ {\ alpha} (x ^ {k})}$

Liouville- Weyl származéka

A Riemann-Liouville származék természetes változata bármely egész számra definiált függvény esetében abból áll , hogy mindenhez veszünk és ezért pózolunk : $\ mathbb {R}$ $a = - \ infty$ $b = + \ infty$ $x \ in \ mathbb {R}$

{\ displaystyle (\ mathrm {I} _ {+} ^ {\ alpha}) f (x) = {\ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)}} \ int _ {- \ infty} ^ {x } (xt) ^ {\ alfa -1} f (t) \; \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle (\ mathrm {I} _ {-} ^ {\ alpha}) f (x) = {\ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)}} \ int _ {x} ^ {+ \ infty } (tx) ^ {\ alfa -1} f (t) \; \ mathrm {d} t}

akkor, mint korábban,

{\ displaystyle \ mathrm {D} _ {+} ^ {\ alpha} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {n}} {\ mathrm {d} x ^ {n}}} \ circ \ mathrm { I} _ {+} ^ {n- \ alpha}}

és .

{\ displaystyle \ mathrm {D} _ {-} ^ {\ alpha} = \ balra (- {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ jobbra) ^ {n} \ circ \ mathrm {I} _ {-} ^ {n- \ alpha}}

Példa:

Vagy a $Re ($ $λ$ $)> 0$ , és hagyja, hogy $Re ($ $α$ $) \geq 0$ . Így, ${\ displaystyle f (x) = \ mathrm {e} ^ {\ lambda x}}$

{\ displaystyle (\ mathrm {I} _ {+} ^ {\ alpha}) f (x) = \ lambda ^ {- \ alpha} \ mathrm {e} ^ {\ lambda x}}

és

{\ displaystyle (\ mathrm {D} _ {+} ^ {\ alpha}) f (x) = \ lambda ^ {\ alpha} \ mathrm {e} ^ {\ lambda x}}

Ezért az ad hoc meghatározás fent az valójában egy speciális esete Liouville-Weil-származék. ${\ displaystyle \ mathrm {\ mathrm {D}} ^ {\ alpha} (\ mathrm {e} ^ {\ lambda x})}$

Caputo-ból származik

1967-ben Michele Caputo új meghatározást vezetett be, amelyhez nincs szükség határfeltételekre. Caputo meghatározása abban különbözik Riemann-Liouville-től, hogy $n-$ szer végrehajtja a levezetést az $n - α$ sorrendű integrál előtt :

{\ displaystyle {} ^ {C} \ mathrm {D} ^ {\ alpha} f = \ mathrm {I} ^ {n- \ alpha} \ bal (f ^ {(n)} \ jobb) \ qquad (n -1 <\ alfa <n)}

Ennek az az előnye, hogy nulla az $f$ állandó $esetén,$ és hogy Laplace-transzformációja kifejeződik $f$ és $k$ $($ $f )$ kezdeti értékének felhasználásával $0 \leq k < n esetén$ .

Általánosabban, az $α$ nem egész komplex olyan, hogy $Re ( α ) \geq 0$ és $f$ a osztályú $C n$ a $[ a , b ]$ az $n = ⌈Re ( α ) ⌉$ , definiáljuk

{\ displaystyle {} ^ {C} \ mathrm {D} _ {a +} ^ {\ alpha} f = \ mathrm {D} _ {a +} ^ {\ alpha} \ balra [f (t) - \ összeg _ {k = 0} ^ {n-1} {\ frac {y ^ {(k)} (a)} {k!}} (ta) ^ {k} \ right] \ quad {\ text {és }} \ quad ^ {C} \ mathrm {D} _ {b -} ^ {\ alpha} f = \ mathrm {D} _ {b -} ^ {\ alpha} \ balra [f (t) - \ összeg _ {k = 0} ^ {n-1} {\ frac {y ^ {(k)} (b)} {k!}} (bt) ^ {k} \ jobbra}}

és ezt megmutatjuk

{\ displaystyle {} ^ {C} \ mathrm {D} _ {a +} ^ {\ alpha} f = \ mathrm {I} _ {a +} ^ {n- \ alpha} \ balra (f ^ {( n)} \ jobbra) \ quad {\ text {et}} \ quad ^ {C} \ mathrm {D} _ {b -} ^ {\ alpha} f = (- 1) ^ {n} \ mathrm {I } _ {b -} ^ {n- \ alpha} \ balra (f ^ {(n)} \ jobbra)}

Grünwald-Letnikov származéka

Először általánosítjuk az egész sorrend hátsó véges különbségét az $α$ $> 0$ beállításával :

{\ displaystyle \ Delta _ {h} ^ {\ alpha} f (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {\ alpha \ select k} f (x + (\ alfa -k) h)}

azután

{\ displaystyle {} ^ {GL} \ mathrm {D} _ {+} ^ {\ alpha} f (x) = \ lim _ {h \ to 0 ^ {+}} {\ frac {\ Delta _ {h } ^ {\ alpha} f (x)} {h ^ {\ alpha}}} \ quad {\ text {és}} \ quad ^ {GL} \ mathrm {D} _ {-} ^ {\ alpha} f (x) = \ lim _ {h \ to 0 ^ {+}} {\ frac {\ Delta _ {- h} ^ {\ alpha} f (x)} {h ^ {\ alpha}}}}

. Példák:

Vagy a $Re ($ $λ$ $) \geq 0$ , és hagyja, hogy $α$ $> 0$ . Így, ${\ displaystyle f (x) = \ mathrm {e} ^ {\ lambda x}}$ ${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad ^ {GL} \ mathrm {D} _ {+} ^ {\ alpha} f (x) = \ lambda ^ {\ alpha} \ mathrm {e} ^ {\ lambda x}}$ ,Ezért az ad hoc meghatározás fent az valójában egy speciális esete származék (nem csak a Liouville-Weil , hanem) a Grünwald-Letnikov. ${\ displaystyle \ mathrm {\ mathrm {D}} ^ {\ alpha} (\ mathrm {e} ^ {\ lambda x})}$
Vagy a $ji$ $\in ℝ$ , és hagyja, hogy $α$ $> 0$ . Tehát, 1. példa , ${\ displaystyle g (x) = \ sin (\ mu x)}$ ${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad ^ {GL} \ mathrm {D} _ {+} ^ {\ alpha} g (x) = \ mu ^ {\ alpha} \ sin \ left ( \ mu x + {\ frac {\ alpha \ pi} {2}} \ right)}$ ,Ezért a fenti ad hoc meghatározás az valójában egy speciális esete Grünwald- Letnikov származék (ru) . ${\ displaystyle \ mathrm {\ mathrm {D}} ^ {\ alpha} {\ bigl (} \ sin (x) {\ bigr)}}$

Alkalmazások

Ez a matematikai terület praktikus alkalmazást talál automatikus módban a CRONE paranccsal (Robbanás nem egész sorrendben ).

Megjegyzések és hivatkozások

(en) Ez a cikk részben vagy egészben az angol „ Differintegral ” ( lásd a szerzők listáját ) és a „ Fractional calculus ” ( lásd a szerzők felsorolását ) című angol nyelvű cikkekből származik .

Joseph Liouville, " Emlékirat a geometria és a mechanika néhány kérdéséről, és egy újfajta számításról e kérdések megoldására ", Journal de l'École polytechnique , vol. 13., 1832. 21. szakasz, p. 1-69 .
Joseph Liouville, " Emlékirat a különbségek kiszámításáról bármilyen indexekkel ", Journal de l'École politechnique , vol. 13., 1832. 21. szakasz, p. 71-162 .
A téma történetéhez lásd: Stéphane Dugowson, Les differententielles métaphysiques (a levezetési sorrend általánosításának története és filozófiája) , tézis, University of Paris XIII , 1994.
(a) Anatolij A. Kilbas Hari Srivastava és Juan J. Trujillo, Theory and Applications frakcionált Differenciálegyenletek , Amsterdam, Elsevier ,2006( ISBN 0-444-51832-0 , online olvasás ) , p. 75, Ingatlan 2.4.
(in) R. Garrappa E. Kaslik és Mr. Popolizio, " értékelése Tört integrálok és származékaik elemi függvények: Áttekintés és útmutató " , MDPI matematika ,2019. május 7Pont n o 407 ( DOI 10,3390 / math7050407 ).
Kilbas, Srivastava és Trujillo 2006 , p. 70.
Kilbas, Srivastava és Trujillo 2006 , p. 69.
Kilbas, Srivastava és Trujillo 2006 , p. 81., 2.5.
Kilbas, Srivastava és Trujillo 2006 , p. 87.
(in) S. Umarov, Hahn és K. Kobayashi, a háromszögön túl: Brown-mozgás, Ito Calculus és Fokker-Planck-egyenlet: Fractional Generalizations , World Scientific ,2018( online olvasható ) , p. 33-34.
Kilbas, Srivastava és Trujillo 2006 , p. 88., 2.11. Ingatlan.
(en) Michele Caputo , " A disszipáció lineáris modellje, akinek Q szinte frekvenciafüggetlen. II. ” , Geophysical Journal International , vol. 13, n o 5,1967, P. 529-539 ( DOI 10.1111 / j.1365-246x.1967.tb02303.x , Bibcode 1967GeoJ ... 13..529C ).
Kilbas, Srivastava és Trujillo 2006 , p. 91-92.
Kilbas, Srivastava és Trujillo 2006 , p. 121-122.
Garrappa, Kaslik és Popolizio 2019 , p. 13., 9. javaslat.
Garrappa, Kaslik és Popolizio 2019 , p. 16., 11. javaslat.

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

A frakcionális elemzés inicializálása (in)
Differenciálmű
Hille-Yosida tétel

Külső linkek

(en) Eric W. Weisstein , „ Fractional calculus ” , a MathWorld- on
(en) Eric W. Weisstein , „ Töredezett származék ” a MathWorld- on
(en) Igor Podlubny, " Tört számítás: források "

Művek

en) Carpinteri és F. Mainardi, fraktálok és frakcionális számítás a kontinuummechanikában , Springer ,1998, 348 p. , keménytáblás ( ISBN 978-3-211-82913-4 , online olvasás )
(en) Richard Herrmann, Tört számítás: Bevezetés a fizikusokhoz , World Scientific ,2018, 3 e . , 610 p. ( DOI 10.1142 / 11107 , online olvasás )
(en) F. Mainardi, Törvényszámítás és hullámok a lineáris viszkoelaszticitásban: Bevezetés a matematikai modellekbe , Imperial College Press ,2010, 368 p. ( online olvasás )
(en) Kenneth S. Miller és Bertram Ross, Bevezetés a töredékszámításba és a frakcionális differenciálegyenletekbe , John Wiley & Sons ,1993, 1 st ed. , 384 p. , keménytáblás ( ISBN 978-0-471-58884-9 )
(en) Keith B. Oldham és Jerome Spanier, A töredékes számítás; A differenciálás és integráció elmélete és alkalmazásai az önkényes sorrendben , New York, Academic Press , coll. "Matematika a természettudományban és a műszaki tudományokban" ( n o. 111),1974, keménytáblás ( ISBN 978-0-12-525550-9 , online olvasás )
(en) Igor Podlubny, Fraktionális differenciálegyenletek: Bevezetés a frakcionált származékokba, a frakcionális differenciálegyenletek, megoldásuk módszereibe és néhány alkalmazásukba , Academic Press , coll. "Matematika a természettudományban és a műszaki tudományokban" ( n o 198),1998, 340 p. ( ISBN 978-0-08-053198-4 , online olvasás )
(en) Vaszilij E. Taraszov, Frakcionális dinamika: A frakcionális számítás alkalmazásai a részecskék, a mezők és a közegek dinamikájában , Springer,2010, 450 p. ( online előadás , online olvasás )
en) Vladimir V. Uchaikin, frakcionált származékok fizikusoknak és mérnököknek , felsőoktatási sajtó / Springer,2012, 385 p. ( online előadás , online olvasás )
en) Bruce J. West, Mauro Bologna és Paolo Grigolini, a fraktálkezelők fizikája , Springer,2003, 368 p. , keménytáblás ( ISBN 978-0-387-95554-4 , Bibcode 2003PhT .... 56l..65W , online olvasható )

Speciális folyóiratok