Űrcsoport
A tércsoport az egy kristály képződik készlete által szimmetriák egy kristályszerkezet , vagyis a beállított affin isometries elhagyó a szerkezet invariáns. Ez a kifejezés matematikai értelmében vett csoport .
Bármely tércsoport egy Bravais-rács és egy pontszimmetria-csoport kombinációjából származik : a szerkezet bármely szimmetriája a rács transzlációjának és a pontcsoport transzformációjának eredménye.
A Hermann-Mauguin minősítést a tércsoport képviseletére használják.
A Nemzetközi Kristálytan Szakszervezet közzéteszi a Kristálytan Nemzetközi Táblázatait ; az A kötetben minden tércsoportot és szimmetriai műveleteit grafikusan és matematikailag ábrázolják.
A tércsoportok meghatározásának elve
Az űrcsoportok halmaza egy alapegység (vagy minta) kombinációja a szimmetria speciális műveleteivel ( visszaverődés, forgatás és inverzió ), amelyekhez hozzáadódnak a fordítási , a síkbeli fordítási műveletek vagy a visszaverődés vagy a forgatás.
Azonban a különálló csoportok száma alacsonyabb, mint a kombinációké, némelyik izomorf , vagyis ugyanazon űrcsoporthoz vezet. Ez az eredmény mutatható matematikailag csoport elmélet .
A fordítási műveletek a következők:
- a hálózat alapvektorainak megfelelő fordítás, amely egyik celláról a szomszédos cellára változik ;
- fordítások tükrözéssel és forgatással kombinálva:
- rototranslációk (szimmetriaelem: spirális tengely): egy tengely mentén történő forgatás, kombinálva a tengely irányú transzlációval, amelynek amplitúdója az alapvektorok töredéke. Ezeket a forgás mértékét leíró n szám jelöli, ahol n az a szám, ahányszor a forgatást alkalmazni kell az identitás megszerzéséhez (3 tehát például egy fordulat harmadának, azaz 2π / 3-nak a forgását jelenti). A transzláció mértékét ezután egy index jelzi, amely jelzi, hogy a hálózat vektorának melyik része felel meg a fordításnak. Általában az n p spirális tengely 2π / n forgást jelent, amelyet a hálózat vektorának p / n transzlációja követ, a tengellyel párhuzamosan. Például a 2 1 egy fél fordulat elfordulását jelenti, amelyet a hálózat félvektorának fordítása követ.
- siklóvisszaverődés : visszaverődés, amelyet a síkkal párhuzamos fordítás követ. A szimmetriaelemek fordítótükrök, amelyeket g betű jelöl, majd a zárójelben lévő transzlációs komponens látható; azonban a leggyakrabban előforduló kristályszerkezetű transzlációs tükröket betű jelzi, a következő táblázat szerint:
| Tükör típusa | Csúszás |
|---|---|
| nál nél | a / 2 (a periódus fele az a irány mentén) |
| b | b / 2 (a b irányú periódus fele) |
| vs. | c / 2 (a c irányú periódus fele) |
| nem | A periódus 1/2 átlós irányban |
| d | A periódus 1/4-e átlós irányban |
| e | A periódus 1/2-a két merőleges irány mentén |
Egy űrcsoportban azonos dimenziósságú különböző szimmetria elemek párhuzamos orientációban létezhetnek egymás mellett. Például a 2 1 tengelyek párhuzamosak lehetnek a 2 tengellyel; típusú tükrök m párhuzamos lehet az ilyen tükrök rendelkezik ; stb. Az űrcsoport szimbólumában a reprezentatív elem kiválasztása prioritási sorrendet követ, amely a következő:
- a csúszásmentes tengelyek elsőbbséget élveznek a spirális tengelyekkel szemben;
- a reprezentatív tükör megválasztásában a prioritás: m> e> a> b> c> n> d.
Van azonban néhány kivétel. Például, csoportok I 222 és I 2 1 2 1 2 1 tartalmazhatnak tengely 2 1 párhuzamos tengelyek 2, de az első csoport a három tengely 2 közös metszéspontja, valamint a három tengely 2 1 , míg a második csoport e nem ez a helyzet. Az elsőbbségi szabály itt nem érvényes, különben mindkét csoportnak ugyanaz a szimbóluma lenne.
Meghatározás közvetlen térben
A kristály tércsoportjának meghatározása a közvetlen térben a kristályban jelenlévő szimmetria elemeinek megfigyelésével történik; ezért meg kell figyelni a kristály atommodelljét (vagy annak merőleges vetületét ) szimmetriai irányai mentén. Mivel egy ismeretlen kristály atomelrendezésének közvetlen vizualizálása nem lehetséges, ezért az űrcsoport meghatározásának ezt a módszerét elsősorban az oktatásban alkalmazzák.
Meghatározás kölcsönös térben
A gyakorlatban egy ismeretlen kristály tércsoportját a kölcsönös térben a röntgensugarak , a neutronok vagy az elektronok diffrakciója határozza meg . A tudás a paraméterek a háló és osztály Laue lehetővé teszi, hogy megtalálja a pontcsoporthoz szimmetria lehetséges kristály, általánosan megfelel a több lehetséges helyet csoportban. A reflexiók szisztematikus kihalásainak vizsgálata a diffrakciós mintában megadja a szimmetria elemeit a kristályban jelen lévő transzlációs komponenssel (spirális tengelyek, transzlációs tükrök), ami néha egyetlen űrcsoport meghatározásához vezet. Általában azonban több jelölt terek csoportja található. A kétértelműséget ezután úgy oldják meg, hogy meghatározzák a kristály szerkezetét az egyes űrcsoportokban. Ha egy tércsoport nem alkalmas a szerkezet leírására, akkor ez többféleképpen is látható:
- a kémiai fajok koordinációs polihéderei ( kötéshosszak és szögek ) nagyon eltérhetnek attól, ami más struktúrákból ismert;
- következésképpen a kötés erősségének számítása téves eredményeket ad;
- az atomok termikus keverési paraméterei rendellenesen magasak;
- a modell finomítási paraméterei szorosan összefüggenek egymással ;
- a szerkezet finomításának hangolási tényezői magasak.
A 230 típusú űrcsoport
A háromdimenziós tércsoportok 230 típusának halmaza a 32 típusú szimmetriacsoport és a 14 Bravais-hálózat típusának kombinációjából származik .
Az izomorfizmus révén a Bravais-rács és a pontszimmetria-csoport típusainak kombinációi (32 × 14 = 448) végül 230 különféle tércsoportra redukálódnak.
| Osztály | # | Triklinikai rendszer | |||||||
| 1 | 1 | P 1 | |||||||
| 1 | 2 | P 1 | |||||||
| Monoklinikus rendszer | |||||||||
| 2 | 3-5 | P 2 | P 2 1 | C 2 | |||||
| m | 6–9 | Délután | Pc | Cm | CC | ||||
| 2 / m | 10-15 | P 2 / m | P 2 1 / m | C 2 / m | P 2 / c | P 2 1 / c | C 2 / c | ||
| Ortorombos rendszer | |||||||||
| 222 | 16–24 | P 222 | P 222 1 | P 2 1 2 1 2 | P 2 1 2 1 2 1 | C 222 1 | C 222 | F 222 | I 222 |
| I 2 1 2 1 2 1 | |||||||||
| mm 2 | 25–46 | Pmm 2 | Pmc 2 1 | Pc 2 | Pma 2 | Pca 2 1 | Pnc 2 | Pmn 2 1 | Pba 2 |
| Pna 2 1 | Pnn 2 | Cmm 2 | Cmc 2 1 | Ccc 2 | Amm 2 | Aem 2 | Ama 2 | ||
| Aea 2 | Fmm 2 | Fdd 2 | Imm. 2 | Iba 2 | Ima 2 | ||||
| mmm | 47-74 | Pmmm | Pnnn | Pccm | Pban | Pmma | Pnna | Pmna | Pcca |
| Pbam | Pccn | Pbcm | Pnnm | Pmmn | Pbcn | Pbca | Pnma | ||
| Cmcm | Cmce | Cmmm | Cccm | Cm | Ccce | Hmmm | Fddd | ||
| Immm | Ibam | Ibca | Imma | ||||||
| Másodfokú vagy tetragonális rendszer | |||||||||
| 4 | 75-80 | P 4 | P 4 1 | P 4 2 | P 4 3 | I 4 | I 4 1 | ||
| 4 | 81-82 | P 4 | I 4 | ||||||
| 4 / m | 83-88 | P 4 / m | P 4 2 / m | P 4 / n | P 4 2 / n | I 4 / m | I 4 1 / a | ||
| 422 | 89-98 | P 422 | P 42 1 2 | P 4 1 22. | P 4 1 2 1 2 | P 4 2 22. | P 4 2 2 1 2 | P 4 3 22. | P 4 3 2 1 2 |
| I 422 | I 4 1 22 | ||||||||
| 4 mm | 99-110 | P 4 mm | P 4 bm | D 4 2 cm | P 4 2 nm | P 4 cm3 | P 4 nc | P 4 2 mc | P 4 2 bc |
| I 4 mm | Én 4 cm | I 4 1 md | I 4 1 cd | ||||||
| 4 2 m | 111-122 | P 4 2 m | P 4 2 c | P 4 2 1 m | P 4 2 1 c | P 4 m 2 | P 4 c 2 | P 4 b 2 | P 4 n 2 |
| I 4 m 2 | I 4 c 2 | I 4 2 m | I 4 2 d | ||||||
| 4 / mmm | 123-142 | P 4 / mmm | P 4 / mmc | P 4 / nbm | P 4 / nnc | P 4 / mbm | P 4 / nnc | P 4 / nmm | P 4 / ncc |
| P 4 2 / mmc | P 4 2 / mcm | P 4 2 / nbc | P 4 2 / nnm | P 4 2 / mbc | P 4 2 / mnm | P 4 2 / NMC | P 4 2 / ncm | ||
| I 4 / mmm | I 4 / mcm | I 4 1 / módos | I 4 1 / acd | ||||||
| Trigonális rendszer | |||||||||
| 3 | 143-146 | P 3 | P 3 1 | P 3 2 | R 3 | ||||
| 3 | 147-148 | P 3 | R 3 | ||||||
| 32 | 149-155 | P 312 | P 321 | P 3 1 12 | P 3 1 21 | P 3 2 12 | P 3 2 21 | R 32 | |
| 3 m | 156-161 | P 3 m 1 | P 31 m | P 3 c 1 | P 31 c | R 3 m | R 3 c | ||
| 3 m | 162-167 | P 3 1 m | P 3 1 c | P 3 m 1 | P 3 c 1 | R 3 m | R 3 c | ||
| Hatszögletű rendszer | |||||||||
| 6. | 168-173 | P 6 | P 6 1 | P 6 5 | P 6 2 | P 6 4 | P 6 3 | ||
| 6. | 174 | P 6 | |||||||
| 6 / m | 175-176 | P 6 / m | P 6 3 / m | ||||||
| 622 | 177-182 | P 622 | P 6 1 22. | P 6 5 22 | P 6 2 22 | P 6 4 22 | P 6 3 22. | ||
| 6 mm | 183-186 | P 6 mm | P 6 cm3 | D 6 3 cm | P 6 3 mc | ||||
| 6 m 2 | 187-190 | P 6 m 2 | P 6 c 2 | P 6 2 m | P 6 2 c | ||||
| 6 / mmm | 191-194 | P 6 / mmm | P 6 / mcc | P 6 3 / mcm | P 6 3 / mmc | ||||
| Köbös rendszer | |||||||||
| 23. | 195-199 | P 23 | F 23 | I 23 | P 2 1 3 | I 2 1 3 | |||
| m 3 | 200-206 | Pm 3 | Pn 3 | Fm 3 | Fd 3 | I 3 | Pa 3 | Ia 3 | |
| 432 | 207-214 | P 432 | P 4 2 32 | F 432 | F 4 1 32 | I 432 | P 4 3 32 | P 4 1 32 | I 4 1 32 |
| 4 3 m | 215-220 | P 4 3 m | F 4 3 m | I 4 3 m | P 4 3 n | F 4 3 c | I 4 3 d | ||
| m 3 m | 221–230 | Pm 3 m | Pn 3 n | Pm 3 n | Pn 3 m | Fm 3 m | Fm 3 c | Fd 3 m | Fd 3 c |
| Im 3 m | Ia 3 d | ||||||||
Szokatlan tércsoportok
A fenti táblázatban bemutatott tércsoportok a hagyományos tércsoportok, amelyek a kristály szimmetriájának leírására szolgálnak a hagyományos rácsában . Hasznos lehet azonban egy nem konvencionális tércsoport használata, például strukturális fázisátmenetek , politipizmus esetek vagy szubsztitúciós sorok tanulmányozására . Kétféle módon lehet szokatlan tércsoportot szerezni:
- a hagyományos cellával megegyező térfogatú új sejt kiválasztásával, például a sejt alapvektorainak permutálásával;
- a hálóméret (többszörös háló) mesterséges növelésével.
A nem szokványos tércsoportban található kristály leírása nem változtatja meg a kristály belső szimmetriáját, egyszerűen ugyanazon szerkezet alternatív leírása.
Azonos térfogatú háló
A monoklin és rombos kristály rendszerek , az irányok , és nem egyenértékűek a szimmetria, vagyis, hogy nincs működési szimmetria, amely képes átalakítani egy ilyen irányba az egyik a másik kettő. A sejt alapvektorainak nevét általában úgy választják meg, hogy hagyományos tércsoportot kapjanak.
Azokban az esetekben, ahol az elemek a szimmetria a irányban , és amelyek különböző jellegű, permutációja a nevét a bázis vektorok vezet egy sejt változatlan térfogat rendhagyó tércsoport. Másrészről, a monoklinikus rendszerben az a és c vektorok közötti β szög nem rögzül 90 ° -on, az a ' = -ac , b' = b és c ' = a alapvektorok megválasztása szintén a hagyományos sejtével megegyező térfogatú monoklin sejt.
Az alábbi táblázat bemutatja a monoklinikus rendszer hagyományos és nem konvencionális tércsoportjait. Az alapvektorok előjelének lehetséges megváltoztatására azért van szükség, hogy közvetlen trihedront alkossanak . Monoklinikus esetben a szimmetriatengelynek csak a tengelyből kilépő alapváltozásokat tekintjük. Azok a tércsoportok, amelyek a koordináta-rendszer változásával azonosak, nem szerepelnek.
| # | Hagyományos háló | Szokatlan háló | ||
|---|---|---|---|---|
| 5. | C 2 ( a , b , c vektorok ) | A 2 ( c , −b , a ) | A 2 ( -ac , b , a ) | I 2 ( c , b , -ac ) |
| 7 | Pc ( a , b , c vektorok ) | Pa ( c , −b , a ) | Pn ( -ac , b , a ) | Pa ( c , b , -ac ) |
| 8. | Cm ( a , b , c vektorok ) | Am ( c , −b , a ) | Am ( -ac , b , a ) | Im ( c , b , -ac ) |
| 9. | Cc ( a , b , c vektorok ) | Aa ( c , −b , a ) | An ( -ac , b , a ) | Ia ( c , b , -ac ) |
| 12. | C 2 / m ( a , b , c vektorok ) | A 2 / m ( c , −b , a ) | A 2 / m ( -ac , b , a ) | I 2 / m ( c , b , -ac ) |
| 13. | P 2 / c ( a , b , c vektorok ) | P 2 / a ( c , −b , a ) | P 2 / n ( -ac , b , a ) | P 2 / a ( c , b , -ac ) |
| 14 | P 2 1 / c ( a , b , c vektorok ) | P 2 1 / a ( c , −b , a ) | P 2 1 / n ( -ac , b , a ) | P 2 1 / a ( c , b , -ac ) |
| 15 | C 2 / c ( a , b , c vektorok ) | A 2 / a ( c , −b , a ) | A 2 / n ( -ac , b , a ) | I 2 / a ( c , b , -ac ) |
Az ortorombos rendszerben a közvetlen triédert alkotó tengelyek összes permutációja a sejt térfogatát változatlanul hagyja. A Hermann-Mauguin szimbólumok orientálódnak, az űrcsoport jelölése a tengelyek permutációjától függően változhat:
- a forgási vagy spirális tengely helye követi az irányt, amellyel párhuzamos;
- az a , b vagy c fordítótükör helye követi azt az irányt, amelyre merőleges, neve függ a fordítás irányától;
- a Bravais-rácsok nómenklatúrája attól függ, hogy milyen irányban helyezkednek el a középpontok.
Példaként a következő táblázat néhány hagyományos és nem konvencionális tércsoportot ad meg az ortorombos rendszerhez.
| # | Hagyományos háló | Szokatlan háló | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 29. | Pca 2 1 ( a , b , c vektorok ) | Pb 2 1 a ( a , c , -b ) | P 2 1 ca ( c , b , -a ) | P 2 1 ab ( c , a , b ) | Pbc 2 1 ( b , -a , c ) | Pc 2 1 b ( b , c , a ) |
| 40 | Ama 2 ( a , b , c vektorok ) | Am 2 egy ( a , c , -B ) | C 2 cm ( c , b , -a ) | B 2 mb ( c , a , b ) | Bbm 2 ( b , -a , c ) | Cc 2 m ( b , c , a ) |
| 43 | Fdd 2 ( a , b , c vektorok ) | Fd 2 d ( a , c , -b ) | F 2 dd ( c , b , -a ) | F 2 dd ( c , a , b ) | Fdd 2 ( b , -a , c ) | Fd 2 d ( b , c , a ) |
| 45 | Iba 2 ( a , b , c vektorok ) | Ic 2 a ( a , c , -b ) | I 2 cb ( c , b , -a ) | I 2 cb ( c , a , b ) | Iba 2 ( b , -a , c ) | Ic 2 a ( b , c , a ) |
| 53 | Pmna ( a , b , c vektorok ) | Pman ( a , c , -b ) | Pcnm ( c , b , -a ) | Pbmn ( c , a , b ) | Pnmb ( b , -a , c ) | Pncm ( b , c , a ) |
Több háló
Megjegyzések és hivatkozások
- Az e típusú sík kettős csúszó sík, két különböző irány mentén, és csak ötféle rács-központú ortorombos tércsoportban létezik. A két csúszást a frakcionált komponens transzlációs vektor köti össze. Az e szimbólum használata hivatalossá vált a Tables internationales de crystallographie (2002) A kötetének ötödik kiadásától .
- (in) International Tables for Crystallography , Vol. V: Űrcsoport-szimmetria , Th. Hahn , Kluwer Academic Publishers,2005( Repr. Korrigált), 5 -én ed. ( ISBN 978-0-470-68908-0 ) , fejezet. 4.1.2.3
Bibliográfia
- (en) Alan D. Mighell, „ Hagyományos sejtek: monoklinikus I- és C-központú sejtek ” , Acta Cryst. B , vol. 59, n o 22003, P. 300-302 ( DOI 10.1107 / S0108768103002829 )
Lásd is
Kapcsolódó cikkek
Külső hivatkozás
- (en) " Space group " , az IUCr Online Dictionary of Crystallography (hozzáférés : 2010. augusztus 27. )