Háttérkép csoport

A háttérképcsoport (vagy kétdimenziós tércsoport , vagy sík kristályrajzi csoport ) egy matematikai csoport , amely egy periodikus kétdimenziós minta szimmetriájának halmazából áll . Az ilyen mintákat, amelyeket egy alak végtelen ismétlése ( fordítása ) generál a sík két irányába, gyakran használják az építészetben és a dekoratív művészetekben . 17 típusú háttérképcsoport létezik, amelyek lehetővé teszik az összes periodikus kétdimenziós minta matematikai osztályozását.

A komplexitás szempontjából a háttérképcsoportok a frízcsoportok , az egyszerű és a háromdimenziós tércsoportok közé esnek .

Bevezetés

A háttérképcsoportok a mintákat szimmetriájuk szerint osztályozzák. A finom különbségek hasonló alakzatokat helyezhetnek el a különböző csoportok mintáiban, és nagyon különböző formák vonhatók be ugyanannak a csoportnak a tervei közé.

Tekintsük a következő példát:

Az A és B minták ugyanazzal a háttérképcsoporttal rendelkeznek, amelyet az International Union of Crystallography jelölésében p 4 m -nek , az orbifold jelölésében pedig * 442-nek hívnak . A C minta más háttérképcsoporttal rendelkezik, p 4 g vagy 4 * 2. Az a tény, hogy A-nak és B-nek ugyanaz a háttérképcsoportja, azt jelenti, hogy azonos alakúak a szimmetriák, az alakbeli különbségek ellenére, míg C-nek más a tapétacsoportja, annak ellenére, hogy felszínes a hasonlóság.

Tágabb értelemben a minta szimmetriája a szimmetria műveletek összessége, amely átalakítja a mintát, és amelynek eredménye megegyezik az eredeti mintával. Például a transzlációs szimmetria akkor jelenik meg a mintában, ha egy bizonyos véges távolságra elmozdítható és változatlanul jelenik meg. Ez a helyzet akkor, ha a függőleges oszlopok szabályos halmazát vízszintes irányban mozgatja a rudak közötti távolsággal megegyező távolsággal. A minta (az oszlopok halmaza) változatlanul jelenik meg. A valóságban ilyen szimmetria csak olyan mintában létezik, amely pontosan végtelenül megismétli önmagát. A csak öt sávot tartalmazó függőleges sávok halmaza nem rendelkezik transzlációs szimmetriával: ha a halmazt egy sáv két sáv között mozgatja, az egyik oldalon lévő sáv "eltűnik", és egy másik sáv "megjelenik" onnan. "Másik oldala. A gyakorlatban azonban a háttérképcsoportokba történő besorolást a kész mintákra alkalmazzák, és az apró hiányosságokat figyelmen kívül lehet hagyni.

Csak isometries az euklideszi sík része lehet egy háttérkép-csoport. Például :

Történelmi

A bizonyíték arra, hogy csak 17 háttérképcsoport létezik, először 1891- ben Evgraf Fedorov szolgáltatta, majd Pólya György 1924-ben önállóan bizonyította .

Meghatározás

Adott egy cserép P az az euklideszi sík , azaz a kompakt és kapcsolatokkal rendelkező részén , a csoport G a isometries azt mondják, hogy tapétát ezt a lapkát, ha

ahol a kör a topológiai belső teret jelöli . Az első pont azt fejezi ki, hogy az egész sík burkolattal van borítva, a második, hogy a burkolólapok nem fedik egymást (a szélükön találkoznak). Kimutatták többek között, hogy egy ilyen csoportnak diszkrét topológiája van, és két lineárisan független fordítást tartalmaz .

Két ilyen izometriacsoport  (in) azonos típusú (azonos háttérképcsoport), ha azonos, kivéve a sík affin alkalmazását . Például a teljes sík fordítása (és ezért a forgásközéppontok és a reflexiós tengelyek fordítása) nem változtatja meg a háttérképcsoportot. Ugyanez vonatkozik a transzlációs vektorok közötti szögváltozásra is, amennyiben ez a változás nem ad hozzá vagy távolít el szimmetriát (ez csak akkor van, ha nincsenek reflexiós tengelyek vagy csúszásvisszaverődés , és ha a forgások sorrendje) nem nagyobb, mint 2). A háromdimenziós esettől eltérően lehetséges ezekre az affin transzformációkra korlátozni azokat, amelyek megtartják az orientációt . Így Bieberbach tétele szerint az összes háttérképcsoport külön elvont csoport (ellentétben a frízcsoportokkal , amelyek közül kettő izomorf ).

A kettős transzlációs szimmetriával rendelkező kétdimenziós minták a szimmetriacsoport típusuk szerint kategorizálhatók .

Euklideszi sík izometriák

A isometries az euklideszi sík  (in) van négy kategóriába sorolhatók:

Független fordítások feltétele

Az a tény, hogy a háttérkép csoport kell tartalmaznia két fordítása lineárisan független vektor magában foglalja, hogy van két vektor v és w a lineárisan független, úgy, hogy a csoport tartalmaz T v és T w .

Ennek a feltételnek az a célja, hogy megkülönböztesse a háttérképcsoportokat a frízcsoportoktól , amelyeknek van ugyan transzlációja, de nincs két, lineárisan független vektoruk, valamint megkülönböztetni azokat a kétdimenziós diszkrét szimmetriapont-csoportoktól , amelyeknek egyáltalán nincs fordítása. Más szavakkal, a háttérképcsoportok két különböző irányban ismétlődő mintákat osztályoznak, ellentétben a fríz csoportokkal, amelyek csak azokra a mintákra vonatkoznak, amelyek csak egy irányban ismétlődnek.

Diszkrét karakterfeltétel

A feltétel diszkrét jellegű eszközöket, hogy létezik egy pozitív valós szám ε úgy, hogy minden fordítás T v a csoport, a vektor v rendelkezik a hossza legalább ε (kivéve abban az esetben, ahol v egy nulla vektor ).

Ennek a feltételnek a célja annak biztosítása, hogy a csoport kompakt alapterülettel rendelkezzen, vagyis csak a nulla nélküli (véges területű) hálómintákra vonatkozik, amelyek megismétlődnek a tervben.

A diszkrét karakterfeltétel fontos és nem triviális következménye, a lineárisan független vektorok fordításának feltételével kombinálva, hogy egy háttérképcsoport csak 1., 2., 3., 4. és 6. rendű forgatási műveleteket tartalmazhat: az egyes csoportnak 360 °, 180 °, 120 °, 90 ° vagy 60 ° szögben kell lennie. Ez a kristálytani restrikciós tétel , amely általánosítható más dimenziókra is.

A háttérképcsoportok értékelése

Kristálytani jelölés

Mivel a szimmetria műveletek tapéta csoportok is jelen vannak tércsoport , akkor lehetséges, hogy egy jelölést hasonló a Hermann-Mauguin jelölés a tércsoport által kifejlesztett Carl Hermann és Charles Victor Mauguin . Ezt az értékelést javasolja a Nemzetközi Kristálytani Unió . A háttérképcsoport példája ebben a jelölésben a p 31 m , négy szimbólummal (betűk vagy számok); egy háttérképcsoport értékelése azonban kevesebb szimbólumot tartalmazhat, például cmm vagy pg .

A háttérképcsoportok esetében a jelölés egy betűvel kezdődik, amely a rácsmódot jelöli  : p egy primitív rács és c egy középre helyezett rács. Ezt az első szimbólumot általában egy szám, n követi , amely a legnagyobb forgási sorrendet jelöli: 1 ( azonosság ), 2, 3, 4 vagy 6. A következő két szimbólum szimmetriát jelez a minta fordítási irányainak egyikével , az úgynevezett „főirány”; ha van egy fordítási irányra merőleges tükör, akkor ezt az irányt választják fő iránynak (ha szimmetriával több egyenértékű irány van, akkor ezen irányok egyikét választjuk). A lehetséges szimbólumok: m (reflexiós tengely), g (csúszó reflexiós tengely) vagy 1 (azonosság, nincs nagyobb szimmetria). A visszaverődés vagy a visszacsúszás tengelye merőleges a szimmetria fő irányára a harmadik szimbólum esetében, vagy párhuzamos vagy 180 ° / n szögben (ha n > 2) dőlt az utolsó szimbólum esetében. Számos csoportnak további szimmetriaműveletei vannak a szimbólumokban jelenlévőkhöz képest, amelyek az összes szimmetriaművelet kombinációjából erednek. Ezért gyakori, hogy parancsikon szimbólumot használnak bizonyos háttérképcsoportok jelölésére. A gyorsírásos jelölés elhagyhatja a forgatás első szimbólumát vagy a reflexiós műveleteket, amennyiben nincs más összetévesztés egy másik csoporttal.

A primitív háló a sík legkisebb konvex tartománya, amely lehetővé teszi az egész sík átfedés vagy üreg nélküli burkolását rácsfordítások segítségével. A háttérképcsoportok kivételével szinte mindet egy primitív hálóhoz viszonyítva írják le, a rács legkisebb lineárisan független transzlációs vektorait használó koordináta-rendszer alkalmazásával. A két nem primitív esetben a szimmetria leírása egy középre helyezett hálóra vonatkozik, amely kétszer akkora, mint a primitív háló, és amelynek belső fordításai vannak; a háló oldalainak iránya eltér a primitív hálót meghatározó transzlációs vektorok irányától. A Hermann-Mauguin jelölést tércsoportok használ további hálózati mód.

Példák:

Az alábbi táblázat azokat a háttérképcsoportokat mutatja, amelyek rövidített jelölése eltér a teljes jelöléstől:

Rövidített jelölés 2. o délután oldal cm pmm pmg pgg cmm p 4 m p 4 g p 6 m
Teljes értékelés 211. o p 1 m 1 p 1 g 1 c 1 m 1 p 2 mm p 2 mg p 2 gg c 2 mm p 4 mm p 4 g p 6 mm

A többi csoport a p 1, p 3, p 3 m 1, p 31 m , p 4 és p 6.

Orbifolds jelölés

A tapétacsoportok orbifold jelölését John Horton Conway vezette be . Ez nem kristálytanon , hanem topológián alapul .

A Tizenhét háttérképcsoport

Ebben a szakaszban minden csoportnak két hálós szerkezeti diagramja van, amelyeket a következőképpen értelmeznek:

Háttérkép csoport diagram jelmagyarázat rotation2.svg 2. nagyságrendű forgásközéppont (180 °)
Háttérkép csoport diagram jelmagyarázat rotation3.svg 3. nagyságrendű forgásközép (120 °)
Háttérkép csoport diagram jelmagyarázat rotation4.svg 4. nagyságrendű forgásközép (90 °)
Háttérkép csoportdiagram jelmagyarázat rotation6.svg 6. nagyságrendű forgásközéppont (60 °)
Háttérkép csoport diagram jelmagyarázat.svg egy reflexiós tengely
Háttérkép csoportdiagram jelmagyarázat glide reflection.svg csúszó reflexiós tengely

A bal oldali ábrákon a sárga terület az alaptartományt , más néven aszimmetrikus egységet jelenti , vagyis a minta legkisebb részét, amely felhasználható a teljes minta teljes rekonstrukciójára a csoport összes szimmetriai műveletéből. A jobb oldali diagramok a hálózat legkisebb fordításainak megfelelő primitív hálót mutatják; a bal oldali ábrák hálójának területe néha kétszer akkora.

Monoklin kristálycsalád

A monoklinikus kristálycsaládban a retikuláris rendszer is monoklinikus. Az egységcellát meghatározó két transzlációs vektor hosszúsága eltérő lehet, és a két vektor szöge tetszőleges.

P 1. csoport Csoport p 2 Példák A csoportban p 2

Ortorombos kristálycsalád

Az ortorombos kristálycsaládban a retikuláris rendszer is ortorombikus. Az elemi cellát meghatározó két transzlációs vektor hosszúsága eltérő lehet; 90 ° -os szöget képeznek közöttük.

csoport pm

Az alábbi két első példa mintázatának függőleges szimmetriatengelye van; az utóbbi kettőnek különböző átlós szimmetriatengelye van. Az utolsó példában szigorúan véve a minta csoportja p 1: az azonos vonal két oválisát összekötő szakasz megtöri a tükör szimmetriáját.

Példák a pm csoportra csoport Pg

Szerkezeti részletek nélkül az alábbi szőnyegcsoport pmg  ; a szerkezeti részletekkel, de a színeket figyelmen kívül hagyva, a csoport pgg . A lágyított négyzet alakú csempézés példáján a húzott reflexiós tengelyek átlósak, balról fentről jobbra lent. A színek figyelmen kívül hagyásával a szimmetria már nem pg, hanem p 4 g .

Példák a pg csoportra Csoport cm

Ez a csoport leírja azoknak az azonos tárgyaknak az eltolódási vonalait, amelyeknek szimmetriatengelye merőleges a vonalakra (mindegyik vonal szomszédaihoz képest eltolódik a vonalat alkotó objektumok félfordításának hosszában) .

Példák a cm csoportra csoport pmm

Az alábbi harmadik példában, ha nem vesszük figyelembe a színeket, a háttérképcsoport p 4 m típusú .

Példák a pmm csoportra PMG csoport Példák a pmg csoportra csoport pgg Példák a pgg csoportra Csoport cmm

Ezzel a csoporttal gyakran találkoznak a mindennapi életben, mivel megfelel az építkezés során leggyakrabban használt téglák elrendezésének (lásd az alábbi második példát).

Példák a cmm csoportra

Az első példában a háttérképcsoport csak cmm, ha a színt figyelmen kívül hagyják; különben a csoport o . A harmadik példában, figyelmen kívül hagyva a színt, megkapjuk a p 4 g csoportot .

Egyéb példák: kompakt halom különféle méretű körök

Másodfokú kristálycsalád

A másodfokú kristálycsaládban a retikuláris rendszer is másodfokú. Az egységcellát meghatározó két transzlációs vektor azonos hosszúságú és 90 ° -os szöget képez közöttük.

4. p csoport

Az alábbi első példa alapos vizsgálata azt mutatja, hogy a látszat ellenére a minta nem tartalmaz reflexiós tengelyt.

Példák A csoportban p 4 Csoport p 4 m Példák a p 4 m csoportra Csoport p 4 g Példák a p 4 g csoportra

Hatszögletű kristálycsalád

Csoport p 3

Tekintsünk egy mozaik a sík egyenlő oldalú háromszög , amelynek oldalai megfelelnek a legkisebb fordításai a mintát. A háromszögek fele valamilyen irányú, míg a másik fele a másik irányba néz. A p 3 háttérképcsoport megfelel annak az esetnek, amikor az összes azonos orientációjú háromszög azonos, de különbözik a másik orientációjú háromszögektől; bár mindegyiküknek 3-as rendű forgásszimmetriája van, a kétféle háromszög tükrözésével nem egyenértékű, és maguk a háromszögek sem szimmetrikusak. A p 3 csoport adott mintájához három csempézés lehetséges, amelyek mindegyikének hálózati csomópontjai vannak a különböző forgási központokon. Más szavakkal, minden burkoláshoz három alternatív eredeti választási lehetőség van. A fenti jobb oldali p 3 diagramban a hálózati csomópontok kiválaszthatók a piros, kék vagy zöld háromszögeken. Ha a mintában szereplő összes háromszög megegyezik, akkor a kapott csoport p 6, ha a háromszögek tükrözéssel ekvivalensek, akkor a csoport p 31 m , és ha maguknak a háromszögeknek is van tükröződési tengelye, akkor a csoport p 3 m 1 ; ha az előző feltételek közül legalább kettő teljesül, a harmadik következik, és a csoport ekkor p 6 m .

Figyelembe lehet venni a sík szabályos hatszögekkel történő tessellációját is , amelyek oldalai megfelelnek a minta legkisebb fordításának hosszának, osztva √3-mal. Ezután a p 3 csoport megfelel annak az esetnek, amikor az összes hatszög azonos, azonos irányú és 3-as rendű forgásszimmetriájú, a visszaverődés szimmetriája nélkül. Egy ilyen mintához három alternatív csempézés létezik, a hálózati csomópontok mindegyike a hatszög középpontjának egyharmadának felel meg. Ha a hatszögek forgásszimmetriája 6-os nagyságrendű, akkor a kapott csoport p 6, ha a fő átlójukhoz képest visszaverődéssel szimmetrikusak, akkor a csoport p 31 m , ha az oldalukra merőleges vonalakkal szimmetrikusak a csoport p 3 m1 ; ha az előző feltételek közül legalább kettő teljesül, a harmadik következik, és a csoport ekkor p 6 m .

Példák A csoportban p 3

Az első példában, a színek figyelmen kívül hagyásával, a háttérképcsoport p 6. Az utolsó példában a háttérképcsoport p 3 csak a színek figyelmen kívül hagyásával.

Csoport p 3 m 1

Ami a p 3 csoportot illeti , vegyük figyelembe a sík felosztását egyenlő oldalú háromszögekkel, amelyek azonos méretűek és amelyek oldalai a legkisebb fordításoknak felelnek meg. Ezután a háromszögek felének az iránya ellentétes a háromszögek másik felével. Ez a háttérképcsoport megfelel annak az esetnek, amikor az összes azonos tájolású háromszög azonos. Két különböző irányú háromszög mindkettő 3 m-es szimmetrikus , de nem azonosak, és nem is tükrözik egymás képét. Adott p 3 m 1 szimmetria burkoláshoz háromféle háló választható, az origónak választott forgásközéptől függően. A bal oldalon látható hálószerkezetben az origó választható kék középponton, piros középponton vagy zöld középponton.

Példák a p 3 m 1 csoportra

Az első két példában a színeket figyelmen kívül hagyva a háttérképcsoport p 3 m 1.

P csoport 31 m

Ami a p 3 és a p 3 m 1 csoportokat illeti, vegyük figyelembe a sík felosztását egyenlő oldalú háromszögekkel, amelyek azonos méretűek, és amelyek oldalai megfelelnek a legkisebb fordításnak. Ezután a háromszögek felének az iránya ellentétes a háromszögek másik felével. Ez a háttérképcsoport megfelel annak az esetnek, amikor az összes azonos tájolású háromszög azonos. Két különböző irányú háromszög mindkettő a 3. pont szimmetriájú, és egymás tükröződése tükröződés útján. Egy ilyen burkolásnál csak egy lehetséges választás áll rendelkezésre a háló eredete szempontjából: a 3. rend forgásközéppontja a visszaverődés tengelyeinek metszéspontjában található (piros színnel a bal oldalon látható hálószerkezetben).

Példák a p 31 m csoportra Csoport p 6

Ez a csoport felel meg a sík egyforma egyenlő oldalú háromszögeinek, amelyeknek szimmetrikus pontja a 3. pont, vagy a síknak a hatszögű, a 6. pont szimmetriájú tessellációja (a hatszögek szélei nem feltétlenül a minta részei).

Példák A csoportban p 6 P csoport 6 m

Ez a csoport felel meg a sík azonos egyenlő oldalú háromszögeinek 3 m-es szimmetriájú tessellációjának, vagy a sík tesszellációjának 6 m-es szimmetrikus hatszögekkel (a hatszögek élei nem feltétlenül a minta részei).

Példák a p 6 m csoportra

A háttérképcsoportok számáról

Felismerési útmutató háttérképcsoportokhoz

A minta háttérképcsoportjának meghatározásához használja a következő táblázatot:

A legkisebb
forgási szög		 Tükrözést tartalmaz?
Igen Nem
360 ° / 6 = 60 ° p 6 m (* 632) 6. o (632)
360 ° / 4 = 90 ° 45 ° -os tükröt tartalmaz? 4. p (442)
Igen: p 4 m (* 442) Nem: p 4 g (4 * 2)
360 ° / 3 = 120 ° Tart egy forgásközéppontot
a tükrökön kívül?		 3. p (333)
Igen: p 31 m (3 * 3) Nem: p 3 m 1 (* 333)
360 ° / 2 = 180 ° Merőleges tükrözéseket tartalmaz? Húzott tükröt tartalmaz?
Igen Nem
Tart egy forgásközéppontot
a tükrökön kívül?		 pmg (22 *) Igen: pgg (22X) Nem: 2. p (2222)
Igen: cmm (2 * 22) Nem: pmm (* 2222)
egyik sem = 360 ° A
tükrökből kicsúszott reflexiós tengelyt tartalmaz ?		 Húzott tükröt tartalmaz?
Igen: cm (* X) Nem: pm (**) Igen: pg (XX) Nem: p 1 (O)

Az ötféle Bravais rács

5 típusú kétdimenziós Bravais-rács létezik . Két kis dőlt betűvel jelöljük őket. Az első a kristályos családot jelöli: m , o , t és h . A második a hálózati módot jelöli: p primitívnek és c középre. A mintázat nélküli Bravais rács háttérképcsoportja azt a maximális szimmetriát képviseli, amely az ilyen típusú rács mintázatában megtalálható.

Szimmetriacsoportok

Transzformációk a háttérképcsoportokon

A minta háttérképcsoportja invariáns az egységes izometriák és tágulások ( hasonlóságok ) hatására.

Bármilyen bijektív affin leképezés megőrzi a minta transzlációs szimmetriáját. Ugyanez vonatkozik a 2. rendű forgatásokra is; még a (4 és 6) sorrendű forgatásokat sem feltétlenül tartják meg, hanem legalább másodrendű elfordításokká alakítják.

A tengely körül húzott tükröződések és reflexiók megmaradnak, amikor összehúzódnak, tágulnak vagy merőlegesek az adott tengelyre.

Tapétacsoportok a művészettörténetben

Az ókori Egyiptom kétdimenziós periodikus mintái közül a tizenhét tapétacsoport közül tizenkettő használatát bizonyították; hiányzik az öt hatszögletű csoport, amelyek tartalmazzák a 3. és 6. sorrendű forgásszimmetriákat.

Az arabeszk a Alhambra példázzák használata kétdimenziós periodikus minták a művészet az iszlám . Még nem világos, hogy mind a tizenhét háttérképcsoport megtalálható-e az Alhambrában: Edith Müller és Branko Grünbaum nem gondolják, ellentétben José María Montesinosszal és Marcus du Sautoy-val .

A pm , pg és p 3 csoportok kivételével az összes háttérképcsoportot használták a kínai művészetben .

Megjegyzések és hivatkozások

Megjegyzések

  1. A másodfokú latin eredetű jelzőt a franciában jobban használják, mint a tetragonális görög eredetű jelzőt . Azonban az utóbbi a szokásos használt melléknév a Nemzetközi táblázatok Crystaiiography . Sőt, a Bravais-hálózatok szimbólumai ebben a családban a tetragonális jelző első t betűjét használják .
  2. „Egyenoldalú háromszög” alatt itt olyan objektumot jelölünk, amelynek kerületét egyenlő oldalú háromszög írja le, de tartalma tetszőleges lehet.
  3. A „szabályos hatszög”, megnevezzük itt egy tárgy, amelynek kerülete van leírva egy szabályos hatszög, de amelynek tartalma lehet önkényes.

Hivatkozások

  1. (ru) Evgraf Fedorov , "  Simmetrija na ploskosti  " , Zapiski Imperatorskogo Sant-Petersburgskogo Mineralogicheskogo Obshchestva , vol.  28, n o  21891, P.  245-291
  2. (De) Pólya György , „  Über die Analogy der Kristallsymmetrie in der Ebene  ” , Zeitschrift für Kristallographie , vol.  60, n o  1,1924, P.  278–282 ( DOI  10.1524 / zkri.1924.60.1.278 )
  3. (in) International Tables for Crystallography , Vol.  V: Űrcsoport-szimmetria , Th. Hahn , Kluwer Academic Publishers,2005( Repr.  Korrigált), 5 -én  ed. ( ISBN  978-0-470-68908-0 )
  4. (in) John Horton Conway , "Az Orbifold értékelés a felületi csoportok" , a Proceedings of the LMS Durham Symposium, július 05-15, Durham , UK, 1990: Csoportok, kombinatorika és geometria , MW Liebeck és J. Saxl, al .  „London Math. Soc. Lecture Notes Series "( n °  165), Cambridge University Press, Cambridge, 1992, p.  438-447
  5. (a) John Horton Conway , Heidi Burgiel és Chaim Goodman-Strauss , szimmetriáinak dolgok , Taylor és Francis ,2008, 426  p. ( ISBN  978-1-56881-220-5 és 1-56881-220-5 )
  6. (in) Paulo G. Radaelli , szimmetria krisztallográfia: Ismerkedés a nemzetközi asztalok , Oxford, Oxford University Press,2011, 126  p. ( ISBN  978-0-19-955065-4 , online olvasás ) , p.  49
  7. (in) Branko Grünbaum , "  A császár új ruhája: teljes díszben, G húr, vagy semmit?  ” , The Mathematical Intelligencer , vol.  6, n o  4,1984. december, P.  47–53 ( DOI  10.1007 / BF03026738 )
  8. (De) Edith Müller, Gruppentheoretische und strukturanalytische Untersuchungen der maurischen Ornamente aus der Alhambra in Granada (doktori értekezés),1944
  9. (in) Branko Grünbaum : "  Milyen szimmetriacsoportok vannak jelen az Alhambrában?  ” , Az Amerikai Matematikai Társaság közleményei , vol.  53, n o  6,2006, P.  670-673 ( online olvasás )
  10. (a) José María Montesinos, Klasszikus Tesselations és három-házakat , Springer Verlag ,1987, 230  p. ( ISBN  978-3-642-61572-6 , online előadás )
  11. (in) Marcus du Sautoy , Finding Moonshine: A matematikus utazás során Symmetry , Harper Collins Paperbacks,2008, fej.  3
  12. (in) Doris Schattschneider , "  A sík szimmetriai csoportjai: elismerésük és minősítésük  " , American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America, vol.  85, n o  6,1978, P.  439-450 ( online olvasás )

Bibliográfia

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Külső linkek

Források és programok