A krisztallográfia , a hálózat Bravais rendszeres terjesztési pontok - az úgynevezett csomópontok - a térben, amely képviseli a gyakorisága eloszlása atom egy kristály . A csomópontok úgy képzelhetők el, mint a háló csúcsai , vagyis azok a térrészek, amelyekben a kristályszerkezet felosztható. A szerkezetet ezután a háló egyszerű fordításával rekonstruálják. A Bravais-rács adatai nem elegendők egy kristály jellemzéséhez: egyrészt a kristály atomokból és nem csomópontokból áll, másrészt a háló több atomot is tartalmazhat, ami azt jelenti, hogy a rács néhány szimmetriája nem feltétlenül a kristályszerkezet szimmetriái: ez a meridrális kristályok esete . Amikor a Bravais-rács teljes szimmetriája a kristályszerkezetben is megvalósul, holohedron-kristályokról beszélünk .
Formálisan, egy Bravais rács dimenzióban n van meghatározva, mint a készlet vektorok { m 1 egy 1 + m 2 a 2 + ... + m n egy n }, ahol m 1 , ..., m n tartoznak Z és ahol az alap vektorok az a hálózat egy 1 , ..., a n jelentése n lineárisan független vektor. A paraméterek a rács alkotják a hossz egy 1 , ..., a n , és a szögek között az alap vektorok a rács.
A periodicitás generál szimmetria csoportja alkotja fordítás és forgatás műveletek elhagyása Bravais rács invariáns. Ha a hálózatok száma végtelen, mivel a paraméterek minden értéke egy másik hálózatnak felel meg, akkor a hálózatok „típusainak” (az úgynevezett „hálózati módoknak”) a vége, a hálózat típusát a szimmetriacsoportja határozza meg . Így 5 típusú Bravais-rács van kétdimenziós térben és 14 típus háromdimenziós térben.
Ha egy kristályban forgás közbeni invariancia van , akkor azt mondjuk, hogy van egy 2, 3, 4 vagy 6 nagyságrendű szimmetriatengely, attól függően, hogy a kérdéses forgás megfelel-e ± 180 °, ± 120 ° szögnek , ± 90 ° vagy ± 60 °. A Bravais-hálózatok csoportelméleti vizsgálata kimutatta, hogy kétdimenziós és háromdimenziós terekben nincs olyan kristály, amelynek szimmetriatengelye az 5. nagyságrendű lenne. Ez már nem igaz, ha az atomeloszlás nem periodikus, ahogyan ez egy kvázi-kristály : a megfigyelt atomi eloszlást azután értelmezhető matematikailag, mint a vetülete a háromdimenziós térben a irracionális szakasz egy periodikus struktúra a magasabb dimenzió (4, 5 vagy 6).
Ha egy hálózat végtelen, akkor azt egy háló írja le , amely végtelen ismétléssel reprezentálja az egységet, amelyből a hálózat származik. A háló választása nem egyedülálló, minden hálózatot elvileg különféle háló végtelen számával lehet leírni; így a hálózati paraméterek kifejezik a hálóparamétereket . Kétféle hálót használnak leggyakrabban: a primitív (vagy elemi) hálót és a hagyományos hálót : mindegyik kristálycsaládban van egy hálózat, amelynek hagyományos hálója primitív. Azok a kristályok, amelyeknek hagyományos hálói a csomópontok hozzáadásával vagy eltávolításával átalakulnak egymásba, akár az arcok közepén, akár a háló térfogatában, ugyanahhoz a kristálycsaládhoz tartoznak .
A Bravais-rács matematikai kérdésnek felel meg. Ez együtt jár a tanulmány egy kvázi vektortér , a különbség egy vektortér és a hálózat az, hogy az utóbbi esetben a skaláris vannak egész számok , és nem invertálható számok (kivéve a 0), mint az igaziak. Vagy komplexek . Ahhoz, hogy hasznot egy könnyen megfogható geometria , a hálózat merítjük vektor teret a minimális méret . Ez a tér a hálózat meghatározása szerint véges dimenziójú. Végül a hálózat affin térként is felfogható .
Az első tulajdonságok egyike az a tény, hogy a vektortér felépítéséhez hasonlóan van egy bázis is, és ha egy ilyen bázis nem egyedi, akkor a térfogata is az. A fundamentális tartomány bázis jön létre a vektorhalmaz amelynek koordinátái a bázis a [0,1 [, amit a kristályosító felhívja a primitív sejt . A jobb oldali ábra két alapterületet szemléltet, zöld és piros színnel, szükségszerűen azonos térfogattal.
Számos csoport természetesen megjelenik a Bravais-hálózatok tanulmányozásában. Először, mint a vektortérben, a rács egy csoportot alkot a vektorok hozzáadásához. Ez a csoport izomorf a fordítások csoportjával szemben, így a rács invariáns. Ezután fontos kérdés az ortogonális csoport kérdése, amelyet néha pontszimmetria csoportnak is hívnak . Ez alkotja a lineáris alkalmazások , amelyek megőrzik távolságokat és szögeket, mint egy forgatás , vagy egy reflexió a tükörben. Ezek az átalakulások alkotják a hálózat vektorizometriáit . Egy hálózatban az ortogonális csoport mindig véges és csoportos felépítésű . Vagyis van egy semleges elem, amely nem mozgatja a hálózat egyetlen pontját sem, hogy az izometria kölcsönös alkalmazása továbbra is izometria, és hogy a lineáris térképek összetételének törvénye asszociatív . Végül, kombinálásával a két előző csoportokban, akkor egy másik csoportját képezik: a tér csoport a hálózat.
A vektorterek esetével ellentétben két azonos dimenziójú hálózat ortogonális csoportjai nem feltétlenül izomorfak . A 2-dimenziós rács ortogonális csoportjának szerkezetét meglehetősen könnyű meghatározni. Csak 4 lehetséges véges csoport létezik, és ezek mind kis bíborosok : 2, 4, 8 vagy 12. Nincs szükség kifinomult eszközre, csak használjon néhány 2x2-es mátrixot a céljainak eléréséhez. A 3. dimenzióban a kérdés kissé durvábbá válik. A legnagyobb csoport 48 elemet tartalmaz. A csoport felépítésének magyarázatához egyszerűbb a véges csoport reprezentációinak elméletéhez apellálni . A kissé elvont eszköz, a karakter lehetővé teszi a kényesnek tűnő kérdések gyors megoldását.
A részletes cikket Network (geometria) él a lineáris algebra építésére ortogonális csoportok hálózatainak méret 2 és az ábrázolás egy csoport dimenzió 3.
Az egydimenziós térben csak egyetlen típusú hálózat létezhet, amely egy periodikus ismétlődő csomópontokból áll a meglévő egyetlen irány mentén, ahogyan a jelzett tengely rendelkezik . A távolság két csomópont az a paraméter, egy .
Egydimenziós űrhálózat.
Kétdimenziós térben a hagyományos háló lehet primitív ( p ) vagy középen ( c ). A tengelyeket a és b betűk jelzik , az interaxiális szöget γ-nak nevezzük. Ötféle rács létezik ebben a térben, amelyeket a kristálycsaládnak megfelelő betű jelöl, majd a rácsmód (kisbetű).
A monoklin kristálycsaládban nincsenek korlátozások a paraméterek tekintetében. Csak egyféle hálózat létezik ebben a családban: mp (primitív monoklinika).
Kétdimenziós tér primitív monoklinikus hálózata.
Az ortorombos kristálycsaládban γ = 90 °. Kétféle hálózat létezik ebben a családban: op (primitív ortorombos) és oc (középre ortorombos). Az ábrán, amely azt mutatja, a hagyományos mesh a hálózat oc (piros), a négy primitív háló is látható (fekete).
A kétdimenziós tér primitív ortorombos hálózata.
Kétdimenziós tér központosított ortorombos hálózata. A hagyományos hálót (piros) és négy primitív hálót (fekete) az ábra mutatja.
A tetragonális kristálycsaládban a = b és γ = 90 °. Csak egy típusú hálózat létezik ebben a családban: tp (primitív tetragonális).
A kétdimenziós tér primitív tetragonális rácsa.
A hatszögletű kristálycsaládban a = b és γ = 120 °. Csak egy típusú hálózat létezik ebben a családban: hp (primitív hatszögletű).
A kétdimenziós tér primitív hatszögletű rácsa.
A háromdimenziós tér hálózatai megszerezhetők a kétdimenziós tér hálózataiból egy harmadik, nem koplanáris irány hozzáadásával. A tengelyeket a , b és c , a szögeket α ( b és c között ), β ( a és c között ) és γ ( a és b között ) jelöli . Hét hálózati mód lehetséges, nagybetűvel jelölve:
Az S betű (csak S középre helyezett arcpár) arra is szolgál, hogy együtt jelezzék az egyoldalas középre helyezett rácsokat, amelyek a tengelyváltást követően egymással átalakíthatók.
Tizennégyféle rács létezik ebben a térben, amelyeket a kristálycsaládnak megfelelő betű, majd a rács mód jelez (nagybetűvel).
A triklinikus kristálycsaládban nincsenek korlátozások a paraméterek tekintetében. Csak egy típusú hálózat létezik ebben a családban: aP (primitív anorta). A t betű a tetragonális kristálycsalád számára van fenntartva, ezért használunk egy (anorta, a triklinika szinonimája) kifejezést.
A háromdimenziós tér primitív triklinikus hálózata.
A monoklinikus kristálycsaládban három szögből kettő (általában α és γ-ként választva) igaz. Kétféle hálózat létezik ebben a családban: mP és mC . Az mC háló más tengelyválasztással átalakítható mI- vé .
A háromdimenziós tér primitív monoklinikus hálózata.
A háromdimenziós tér C monoklinikus hálózata és annak alternatív leírása hálóval mI .
Az ortorombos kristálycsaládban a három szög igaz. Négyféle hálózat létezik ebben a családban: oP , oS , oI és oF . Mivel a szimmetria a hagyományos háló nem ró prioritás a tengelyeket, a három hálózat oA , ob és oC egyenértékűek megváltozását követően a tengelyek és a gyűjtőnéven megjelölt operációs rendszerek .
A háromdimenziós tér primitív ortorombos hálózata.
Ortorombos hálózat a háromdimenziós tér központosított arcával. A három hálózat oA , ob és oC lehet alakítani egymással különböző választási tengelyek és együttesen megjelölt oS .
A háromdimenziós tér központosított térfogatú ortorombos hálózata.
Orthorhombikus hálózat bármely arcra, amely háromdimenziós térben központosul.
A tetragonális kristálycsaládban a = b , α = β = γ = 90 °. Ebben a családban kétféle hálózat létezik: tP (egyenértékű a tC-vel ) és tI (egyenértékű a tF-vel ).
A háromdimenziós tér primitív tetragonális rácsa. A tC hálózat egyenértékű a tP hálózattal , eltérő tengelyválasztással .
Háromdimenziós rács háromdimenziós tér központosított térfogatával. A tF hálózat egyenértékű a tI hálózattal , eltérő tengelyválasztással .
A hatszögletű kristálycsaládban a = b , α = β = 90 °, γ = 120 °. Két hálózati mód létezik ebben a családban: hP és hR .
A háromdimenziós tér primitív hatszögletű rácsa.
A háromdimenziós tér Rhombohedral hálózata.
A köbös kristálycsaládban a = b = c , α = β = γ = 90 °. Három hálózati mód létezik ebben a családban: cps , cl és cF .
A háromdimenziós tér primitív köbös rácsa.
Hálózatközpontú köbméter háromdimenziós tér.
Hálózati arcközpontú köbös háromdimenziós tér.
A hálózat, amely a csomópontok rendszeres eloszlása az űrben, nem primitív és nem központosított. A „primitív hálózat / központosított hálózat” kifejezés valójában a „hálózat, amelynek hagyományos hálója primitív / központú” kifejezéssel való visszaélés .
A háromdimenziós tér hálózatait Moritz Ludwig Frankenheim (en) határozta meg 1842-ben, aki nem ismerte el az mC és az mI hálózatok egyenértékűségét . Auguste Bravais 1848-ban kijavította a hibát, a helyes számot 14-re javítva.