Osztható csoport

A matematikában , és különösen a csoportelméletben , az osztható abeli csoport egy abeli G csoport , amely bármely természetes n = 1 szám esetén (additív jelöléssel) G = nG. Ez azt jelenti, hogy G bármely x elemére és bármely természetes n számra, ≥ 1, létezik legalább egy y elem G-ben, így x = ny. Ezt a meghatározást kiterjeszthetjük nem abeli csoportokra is, egy osztható csoport olyan csoport, amelyben (multiplikatív jelölésben) minden elem n-edik hatvány, függetlenül a természetes n ≥ 1 számtól. Az osztható csoportok közül azonban csak az abeli osztható a csoportok a csoportelmélet klasszikus fejezetét alkotják, és csak ezekről lesz szó ebben a cikkben.

Példák

A racionális számok itive additív csoportja osztható.
Általánosságban elmondható, hogy a ℚ mező bármely vektorterének additív csoportja osztható (így torzió nélkül megkapjuk az összes osztható csoportot ).
Az osztható csoport bármely hányada osztható. Különösen a ℚ / ℤ osztható.
Egy adott prímszám p , a p -primary komponenst ℤ [1 / p ] / ℤ a ℚ / ℤ - is megjegyezte ℤ ( p $\infty$ ) - osztható. Ez azt jelenti, hogy azt mondják, hogy a Prüfer-csoportok oszthatók.
A nem nulla komplex számok ℂ * multiplikatív csoportja osztható, mivel egy komplexnek n- edik gyöke van minden n-hez .

Tulajdonságok

Egy abeli G csoport akkor és csak akkor osztható, ha G = p G bármely p prímszámra .
Egy p-elsődleges abeli csoport (más szóval egy abeli p-csoport ) csak akkor osztható, ha G = pG.
Az abeli csoportok közvetlen összege akkor és csak akkor osztható, ha e csoportok mindegyike osztható.
(Baer, 1940) Ha f egy homomorfizmus egy Abel csoport egy osztható Abel D csoport, ha B jelentése egy Abel csoport, amelyben A jelentése egy alcsoport, f lehet hosszabbítani egy homomorfizmus a B be D.
Az abeli csoport bármely osztható alcsoportja közvetlen tényező . (Valóban, ha egy abeli A csoport D alcsoportja osztható, akkor az előző tulajdonság szerint D identitási homomorfizmusa kiterjeszthető az A homogén morfizmusára a D-n, és tudjuk, hogy ez azt jelenti, hogy D egy közvetlen tényezője A.)
Bármelyik abeli csoport bevethető osztható abeli csoportba.
Az abeli csoport akkor és csak akkor osztható, ha nincs maximális alcsoportja .

Az osztható abeli csoportok szerkezeti tétele

Az osztható abeli csoportok szerkezetét a következő tétel írja le teljes mértékben:

Bármely osztható abeli csoport egyedülállóan a (véges vagy végtelen) csoportok közvetlen összege, amelyek mindegyike Prüfer- csoport vagy a racionális számok ℚ additív csoportjával izomorf csoport.

Pontosabban, minden osztható abeli $G$ csoport esetében :

{\ displaystyle G \ simeq T (G) \ oplus (G / T (G)), \ quad G / T (G) \ simeq \ mathbb {Q} ^ {(I)}, \ quad T (G) = \ oplus _ {p} T_ {p} (G), \ quad T_ {p} (G) \ simeq \ mathbb {Z} (p ^ {\ infty}) ^ {(I_ {p})},}

vagy végül:

G≃⊕oZ(o∞)(éno)⊕Q(én),{\ displaystyle G \ simeq \ oplus _ {p} \ mathbb {Z} (p ^ {\ infty}) ^ {(I_ {p})} \ oplus \ mathbb {Q} ^ {(I)},}

{\ displaystyle G \ simeq \ oplus _ {p} \ mathbb {Z} (p ^ {\ infty}) ^ {(I_ {p})} \ oplus \ mathbb {Q} ^ {(I)},}

ahol

T ( G )

a torziós alcsoport és a

T p ( G )

elsődleges komponensei, az

I

bíborosa annak a ℚ-vektortérnek a dimenziója, amelynek

G / T ( G )

az additív csoport és

I

bíborosa

p

az F p -vektortér dimenziója, amelynek { g ∈ G | alcsoportja pg = 0}

T p ( G )

az additív csoport.

Mivel bármely alcsoportja egy Abel- csoport véges típusú maga a véges típusú és mivel sem ℚ sem Prüfer csoport véges típusú, ebből következik, hogy egy osztható Abel csoport véges típusú szükségszerűen null (is mutatnak közvetlenebbül).

Csökkentett abeli csoportok

Bizonyítjuk, hogy bármely abeli G csoport nagyobb osztható alcsoportot, vagyis osztható alcsoportot fogad el, amely az összes többit tartalmazza. Ezt az alcsoportot dG-vel jelöljük. Azt mondják, hogy egy abeli G csoport, amelyre dG = 0 (más szóval egy abeli csoport, amelynek csak null-alcsoportja osztható alcsoport), csökken . Bizonyítjuk, hogy bármely G abeli csoport elfogadja a G = dG ⊕ R közvetlen összegbontást, ahol R redukált csoport.

Általánosítások

Az osztható csoport fogalma kiterjeszthető az A-modulokra , ahol A egy ilyen vagy ilyen típusú gyűrű . Például, Bourbaki definiál egy osztható A-modul, ahol A egy szerves gyűrűt , mint egy A-modul M úgy, hogy minden elem x az M és minden nem nulla elemet egy az A, van olyan y M olyan, hogy x = ay. Egy abeli csoport akkor és csak akkor osztható, ha osztható, mint a Z- modul.
A Baer-tételben szereplő osztható csoportok tulajdonsága (vö. § Tulajdonságok ) valójában jellemző: az abeli D-csoport akkor és csak akkor osztható, ha kielégíti, más szóval, ha injektív, mint a Z- modul (általában véve: egy főgyűrű , az osztható modulok pontosan az injektív modulok).

Megjegyzések és hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket angolul című „ osztható csoport ” ( lásd a szerzők listáját ) .

WR Scott, Group Theory , 1964, nád. Dover 1987, p. A 95. cikk meghatározza az osztható csoportokat anélkül, hogy abelikusnak feltételezné őket, de e meghatározás után mindazok az osztható csoportok, amelyeket szerinte abeliek.
Lásd például (in) Joseph J. Rotman , Bevezetés a csoportok elméletébe [ a kiadások részlete ], 4 -én ed., 1999-es kiadás, Ex. 10.23, i, p. 324.
Lásd például Rotman 1999 , gyakorlás. 10.23, ii, p. 324.
Lásd például Rotman 1999 , 10.7. 320.
Bemutatót lásd például Rotman 1999 , p. 320-321. JJ Rotman ezt a tételt „Injektív tulajdonságnak” nevezi.
Lásd például Rotman 1999 , p. 321.
A bemutatót lásd például Rotman 1999 , p. 323.
Lásd például Rotman 1999 , gyakorlás. 10.25, p. 324.
Lásd például Rotman 1999 , gyakorlás. 10.7, ii, p. 318.
Bizonyítás indukcióval egy véges generáló család sarkalatos n- jén . Az állítás nyilvánvaló, ha ez a bíboros nulla. Ha egy osztható Abel-csoport G által generált véges család x 1 , ..., x n , az n ≥ 1, akkor G / ⟨x n ⟩ által generált n - 1 elemek, majd, az indukciós feltevés on n G / ⟨x n ⟩ nulla, így a G ciklikus. Nem lehet végtelen monogén, mert a ℤ nem osztható. Tehát G elkészült. Legyen n annak rendje. Mivel G osztható, G = n G = 0.
A bemutatót lásd például Rotman 1999 , p. 322.
N. Bourbaki , Algebra , vol. I, p. II.197., Gyakorlat. 33.
Lásd például Rotman 1999 , gyakorlás. 10.22, p. 324. Ha egy csoport G a injektív tulajdonsága Baer-tétel, akkor, bármely elem x G és bármely nem nulla természetes szám n , az egyedülálló homomorfizmus f n Z G alkalmazandó n , hogy x lehet terjeszteni a homomorfizmus g a Z G. A kép 1 g ezután egy elem y g úgy, hogy x = ny. ( Q-ra is kiterjeszthettük volna Z homomorfizmusát G-ben, amely 1-re vonatkozik x-re .)