Származtatott csoport
A matematika , a algebra egy csoportban G , a származék-csoport , jegyezni D ( G ), vagy [ G , G ], a legkisebb normális részcsoport , amelyre a hányados csoport G / [G, G] van Abel . A G- ből származtatott csoport akkor és csak akkor triviális, ha a G- csoport abeli. A G hányadoscsoportja származéka alapján a G abelianizációja .
Az abelianizációs folyamat gyakran lehetővé teszi annak bizonyítását, hogy két csoport nem izomorf. Geometriával is foglalkozik .
Kapcsolók
A kapcsoló a két elem és a meghatározás szerint az elem által meghatározott:
g∈G{\ displaystyle g \ in G}h∈G{\ displaystyle h \ G-ben}[g,h]{\ displaystyle [g, h]}
[g,h]=ghg-1h-1{\ displaystyle [g, h] = ghg ^ {- 1} h ^ {- 1} \,}.
A kapcsoló méri a g és h elemek kapcsolási hibáját :
gh=[g,h]hg{\ displaystyle gh = [g, h] hg} és aztán :
[g,h]=e⇔gh=hg{\ displaystyle [g, h] = e \ Balra mutató nyíl gh = hg}
Különösen egy abeli csoportban az összes kapcsoló megegyezik a semleges elemmel .
e{\ displaystyle e}
- G és h kapcsoló fordítottja h és g kapcsolója :
[g,h]-1=[h,g]{\ displaystyle [g, h] ^ {- 1} = [h, g]}.
- A kommutátorok halmaza stabil bármely G endomorfizmusa esetén : minden g és h esetében G-ben ,ψ{\ displaystyle \ psi}
ψ([g,h])=[ψ(g),ψ(h)]{\ displaystyle \ psi ([g, h]) = [\ psi (g), \ psi (h)]}.
- A G- ben lévő összes g , h és k esetén:
[g,hk]=[g,h].h[g,k]h-1{\ displaystyle [g, hk] = [g, h] .h [g, k] h ^ {- 1}}.
Származtatott csoport
A kapcsolók halmaza fordítva stabil, de nem feltétlenül összetétele. Általában nem a G alcsoportja . A kapcsolók által generált alcsoportot G- ből származtatott csoportnak nevezzük, amelyet D ( G ) vagy [ G , G ] jelöl .
D(G)=[G,G]=⟨{[g,h]∣(g,h)∈G2}⟩.{\ displaystyle D (G) = [G, G] = \ langle \ {[g, h] \ mid (g, h) \ in G ^ {2} \} \ rangle.}
Különösen a D (G) bármely eleme a kapcsolók készterméke. Mivel a kép egy kapcsolót egy csoportja endomorphism egy kapcsoló, a származtatott csoport stabil bármely endomorphism a G : ez egy teljesen karakterisztikus részcsoport a G . Különösen jellegzetes alcsoport, ezért normális a G-vel szemben .
Példák:
Tulajdonságok
- A csoport származó közvetlen összege csoportok G i a közvetlen összege a származtatott csoportok a D ( G i ).
- A csoport származó közvetlen terméke a csoportok G i van, a közvetlen terméke származó csoportok D ( G i ), az az alcsoport alkotja elemek g , amelyre létezik egy egész szám n g olyan, hogy az összes I , a komponense g i a g a termék a n g kapcsolók.
Abelianizálódott
Mivel [ G , G ] a G normális alcsoportja, definiálhatjuk G hányadosát [ G , G ] -vel, definíció szerint a G abelianizálva :
NÁL NÉLb(G)=Gnál nélb=G/[G,G]{\ displaystyle Ab (G) = G ^ {ab} = G / [G, G]}.
Példák
- Ha G kommutatív, akkor G ab megegyezik G / {1} -nel, tehát kanonikusan azonosítjuk G-vel .
- Ha G a Hamilton nonzero ℍ * kvaternerjeinek multiplikatív csoportja , akkor [ G , G ] az 1. standard kvaterner csoportja, amely nem különbözik a ℝ 4 S 3 egységgömbjétől . A szigorúan pozitív valós számok ℝ * + multiplikatív csoportjában szereplő ℍ * a ↦ ║ a ║ függvénye a szorzócsoportok morfizmusa az S 3 kernellel , és a hányadosra való átadással (ℍ *) izomorfizmusát kapjuk. ab = ℍ * / S 3 a ℝ * + -on .
Bármely G csoport esetében abelianizált Ab ( G ) egy abeli csoport.
Ez még a G legnagyobb abeli hányadosa a következő értelemben (ami azt bizonyítja, hogy a bevezetőben említett "legkisebb normális alcsoport, amelyre a G / [G, G] hányadoscsoport abeli" létezik, és egyenlő a levezetettel fent meghatározott csoport):
Ha H a normál G alcsoportja , akkor a G / H hányados akkor és csak akkor abeli, ha H tartalmazza a G- ből származó csoportot .
Valóban, a G / H van Abel, ha, és csak akkor, ha az összes elemet g és h a G , létezik x a H olyan, hogy: GH = XHG , azaz akkor és csak akkor, ha (az összes g és h ) a [ g , h ] h-hoz tartozik .
Az előző tulajdonság a morfizmusok szerint fogalmazódik meg:
Bármely morfizmus G- től egy abeli csoportig Ab ( G ) révén történik.
A csoport abelianizációja az első homológ csoport , egész együtthatókkal : G ab = H 1 ( G , ℤ).
Származtatott lakosztály
A származó szekvenciát a G szekvencia a alcsoportok G által definiált indukciós a következő:
D0(G)=G{\ displaystyle D ^ {0} (G) = G}
és
Dk(G)=D[Dk-1(G)]=[Dk-1(G),Dk-1(G)]{\ displaystyle D ^ {k} (G) = D \ balra [D ^ {k-1} (G) \ jobbra] = [D ^ {k-1} (G), D ^ {k-1} ( G)]}.
A származtatott szekvenciában megjelenő G alcsoportjai a G. teljesen jellemző alcsoportjai.
Ha ez a szekvencia helyhez kötött , vagyis ha létezik olyan természetes n, amely a csoportot oldhatónak mondják .
{e}{\ displaystyle \ {e \}}Dnem(G)={e}{\ displaystyle D ^ {n} (G) = \ {e \}}
Megjegyzések és hivatkozások
-
Egyes munkák határozzák meg a kommutátor, g és h , mint ; ez nem az itt elfogadott egyezmény.g-1h-1gh{\ displaystyle g ^ {- 1} h ^ {- 1} gh}
-
(in) WR Scott Group Theory , Dover ,1987( 1 st szerk. 1964) ( olvasott sort ) , p. 60, edzés. 3.4.13.
-
Bemutatóért lásd például a Wikiverzió kurzust .
-
(in) DJS Robinson (de) , A csoportok elméletének tanfolyama , Springer , al. " GTM " ( n ° 80)1996, 2 nd ed. ( DOI 10.1007 / 978-1-4419-8594-1 , olvasható online ) , p. 124.
Lásd is
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">