Hengeres harmonikus
A matematika , hengeres harmonikusok vannak egy sor lineárisan független megoldásokat a Laplace differenciálegyenlet.
∇2V=1ρ∂∂ρ(ρ∂V∂ρ)+1ρ2∂2V∂φ2+∂2V∂z2=0{\ displaystyle \ nabla ^ {2} V = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ részleges} {\ részleges \ rho}} \ balra (\ rho {\ frac {\ részleges V} { \ részleges \ rho}} \ jobbra) + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ részleges ^ {2} V} {\ részleges \ varphi ^ {2}}} + { \ frac {\ részleges ^ {2} V} {\ részleges z ^ {2}}} = 0}![{\ displaystyle \ nabla ^ {2} V = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ részleges} {\ részleges \ rho}} \ balra (\ rho {\ frac {\ részleges V} { \ részleges \ rho}} \ jobbra) + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ részleges ^ {2} V} {\ részleges \ varphi ^ {2}}} + { \ frac {\ részleges ^ {2} V} {\ részleges z ^ {2}}} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7e1f23c2c2526375f3bee5945fcfedad3dce096)
henger alakú koordinátákban kifejezve: ρ (sugár), φ (azimut) és z (méret). Mindegyik funkció V n ( k ) a termék a három kifejezve mindegyik függően csak az egyik koordináta. A ρ függő kifejezést Bessel-függvényekkel fejezzük ki (ezeket néha hengeres harmonikusoknak is nevezik).
Meghatározás
Mindegyik funkció V n ( k ) van kifejezve, mint a termék a három funkciót:
Vnem(k;ρ,φ,z)=Pnem(k,ρ)Φnem(φ)Z(k,z){\ displaystyle V_ {n} (k; \ rho, \ varphi, z) = \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) \ Phi _ {n} (\ varphi) Z (k, z) \,}![{\ displaystyle V_ {n} (k; \ rho, \ varphi, z) = \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) \ Phi _ {n} (\ varphi) Z (k, z) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40d2199bac0fe7a0179450b0ca2cc18b445feeab)
a ( ρ , φ , z ) henger alakú koordinátákkal, n és k pedig konstansok, amelyek megkülönböztetik a halmaz tagjait. A Laplace-egyenlet alkalmazott szuperpozíciós elvének eredményeként a Laplace-egyenlet általános megoldásait e függvények lineáris kombinációival lehet elérni.
Mivel a ρ , φ vagy z összes felülete kúpos, a Laplace-egyenlet hengeres koordinátákban elválasztható. A változók elkülönítésének technikájával a Laplace-egyenlettől elválasztott megoldás írható:
V=P(ρ)Φ(φ)Z(z){\ displaystyle V = \ mathrm {P} (\ rho) \, \ Phi (\ varphi) \, Z (z)}![{\ displaystyle V = \ mathrm {P} (\ rho) \, \ Phi (\ varphi) \, Z (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0634d66da3555f52bb4d6e2d88c15740ff4a1920)
és a Laplace-egyenlet V-vel való elosztásával a következőkre egyszerűsödik:
P¨P+1ρP˙P+1ρ2Φ¨Φ+Z¨Z=0{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho}} \, {\ frac {\ dot {\ mathrm {P }}} {{mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} \, {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} + {\ frac { \ ddot {Z}} {Z}} = 0}![{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho}} \, {\ frac {\ dot {\ mathrm {P }}} {{mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} \, {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} + {\ frac { \ ddot {Z}} {Z}} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06bf8224090b271c838f593978d61afe446aac85)
A Z-ben szereplő kifejezés csak z-től függ, ezért egyenlőnek kell lennie egy állandóval:
Z¨Z=k2{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {Z}} {Z}} = k ^ {2}}![{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {Z}} {Z}} = k ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dcfdc5395309937b67813621de7d6407a14dd55)
ahol k általában egy komplex szám . Egy adott k értékre Z- nek két lineárisan független megoldása van.
- ha k valós, akkor írhatunk:
Z(k,z)=kényelmes(kz) ou sinh(kz){\ displaystyle Z (k, z) = \ cosh (kz) \ \ mathrm {vagy} \ \ sinh (kz) \,}![{\ displaystyle Z (k, z) = \ cosh (kz) \ \ mathrm {vagy} \ \ sinh (kz) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dee8bed9425f108c1c6b077793d8ba3eba24cd88)
vagy az ad infinitum viselkedésétől függően:
Z(k,z)=ekz ou e-kz{\ displaystyle Z (k, z) = {\ rm {e}} ^ {kz} \ \ mathrm {vagy} \ {\ rm {e}} ^ {- kz} \,}
Z(k,z)=kötözősaláta(|k|z) ou bűn(|k|z){\ displaystyle Z (k, z) = \ cos (| k | z) \ \ mathrm {vagy} \ \ sin (| k | z) \,}![{\ displaystyle Z (k, z) = \ cos (| k | z) \ \ mathrm {vagy} \ \ sin (| k | z) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4acd51543c110cb967fac9095e238569cafd0526)
vagy:
Z(k,z)=eén|k|z ou e-én|k|z{\ displaystyle Z (k, z) = {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} | k | z} \ \ mathrm {vagy} \ {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} | k | z} \,}
Észrevehetjük, hogy a Z ( k , z ) függvények a Fourier-transzformáció vagy a Z ( z ) függvény Laplace-transzformációjának magjai, így k lehet diszkrét változó periodikus határfeltételek esetén, vagy folyamatos változó nem periodikus élviszonyok.
Lecseréljük k 2 az , most már van:
Z¨/Z{\ displaystyle {\ ddot {Z}} / Z}![{\ displaystyle {\ ddot {Z}} / Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1862dcecd5909da6283488ae99db938b6aee1e8b)
P¨P+1ρP˙P+1ρ2Φ¨Φ+k2=0{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho}} \, {\ frac {\ dot {\ mathrm {P }}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} + k ^ {2} = 0}![{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho}} \, {\ frac {\ dot {\ mathrm {P }}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} + k ^ {2} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e28e778708ed346da35e0307c577b7787ba4ab02)
Megszorozzuk ρ 2 , tudjuk szétválasztani a funkciókat P és Φ és bevezetni egy új állandó n hasonló okok miatt k számára a kifejezés függően φ :
Φ¨Φ=-nem2{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} = - n ^ {2}}
ρ2P¨P+ρP˙P+k2ρ2=nem2{\ displaystyle \ rho ^ {2} {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + \ rho {\ frac {\ dot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + k ^ {2} \ rho ^ {2} = n ^ {2}}![{\ displaystyle \ rho ^ {2} {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + \ rho {\ frac {\ dot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + k ^ {2} \ rho ^ {2} = n ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bf7b107f4f3524387ef47d1e2064a57289281fb)
Mivel φ periodikus, n pozitív értéket vehetünk fel , így a Φ ( φ ) megoldásokat indexekkel jelöljük . Az igazi megoldás Φ ( φ ) a
Φnem=kötözősaláta(nemφ) ou bűn(nemφ){\ displaystyle \ Phi _ {n} = \ cos (n \ varphi) \ \ mathrm {vagy} \ \ sin (n \ varphi)}![{\ displaystyle \ Phi _ {n} = \ cos (n \ varphi) \ \ mathrm {vagy} \ \ sin (n \ varphi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbb39a5b8cd39792195649271a0f7570c8cb2a53)
vagy egyenértékűen:
Φnem=eénnemφ ou e-énnemφ{\ displaystyle \ Phi _ {n} = {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} n \ varphi} \ \ mathrm {vagy} \ {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} n \ varphi}}![{\ displaystyle \ Phi _ {n} = {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} n \ varphi} \ \ mathrm {vagy} \ {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} n \ varphi}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89030b8bd4638d9dbb697326f191b8399ec9db9b)
Marad a P ( ρ ) kifejezés , amely a Bessel-egyenletet követi .
- ha k nulla, de nem n , a megoldások a következők:
Pnem(0,ρ)=ρnem ou ρ-nem{\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (0, \ rho) = \ rho ^ {n} \ \ mathrm {vagy} \ \ rho ^ {- n} \,}
![{\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (0, \ rho) = \ rho ^ {n} \ \ mathrm {vagy} \ \ rho ^ {- n} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6442cee54ba667ebbd6734a55a4b70d70a7f56ef)
- ha k és n egyaránt nem nulla, akkor a megoldások a következők:
P0(0,ρ)=lnρ ou 1{\ displaystyle \ mathrm {P} _ {0} (0, \ rho) = \ ln \ rho \ \ mathrm {vagy} \ 1 \,}
![{\ displaystyle \ mathrm {P} _ {0} (0, \ rho) = \ ln \ rho \ \ mathrm {vagy} \ 1 \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d5676a01dbb4576caa394d3944727b8a28450bd)
- ha k valós szám, akkor valós megoldást írhatunk a következő formába:
Pnem(k,ρ)=Jnem(kρ) ou Ynem(kρ){\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) = J_ {n} (k \ rho) \ \ mathrm {vagy} \ Y_ {n} (k \ rho) \,}
![{\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) = J_ {n} (k \ rho) \ \ mathrm {vagy} \ Y_ {n} (k \ rho) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54db49118bb7e697728970c40d44b0eb51cea2a6)
A J n ( Z ) és Y n ( Z ) , közönséges Bessel függvények.
- ha k képzeletbeli szám, akkor valós megoldást írhatunk a következő formába:
Pnem(k,ρ)=énnem(|k|ρ) ou Knem(|k|ρ){\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) = I_ {n} (| k | \ rho) \ \ mathrm {vagy} \ K_ {n} (| k | \ rho) \, }
![{\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) = I_ {n} (| k | \ rho) \ \ mathrm {vagy} \ K_ {n} (| k | \ rho) \, }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0279c579130224e91ab2ecbb5fd54926d24b104)
a
I n ( z ) és a
K n ( Z ) , módosított Bessel függvények.
A ( k , n ) henger alakú harmonikusai tehát ezeknek a megoldásoknak a termékei, és Laplace egyenletének általános megoldása lineáris kombináció:
V(ρ,φ,z)=∑nem∫dkNÁL NÉLnem(k)Pnem(k,ρ)Φnem(φ)Z(k,z){\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n} \ int \ mathrm {d} k \, \, A_ {n} (k) \ mathrm {P} _ {n} (k , \ rho) \ Phi _ {n} (\ varphi) Z (k, z) \,}![{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n} \ int \ mathrm {d} k \, \, A_ {n} (k) \ mathrm {P} _ {n} (k , \ rho) \ Phi _ {n} (\ varphi) Z (k, z) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac45c1538a9077bb53d3c02a1ae1832a9004072)
ahol A n ( k ) konstansok a henger alakjától, valamint az összeg és az integrál határaitól függően, amelyeket a probléma határfeltételei adnak meg. A határfeltételek bizonyos esetei lehetővé teszik az integrál helyettesítését diszkrét összeggel. J n ( x ) ortogonalitása gyakran hasznos a megoldás megtalálásához egy adott esetben. A Φ n ( φ ) Z ( k , z ) függvények lényegében Fourier vagy Laplace kiterjesztések, és ortogonális függvények halmazát alkotják. Abban az esetben, P n ( kρ ) = J n ( kρ ) , a ortogonalitását J n , a ortogonalitását kapcsolatainak Φ n ( φ ) és Z ( k , z ) lehetővé teszik, hogy meghatározzuk a konstansok.
Ha megjegyezzük { x k } J n pozitív nulláit , akkor:
∫01Jnem(xkρ)Jnem(xk′ρ)ρdρ=12Jnem+1(xk)2δkk′{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} J_ {n} (x_ {k} \ rho) J_ {n} (x_ {k} '\ rho) \ rho \, \ mathrm {d} \ rho = {\ frac {1} {2}} J_ {n + 1} (x_ {k}) ^ {2} \ delta _ {kk '}}![{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} J_ {n} (x_ {k} \ rho) J_ {n} (x_ {k} '\ rho) \ rho \, \ mathrm {d} \ rho = {\ frac {1} {2}} J_ {n + 1} (x_ {k}) ^ {2} \ delta _ {kk '}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa2eb9c188f5489ff969271d27555fa7435ffbc2)
A problémamegoldás során a tér véges számú altérre osztható, mindaddig, amíg a potenciál és deriváltjának értéke megegyezik egy forrás nélküli forrás mentén.
Példa: Forráspont egy vezető hengeres csőben
Megpróbáljuk meghatározni a ( ρ 0 , φ 0 , z 0 ) ponton elhelyezkedő pontforrás potenciálját egy vezetőképes hengeres csőben (mint egy üres konzervdoboz), amelyet a két z = ± L sík határol, és a szélein a henger ρ = a . (MKS egységekben q / 4π ε 0 = 1 értéket feltételezünk ). Mivel a potenciált a z tengely síkja határolja , a Z ( k , z ) függvény feltételezhető periodikusnak. A potenciálnak nullának kell lennie az origónál , vesszük P n ( kρ ) = J n ( kρ ) , úgy, hogy az egyik nullája a korlátozó hengeren legyen. A z tengely forráspontja alatti mérési pont esetében a potenciál a következő lesz:
V(ρ,φ,z)=∑nem=0∞∑r=0∞NÁL NÉLnemrJnem(knemrρ)kötözősaláta(nem(φ-φ0))sinh(knemr(L+z))z≤z0{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} \, A_ {nr} J_ {n} (k_ {nr} \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) \ sinh (k_ {nr} (L + z)) \, \, \, \, \, z \ leq z_ {0}}![{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} \, A_ {nr} J_ {n} (k_ {nr} \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) \ sinh (k_ {nr} (L + z)) \, \, \, \, \, z \ leq z_ {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bcac615b58005b89df1936d9b680bf0a269ac4b)
a k nr egy , az R e nulla a J n ( Z ) , és, a ortogonalitási kapcsolatok minden egyes funkció:
NÁL NÉLnemr=4(2-δnem0)nál nél2sinhknemr(L-z0)sinh2knemrLJnem(knemrρ0)knemr[Jnem+1(knemrnál nél)]2{\ displaystyle A_ {nr} = {\ frac {4 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {\ sinh k_ {nr} (L-z_ {0})} {\ sinh 2k_ {nr} L}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}} \,}![{\ displaystyle A_ {nr} = {\ frac {4 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {\ sinh k_ {nr} (L-z_ {0})} {\ sinh 2k_ {nr} L}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b4eb5e3569947e4b1f824713a44baee89017cf6)
A forráspont felett lesz:
V(ρ,φ,z)=∑nem=0∞∑r=0∞NÁL NÉLnemrJnem(knemrρ)kötözősaláta(nem(φ-φ0))sinh(knemr(L-z))z≥z0{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} \, A_ {nr} J_ {n} (k_ {nr} \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) \ sinh (k_ {nr} (Lz)) \, \, \, \, \, z \ geq z_ {0}}
NÁL NÉLnemr=4(2-δnem0)nál nél2sinhknemr(L+z0)sinh2knemrLJnem(knemrρ0)knemr[Jnem+1(knemrnál nél)]2.{\ displaystyle A_ {nr} = {\ frac {4 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {\ sinh k_ {nr} (L + z_ {0})} {\ sinh 2k_ {nr} L}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}}. \,}![{\ displaystyle A_ {nr} = {\ frac {4 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {\ sinh k_ {nr} (L + z_ {0})} {\ sinh 2k_ {nr} L}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}}. \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ba17c88a547a517467acec9b9a0ea8eb6078143)
Megállapítottuk, hogy ρ = a vagy | z | = L , a funkció törlődik. Azt is ellenőrizhetjük, hogy a két megoldás és származékaik értéke egybeesik-e z = z 0 esetén .
Forráspont egy végtelen vezető hengeres csőben
Eltávolítjuk a z ( L → ) peremfeltételeket . A megoldás ekkor válik:
V(ρ,φ,z)=∑nem=0∞∑r=0∞NÁL NÉLnemrJnem(knemrρ)kötözősaláta(nem(φ-φ0))e-knemr|z-z0|{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} \, A_ {nr} J_ {n} (k_ {nr} \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) {\ rm {e}} ^ {- k_ {nr} | z-z_ {0} |}}
NÁL NÉLnemr=2(2-δnem0)nál nél2Jnem(knemrρ0)knemr[Jnem+1(knemrnál nél)]2.{\ displaystyle A_ {nr} = {\ frac {2 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}}. \,}
Forráspont a szabad térben
Eltávolítjuk a határfeltételeket ρ ( a → ∞ ) pontnál is . A J n ( z ) nulláin felüli összeg integrálissá válik, és akkor jön egy forráspont mezője egy végtelen szabad térben:
V(ρ,φ,z)=1R=∑nem=0∞∫0∞NÁL NÉLnem(k)Jnem(kρ)kötözősaláta(nem(φ-φ0))e-k|z-z0|dk{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = {\ frac {1} {R}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {\ infty} A_ {n} (k) J_ {n} (k \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) {\ rm {e}} ^ {- k | z-z_ {0} | } \, \ mathrm {d} k}
NÁL NÉLnem(k)=(2-δnem0)Jnem(kρ0){\ displaystyle A_ {n} (k) = (2- \ delta _ {n0}) J_ {n} (k \ rho _ {0}) \,}![{\ displaystyle A_ {n} (k) = (2- \ delta _ {n0}) J_ {n} (k \ rho _ {0}) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e8876e18f7f7ed8c16a994c81c4d15ddb383639)
és R a forráspont és a mérési pont távolsága:
R=(z-z0)2+ρ2+ρ02-2ρρ0kötözősaláta(φ-φ0).{\ displaystyle R = {\ sqrt {(z-z_ {0}) ^ {2} + \ rho ^ {2} + \ rho _ {0} ^ {2} -2 \ rho \ rho _ {0} \ cos (\ varphi - \ varphi _ {0})}}. \,}
Forráspont a szabad térben az origónál
Végül rögzítjük a ρ 0 = z 0 = 0 értéket . Akkor jön
V(ρ,φ,z)=1ρ2+z2=∫0∞J0(kρ)e-k|z|dk.{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = {\ frac {1} {\ sqrt {\ rho ^ {2} + z ^ {2}}}} = = int _ {0} ^ {\ infty } J_ {0} (k \ rho) {\ rm {e}} ^ {- k | z |} \, \ mathrm {d} k.}![{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = {\ frac {1} {\ sqrt {\ rho ^ {2} + z ^ {2}}}} = = int _ {0} ^ {\ infty } J_ {0} (k \ rho) {\ rm {e}} ^ {- k | z |} \, \ mathrm {d} k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0d66700d466001ac039e080196f789b40bcf07)
Lásd is
Megjegyzések
-
Smythe 1968 , p. 185.
-
Guillopé 2010 .
-
Ezt az esetet Smythe 1968-ban tanulmányozta
Hivatkozások
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">