A matematika , Schinzel a H hipotézis egy nagyon tág általánosítása sejtés , mint a Ikerprím sejtés . Célja, hogy a redukálhatatlan f i ( x ) polinomcsalád természetének lehető leggyengébb feltételét adja meg , hogy f i ( n ) prímszámokat egyidejűleg vegyen fel, önkényesen nagy n egész számra ; más szóval úgy, hogy létezzen n végtelen olyan egész szám , hogy mindegyikük számára az összes f i ( n ) prímszám. Bouniakovski sejtésének általánosítása , amely egyetlen polinomra redukált családra vonatkozik. Van egy kvantitatív általánosítás, a Bateman-Horn sejtés .
Egy ilyen sejtésnek figyelembe kell vennie bizonyos szükséges feltételeket . Például, ha a két x + 4 és x + 7 polinomot vesszük , akkor nincs olyan n > 0, amelyre n + 4 és n + 7 egyaránt elsődleges. Ennek oka, hogy a kettő közül az egyik páros szám lesz > 2, a másik pedig páratlan szám . A sejtés megfogalmazásakor a fő kérdés ennek a jelenségnek az elkerülése.
Ez egy egész polinom fogalmának köszönhető : azt mondjuk, hogy a Q ( x ) egész értékű polinomnak fix m osztója van, ha létezik m > 0 egész szám, így Q ( x ) / m is egész szám értékű polinom.
Például ( x + 4) ( x + 7) fix osztója 2-vel egyenlő.
A Q ( X ) = Π f i ( X ), az ilyen rögzített osztók kell kerülni minden sejtés, mivel jelenlétük ellentmond annak lehetőségét, hogy a f i ( n ) minden prímszám, ha n tart nagy értékek.
Ezért a H hipotézis standard formája :
Legyen f i ( x ) egy véges egész számú, redukálhatatlan együtthatójú és pozitív domináns együtthatójú polinomcsalád . Ha a termék nem nincs fix prímosztója, akkor létezik egy végtelen egész számok n úgy, hogy az összes F i ( n ) egyidejűleg elsődleges.Hadd említsük meg az x 2 + 1 egyszerű példáját, amelynek nincs fix osztója. Ezért arra számíthatunk, hogy az n 2 + 1 alakú prímszámok végtelen száma lesz . De ez a sejtés, amely része Landau problémáinak , még nem bizonyított.
A sejtés valószínűleg nem érhető el az analitikai számelmélet jelenlegi módszereivel , de ma már viszonylagosan használják a feltételes eredmények (in) bizonyítására , például a Diophantine geometriában . A sejtés eredménye annyira erősnek tűnik, hogy túl optimista lehet.
A Goldbach-sejtést nem ez, hanem egy változat, a H N hipotézis idézi, amelyet a Sieve Methods , de Halberstam és Richert (en) idéznek . Ehhez további F ( x ) polinomra van szükség , amely Goldbach problémájában egyszerűen x lenne , amire azt kérjük, hogy N - F ( n ) is legyen prímszám.
A sejtés állítása: ha N elég nagy , és ha Q ( x ) ( N - F ( x )) nem rendelkezik fix osztóval > 1, akkor létezik n olyan, hogy N - F ( n ) egyszerre legyen pozitív és prím és olyan, hogy az f i ( n ) mind prím.
Ezeknek a sejtéseknek nincs sok megoldott esete; de van egy részletes kvantitatív elmélet (a Bateman-Horn sejtés ).
A analóg sejtés a gyűrű egész számok helyébe a gyűrű polinomok egy változó egy véges mező van hamis .
Például Richard Swan 1962-ben észrevette (a H hipotézissel nem összefüggő okokból), hogy az F 2 [ u ] gyűrű x 8 + u 3 polinomja nem redukálható, és nincs rögzített prím (osztó) osztója (értéke in x = 0 és x = 1 polinomok elsődleges közöttük), de az összes értékeit, amikor x sokszögelésekre F 2 [ u ] vannak vegyületet.
Hasonló példák találhatók az F 2 bármely véges mezővel helyettesítve ; az F [ u ] H hipotézis helyes megfogalmazásában szereplő akadályok , ahol F véges mező, már nem egyszerűen lokálisak, és új akadály jelenik meg, klasszikus párhuzam nélkül (ha a sejtés igaz a klasszikus esetben).
Andrzej Schinzel és Wacław Sierpiński , „ A prímszámokra vonatkozó bizonyos hipotézisekről ”, Acta Arith. , repülés. 1958. 4., p. 185-208