Lagrange identitás
A matematika , és különösen az algebra , a személyazonosságát Lagrange , által felfedezett Joseph Louis Lagrange , képlet egy transzformáló terméke összegek négyzetek egy másik négyzetek összegét; fontos következményei vannak a kereszttermék tulajdonságaira .
Az identitás algebrai megfogalmazásai
A személyazonosságát Lagrange jelentése:
(∑k=1nemnál nélk2)(∑k=1nembk2)-(∑k=1nemnál nélkbk)2=∑1≤én<j≤nem(nál nélénbj-nál néljbén)2(=12∑1≤én,j≤nem(nál nélénbj-nál néljbén)2){\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} ^ {2} {\ biggr)} {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} ^ {2} {\ biggr)} - {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} {\ biggr)} ^ {2} && = & \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) ^ {2} & \\ & {\ biggl (} & = & {1 \ over 2} \ sum _ {1 \ leq i, j \ leq n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) ^ {2} & {\ biggr)} \ end {igazítva}}}Ez vonatkozik a bármely két család ( a 1 , a 2 , ..., a n ) és ( b 1 , b 2 , ..., b n ) a valós vagy komplex számok , vagy általánosabban, hogy elemei a kommutatív gyűrű . Ez Binet-Cauchy személyazonosságának különleges esete .
Valójában kompaktabban kifejezhetjük egy vektoros jelöléssel:
‖nál nél‖2 ‖b‖2-(nál nél⋅b)2=∑1≤én<j≤nem(det(nál nélénbénnál néljbj))2{\ displaystyle \ | \ mathbf {a} \ | ^ {2} \ \ | \ mathbf {b} \ | ^ {2} - (\ mathbf {a \ cdot b}) ^ {2} = \ sum _ { 1 \ leq i <j \ leq n} \ balra (\ det {\ begin {pmatrix} a_ {i} & b_ {i} \\ a_ {j} & b_ {j} \ end {pmatrix}} \ right) ^ {2}}ahol a és b ℝ n vektorai . Ez a kifejezés lehet terjeszteni ℂ n helyett a pont termék egy hermitikus termék és a tér egy komplex szám Z által négyzetével modulusa | z | :
(∑k=1nem|nál nélk|2)(∑k=1nem|bk|2)-|∑k=1nemnál nélk¯bk|2=∑1≤én<j≤nem|nál nélénbj-nál néljbén|2{\ displaystyle {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ {n} | a_ {k} | ^ {2} {\ biggr)} {\ biggl (} \ sum _ {k = 1} ^ { n} | b_ {k} | ^ {2} {\ biggr)} - {\ biggl |} \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ overline {a_ {k}}} b_ {k} { \ biggr |} ^ {2} = \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} | a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i} | ^ {2}}vagyis :
‖nál nél‖2 ‖b‖2-|nál nél⋅b|2=∑1≤én<j≤nem|det(nál nélénbénnál néljbj)|2.{\ displaystyle \ | \ mathbf {a} \ | ^ {2} \ \ | \ mathbf {b} \ | ^ {2} - | \ mathbf {a \ cdot b} | ^ {2} = \ sum _ { 1 \ leq i <j \ leq n} \ balra | \ det {\ begin {pmatrix} a_ {i} & b_ {i} \\ a_ {j} & b_ {j} \ end {pmatrix}} \ right | ^ {2}.}A jobb oldali a egyenlőség a pozitív, és csak megszüntetésével, amikor egy és b jelentése egy egyenesre , a Lagrange identitás maga után vonja a Cauchy-Schwarz-egyenlőtlenség és egyenlőség esetén abban az esetben, euklideszi terek (mint például ℝ n ), és annak analóg a hermita terekben (mint ℂ n ).
Az n = 2 és n = 3 speciális esetek geometriai értelmezéssel rendelkeznek:
- az n = 2, megkapjuk az azonosságát Diophantosz (amely általánosítja be, hogy a Brahmagupta) :(nál nél12+nál nél22)(b12+b22)=(nál nél1b1+nál nél2b2)2+(nál nél1b2-nál nél2b1)2,{\ displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2}) = (a_ {1} b_ {1 } + a_ {2} b_ {2}) ^ {2} + (a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}) ^ {2},}amely megfelel a modulus multiplikativitásának a komplexekben, mivel a és beállításával ez a képlet ekvivalens ;z1=nál nél1+énnál nél2{\ displaystyle z_ {1} = a_ {1} + {\ rm {i}} a_ {2}}z2=b2+énb1{\ displaystyle z_ {2} = b_ {2} + {\ rm {i}} b_ {1}}|z1z2|2=|z1|2|z2|2{\ displaystyle | z_ {1} z_ {2} | ^ {2} = | z_ {1} | ^ {2} | z_ {2} | ^ {2}}
- az n = 3 esetet az alábbiakban, a kereszttermékre vonatkozó részben tárgyaljuk .
Az algebrai változat bemutatása
A következő bizonyítás megfelel egy közvetlen algebrai számításnak, és ezért érvényes minden kommutatív gyűrűben .
∑1≤én<j≤nem(nál nélénbj-nál néljbén)2=∑1≤én<j≤nem(nál nélén2bj2-2nál nélénbénnál néljbj+nál nélj2bén2)=∑1≤én,j≤nemén≠j(nál nélén2bj2-nál nélénbénnál néljbj)=∑1≤én,j≤nem(nál nélén2bj2-nál nélénbénnál néljbj)=(∑én=1nemnál nélén2)(∑j=1nembj2)-(∑én=1nemnál nélénbén)(∑j=1nemnál néljbj).{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) ^ {2} & = \ összeg _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ {i} ^ {2} b_ {j} ^ {2} -2a_ {i} b_ {i} a_ {j} b_ {j} + a_ {j } ^ {2} b_ {i} ^ {2}) \\ & = \ sum _ {\ begin {smallmatrix} 1 \ leq i, j \ leq n \\ i \ neq j \ end {smallmatrix}} (a_ {i} ^ {2} b_ {j} ^ {2} -a_ {i} b_ {i} a_ {j} b_ {j}) \\ & = \ sum _ {1 \ leq i, j \ leq n } (a_ {i} ^ {2} b_ {j} ^ {2} -a_ {i} b_ {i} a_ {j} b_ {j}) \\ & = \ balra (\ sum _ {i = 1 } ^ {n} a_ {i} ^ {2} \ jobbra \ balra (\ sum _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} ^ {2} \ jobbra) - \ balra (\ sum _ { i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i} \ jobbra) \ balra (\ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {j} b_ {j} \ jobbra). \ vége {igazítva }}}
A külső termék használatával felírható Lagrange személyazonossága:
(nál nél⋅nál nél)(b⋅b)-(nál nél⋅b)2=(nál nél∧b)⋅(nál nél∧b).{\ displaystyle (a \ cdot a) (b \ cdot b) - (a \ cdot b) ^ {2} = (a \ ék b) \ cdot (a \ ék b).}Ezért megadja két vektor külső szorzatának normáját skaláris szorzatuk szerint:
‖nál nél∧b‖=(‖nál nél‖ ‖b‖)2-‖nál nél⋅b‖2.{\ displaystyle \ | a \ ék b \ | = {\ sqrt {(\ | a \ | \ \ | b \ |) ^ {2} - \ | a \ cdot b \ | ^ {2}}}.}
Lagrange kiléte és a kereszttermék
Három dimenzióban Lagrange azonossága azt mondja, hogy a paralelogramma területének négyzete megegyezik a három koordinátasík vetületeinek területeinek négyzetének összegével. Algebrailag, ha a és b ℝ 3 vektorok normával | a | és | b |, a kereszttermék és a skalár szorzat segítségével felírhatjuk az identitást :
|nál nél|2|b|2-(nál nél⋅b)2=|nál nél×b|2.{\ displaystyle | \ mathbf {a} | ^ {2} | \ mathbf {b} | ^ {2} - (\ mathbf {a \ cdot b}) ^ {2} = | \ mathbf {a \ szor b} | ^ {2}.}Valóban, a bal oldal az
|nál nél|2|b|2(1-kötözősaláta2θ)=|nál nél|2|b|2bűn2θ{\ displaystyle | \ mathbf {a} | ^ {2} | \ mathbf {b} | ^ {2} (1- \ cos ^ {2} \ theta) = | \ mathbf {a} | ^ {2} | \ mathbf {b} | ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}ahol θ a szögben, amelyet a vektorok egy és b ; az oldalak paralelogrammájának területe | a | és | b | és a angle szög (lásd még a Meghatározó (matematika) cikket ), ezért a bal oldal ennek a területnek a négyzete. A jobb oldali keresztterméket a
nál nél×b=(nál nél2b3-nál nél3b2)én+(nál nél3b1-nál nél1b3)j+(nál nél1b2-nál nél2b1)k,{\ displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = (a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2}) \ mathbf {i} + (a_ {3} b_ {1} -a_ {1} b_ {3}) \ mathbf {j} + (a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}) \ mathbf {k},}vektor, amelynek koordinátái (abszolút értékben) a paralelogramma vetületeinek területei az yz , zx és xy síkon .
A 7. dimenzióban
A ℝ 7 a és b vektorok esetében a Lagrange-azonosság írható, például ℝ 3 esetében, a következő formában:
|nál nél|2|b|2-|nál nél⋅b|2=|nál nél×b|2.{\ displaystyle | \ mathbf {a} | ^ {2} | \ mathbf {b} | ^ {2} - | \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} | ^ {2} = | \ mathbf {a } \ times \ mathbf {b} | ^ {2}.}A 7 dimenziós kereszttermék azonban nem rendelkezik a szokásos kereszttermék összes tulajdonságával. Így például nem ellenőrzi Jacobi kilétét .
Értelmezés kvaternerek által
A p kvaterion egy t skalár és egy v vektor összege :
o=t+v=t+x én+y j+z k.{\ displaystyle p = t + \ mathbf {v} = t + x \ \ mathbf {i} + y \ \ mathbf {j} + z \ \ mathbf {k}.}Két kvaternon p = t + v és q = s + w szorzatát az határozza meg
oq=(st-v⋅w)+sw+tv+v×w.{\ displaystyle pq = (st- \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {w}) + s \ mathbf {w} + t \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {w}.}A konjugátum q jelentése
q¯=t-v,{\ displaystyle {\ overline {q}} = t- \ mathbf {v},}normájának négyzete pedig
|q|2=qq¯=t2 + x2+ y2 + z2.{\ displaystyle | q | ^ {2} = q {\ overline {q}} = t ^ {2} \ + \ x ^ {2} + \ y ^ {2} \ + \ z ^ {2}.}Megvan a norma multiplikativitása, vagyis a p és q kvaterniók esetében :
|oq|=|o||q|.{\ displaystyle | pq | = | p || q |.}A p és q kvaternionok képzeletbeli (vagy tiszta) állításúak, ha skaláris részük nulla, vagy ha
o=v,q=w.{\ displaystyle p = \ mathbf {v}, \ quad q = \ mathbf {w}.}Lagrange azonossága (a 3. dimenzióban) egyszerűen azt jelenti, hogy a képzeletbeli kvaternionok normájának multiplikativitását állítja
|vw|2=|v|2|w|2{\ displaystyle | \ mathbf {v} \ mathbf {w} | ^ {2} = | \ mathbf {v} | ^ {2} | \ mathbf {w} | ^ {2}}mivel definíció szerint
|vw|2=(v⋅w)2+|v×w|2.{\ displaystyle | \ mathbf {v} \ mathbf {w} | ^ {2} = (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {w}) ^ {2} + | \ mathbf {v} \ times \ mathbf { w} | ^ {2}.}(Bármely kvaternionra vonatkozó multiplikativitás egy másik fontos identitást ad: a négy Euler-négyzet azonosítását .)
Hivatkozások
(fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket
angolul című
„ Lagrange identitását ” ( lásd a szerzők listáját ) .
-
(in) Eric W. Weisstein , CRC tömör Encyclopedia of Mathematics , CRC Press ,
2003, 2 nd ed. , 3252 o. ( ISBN 978-1-4200-3522-3 , online olvasás ).
-
(in) Robert E. Greene és Steven G. Krantz , egy komplex változó funkcióelmélete , AMS ,
2006, 3 e . , 504 p. ( ISBN 978-0-8218-3962-1 , online olvasás ) , „16. gyakorlat” , p. 22..
-
(a) Vladimir A. Boichenko, Leonov Gennadii Alekseevich és Volker Reitmann, dimenzió elmélet számára Közönséges differenciálegyenletek , Vieweg + Teubner Verlag ,
2005( ISBN 3-519-00437-2 , online olvasás ) , p. 26..
-
(in) J. Michael Steele , a Cauchy-Schwarz Master Class: Bevezetés az Art of Mathematical egyenlőtlenségek , UPC ,2004, 306 p. ( ISBN 978-0-521-54677-5 , online olvasás ) , „4.4. Gyakorlat: Lagrange azonossága komplex számokhoz” , p. 68-69.
-
Lásd például a 4 oldalát 7. fejezetében az ebben a könyvben Frank Jones, Rice University .
-
(in) Howard és Chris Anton Rorres, Elementary lineáris algebra: Applications verzió , John Wiley & Sons ,2010, 10 th ed. , 773 p. ( ISBN 978-0-470-43205-1 és 0-470-43205-5 , olvasható online ) , „A pont és a kereszttermékek kapcsolatai” , 1. o. 162.
-
(in) Pertti Lounesto , Clifford algebrák és spinors , CUP,2001, 2 nd ed. , 338 p. ( ISBN 978-0-521-00551-7 , online olvasás ) , p. 94..
-
Lounesto 2001 . Lásd különösen § 7.4 Kereszt termékek ℝ 7 , p. 96 .
-
(in) Jack B. Kuipers , négyes és elforgatás sorozatok: A Primer alkalmazásokkal a pályák, Aerospace és a virtuális valóság , PUP ,2002, 371 p. ( ISBN 978-0-691-10298-6 , online olvasás ) , fejezet. 5.6. § („A norma”) , p. 111..
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">