Logaritmikus azonosságok
Íme egy lista a hasznos identitásokról, amikor logaritmusokkal dolgozik . Minden érvényes, feltéve, hogy a tényleges használat ( , , és ) olyan szigorúan pozitív . A logaritmusok alapjainak különbözniük kell az 1-től.
Nak nek{\ displaystyle a}
b{\ displaystyle b}
vs.{\ displaystyle c}
d{\ displaystyle d}
Különleges értékek
-
naplóNak nek1=0{\ displaystyle \ log _ {a} 1 = 0}
.
-
naplóNak nekNak nek=1{\ displaystyle \ log _ {a} a = 1}
.
Szorzás, osztás és hatványozás
-
naplóvs.(Nak nekb)=naplóvs.Nak nek+naplóvs.b{\ displaystyle \ log _ {c} (ab) = \ log _ {c} a + \ log _ {c} b}
.
-
naplóvs.(Nak nekb)=naplóvs.Nak nek-naplóvs.b{\ displaystyle \ log _ {c} \ bal ({\ frac {a} {b}} \ jobb) = \ log _ {c} a- \ log _ {c} b}
.
-
∀r∈Rnaplóvs.(Nak nekr)=rnaplóvs.Nak nek{\ displaystyle \ forall r \ in \ mathbb {R} \ quad \ log _ {c} (a ^ {r}) = r \ log _ {c} a}
.
Ez a három identitás lehetővé teszi számunkra, hogy használja logaritmus táblázatok és dia szabályok ; két szám logaritmusának ismeretében gyorsan megsokszorozhatjuk és eloszthatjuk őket, vagy kiszámíthatjuk ezek hatványait vagy gyökereit is.
Összeadás és kivonás
Ezek a képletek bizonyos esetekben lehetővé teszik a numerikus számításokat a numerikus határok túllépése mellett , és elkerülik a számszerű határok túllépését.
napló(Nak nek+b){\ displaystyle \ log (a + b)}
napló(Nak nek){\ displaystyle \ log (a)}
napló(b){\ displaystyle \ log (b)}
- naplóvs.(Nak nek+b)=naplóvs.Nak nek+naplóvs.b-naplóvs.(Nak nekbNak nek+b){\ displaystyle \ log _ {c} (a + b) = \ log _ {c} a + \ log _ {c} b- \ log _ {c} \ balra ({\ frac {ab} {a + b }} \ jobbra}}
- naplóvs.(Nak nek+b)=naplóvs.Nak nek+naplóvs.(1+bNak nek){\ displaystyle \ log _ {c} (a + b) = \ log _ {c} a + \ log _ {c} \ bal (1 + {\ frac {b} {a}} \ jobb)}
-
Nak neknaplóNak nekb=b{\ displaystyle a ^ {\ log _ {a} b} = b}
.
- bármilyen valós szám , .r{\ displaystyle r}
naplóNak nek(Nak nekr)=r{\ displaystyle \ log _ {a} (a ^ {r}) = r}
Az előző képletek olyan egyenletek megoldására szolgálnak, amelyek ismeretlenjei exponensek.
Alapváltozás
naplóNak nekb=naplóvs.bnaplóvs.Nak nek{\ displaystyle \ log _ {a} b = {\ frac {\ log _ {c} b} {\ log _ {c} a}}}
.
És különösen (mert c = b ) .
naplóNak nekb=1naplóbNak nek{\ displaystyle \ log _ {a} b = {\ frac {1} {\ log _ {b} a}}}
Ez az identitás hasznos a számológépekkel történő logaritmus kiszámításához, mivel utóbbiak többsége csak tizedes és természetes logaritmust kínál .
Mivel nem függ c-től , következtethetünk:
naplóNak nekb{\ displaystyle \ log _ {a} b}
naplóvs.bnaplóvs.Nak nek=naplódbnaplódNak nek{\ displaystyle {\ frac {\ log _ {c} b} {\ log _ {c} a}} = {\ frac {\ log _ {d} b} {\ log _ {d} a}}}
.
limx→0+naplóNak nekx=-∞{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} \ log _ {a} x = - \ infty}
mert
Nak nek>1{\ displaystyle a> 1}
limx→0+naplóNak nekx=+∞{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} \ log _ {a} x = + \ infty}
mert
Nak nek<1{\ displaystyle a <1}
limx→+∞naplóNak nekx=+∞{\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} \ log _ {a} x = + \ infty}
mert
Nak nek>1{\ displaystyle a> 1}
limx→+∞naplóNak nekx=-∞{\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} \ log _ {a} x = - \ infty}
mert
Nak nek<1{\ displaystyle a <1}
limx→0+xbnaplóNak nekx=0{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} x ^ {b} \ log _ {a} x = 0}
limx→+∞naplóNak nekxxb=0{\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {\ log _ {a} x} {x ^ {b}}} = 0}
Az utolsó határt gyakran úgy értelmezik, hogy "a végtelenben a logaritmus lassabban növekszik, mint a változó bármely (szigorúan pozitív) ereje".
∀x>0naplóNak nek′(x)=1xlnNak nek{\ displaystyle \ forall x> 0 \ quad \ log '_ {a} (x) = {\ frac {1} {x \ ln a}}}
ezért az e bázis konkrét esetben :
ln′x=1x{\ displaystyle \ ln 'x = {\ frac {1} {x}}}
.
∫x0xnaplóNak nektdt=[t(naplóNak nekt-1lnNak nek)]x0x{\ displaystyle \ int _ {x_ {0}} ^ {x} \ log _ {a} t \; \ mathrm {d} t = \ left [t \ left (\ log _ {a} t - {\ frac {1} {\ ln a}} \ right) \ right] _ {x_ {0}} ^ {x}}![{\ displaystyle \ int _ {x_ {0}} ^ {x} \ log _ {a} t \; \ mathrm {d} t = \ left [t \ left (\ log _ {a} t - {\ frac {1} {\ ln a}} \ right) \ right] _ {x_ {0}} ^ {x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c19c50169b9ff4c876c0a64f4932f4a363a9093)
ezért az e bázis konkrét esetben :
∫x0xlntdt=[t(lnt-1)]x0x{\ displaystyle \ int _ {x_ {0}} ^ {x} \ ln t \; \ mathrm {d} t = \ balra [t \ balra (\ ln t-1 \ jobbra) \ jobbra] _ {x_ { 0}} ^ {x}}![{\ displaystyle \ int _ {x_ {0}} ^ {x} \ ln t \; \ mathrm {d} t = \ balra [t \ balra (\ ln t-1 \ jobbra) \ jobbra] _ {x_ { 0}} ^ {x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43d7a6f84276d76bfaea16b697fd65ffe024cc3e)
.
Szerzői hitel
(hu) Ez a cikk részben vagy teljes egészében kivett
angol Wikipedia cikk címe
: „ List of logaritmikus azonosságok ” ( lásd a szerzők listáját ) .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">