Moduláris instabilitás

A nemlineáris optika és a folyadék dinamika , modulációs instabilitást vagy moduláció instabilitás a hatás a megerősítés, a nem-linearitás, a deformáció olyan, periodikus hullám, ami a generációs erősítés sávok a frekvenciaspektrum . Ez azt okozhatja, hogy a hullám impulzussávba törjön be.

Ezt a jelenséget történelmileg T. Brooke Benjamin és Jim E. Feir fedezte fel és modellezte mélytengeri gravitációs hullámokra 1967-ben. Ezért Benjamin-Feir instabilitásnak is nevezik . Ez egy lehetséges mechanizmus a szélhámos hullámok létrehozására .

Instabilitás és nyereség

A modulációs instabilitás csak bizonyos körülmények között jelenik meg. Általában anomális csoportsebesség- diszperzióra van szükség, amelyet az jellemez, hogy a rövid hullámhosszak nagyobb csoportsebességgel terjednek, mint a hosszabb hullámhosszak . (Ez azt jelenti, hogy a fókuszáló Kerr nem-linearitás tükrözi az optikai intenzitással növekvő törésmutatót.)

Az instabilitás erősen függ a zavar gyakoriságától. Bizonyos frekvenciákon a zavarnak kevés hatása van, míg másokban a zavar exponenciálisan növekszik. A nyereségspektrum kifejezése az alábbiakban részletezhetõ. A véletlenszerű zavarok általában széles spektrumot mutatnak, ami az erősítési spektrumot tükröző spektrális sávok létrejöttét eredményezi.

Mivel a moduláció instabilitása a jel növekedését okozza, az amplifikáció egyik formájának tekinthető: egy bemeneti jel befecskendezésével az erősítési spektrum maximális frekvenciáján lehetséges optikai erősítő létrehozása .

Az erősítési spektrum matematikai levezetése

A modulációs instabilitás erősítési spektrumának kifejezése a nemlineáris Schrödinger-egyenlet (NLSE) lineáris stabilitási elemzésével nyerhető el .

∂NÁL NÉL∂z+énβ2∂2NÁL NÉL∂t2=énγ|NÁL NÉL|2NÁL NÉL{\ displaystyle {\ frac {\ részleges A} {\ részleges z}} + i \ beta _ {2} {\ frac {\ részleges ^ {2} A} {\ részleges t ^ {2}}} = i \ gamma | A | ^ {2} A}

amely egy lassan változó burok alakulását írja le a terjedési idővel és távolsággal . Ez a modell tartalmazza a Kerr paraméter által leírt csoportsebesség-diszperziót és a nemlinearitást . Állandó teljesítményű síkhullámot tekintünk . Ezt a megoldást az adja NÁL NÉL{\ displaystyle A}t{\ displaystyle t}z{\ displaystyle z}β2{\ displaystyle \ beta _ {2}}γ{\ displaystyle \ gamma}P{\ displaystyle P}

NÁL NÉL=PeénγPz{\ displaystyle A = {\ sqrt {P}} e ^ {i \ gamma Pz}}

ahol az oszcilláló fázis időtartama tükrözi a lineáris törésmutató és a Kerr-hatás miatti nemlineáris törésmutató közötti különbséget . Figyelembe vesszük a következő álló megoldás zavart eénγPz{\ displaystyle e ^ {i \ gamma Pz}}

NÁL NÉL=(P+ε(t,z))eénγPz{\ displaystyle A = \ left ({\ sqrt {P}} + \ varepsilon \ left (t, z \ right) \ right) e ^ {i \ gamma Pz}}

hol és a perturbatív kifejezés (amelyet az egyszerűség kedvéért ugyanazzal a fázistényezővel megszoroztunk ). Ennek a zavarnak a helyettesítésével a nemlineáris Schrödinger-egyenletben a következő egyenletet kapjuk: ϵ(t,z){\ displaystyle \ epsilon \ bal (t, z \ jobb)}NÁL NÉL{\ displaystyle A}

∂ε∂z+énβ2∂2ε∂t2=énγP(ε+ε∗){\ displaystyle {\ frac {\ részleges \ varepsilon} {\ részleges z}} + i \ beta _ {2} {\ frac {\ részleges ^ {2} \ varepsilon} {\ részleges t ^ {2}}} = i \ gamma P \ bal (\ varepsilon + \ varepsilon ^ {*} \ jobb)}

ahol feltételezzük, hogy a zavar olyan kicsi, hogy . A moduláció instabilitása ennek az egyenletnek az exponenciálisan növekvő megoldásából adódik. Ehhez a következő formájú tesztfunkciót használhatjuk: ε2≈0{\ displaystyle \ varepsilon ^ {2} \ kb 0}

ε=vs.1eénkmz-énωmt+vs.2e-énkmz+énωmt{\ displaystyle \ varepsilon = c_ {1} e ^ {ik_ {m} zi \ omega _ {m} t} + c_ {2} e ^ {- ik_ {m} z + i \ omega _ {m} t} }

ahol a és rendre a pulzálás és hullámszám a zavar, és a és állandók. A nemlineáris Schrödinger-egyenlet nem mutatja a fény frekvenciáját (optikai hordozó). Ezért és nem az abszolút impulzusokat és hullámszámokat képviselik, hanem a köztük lévő és a kezdeti nyaláb közötti különbséget . Ezután megmutathatjuk, hogy a tesztfunkció érvényes, feltéve, hogy ωm{\ displaystyle \ omega _ {m}}km{\ displaystyle k_ {m}}vs.1{\ displaystyle c_ {1}}vs.2{\ displaystyle c_ {2}}ωm{\ displaystyle \ omega _ {m}}km{\ displaystyle k_ {m}}

km=±β22ωm4+2γPβ2ωm2{\ displaystyle k_ {m} = \ pm {\ sqrt {\ beta _ {2} ^ {2} \ omega _ {m} ^ {4} +2 \ gamma P \ beta _ {2} \ omega _ {m } ^ {2}}}}

Ez a diszperziós viszony függ a négyzetgyökben levő kifejezés előjelétől. Ha ez a kifejezés pozitív, akkor a hullámszám valós, és megfelel a zavartalan megoldás körüli rezgéseknek, míg ha negatív, akkor a hullámszám képzeletessé válik, ami megfelel egy exponenciális növekedésnek, tehát az instabilitásnak. A moduláció instabilitása tehát akkor jelenik meg, amikor

β22ωm2+2γPβ2<0{\ displaystyle \ beta _ {2} ^ {2} \ omega _ {m} ^ {2} +2 \ gamma P \ beta _ {2} <0}

Ez a feltétel leírja a rendellenes diszperzió szükségességét (olyan negatív). Az erősítési spektrum kiszámítható az erősítés paraméterének beállításával , úgy, hogy a jelerősség a távolság növekedésével as növekedjen . A nyereséget tehát az adja β2{\ displaystyle \ beta _ {2}}g{\ displaystyle g} ≡{\ displaystyle \ equiv} ℑ[2|km|]{\ displaystyle \ Im \ left [2 | k_ {m} | \ right]}P{\ displaystyle P} ∝{\ displaystyle \ propto} egz{\ displaystyle e ^ {gz}}

g={2-β22ωm4-2γPβ2ωm2;-β22ωm2-2γPβ2>00;-β22ωm2-2γPβ2≤0{\ displaystyle g = {\ begin {esetben} 2 {\ sqrt {- \ beta _ {2} ^ {2} \ omega _ {m} ^ {4} -2 \ gamma P \ beta _ {2} \ omega _ {m} ^ {2}}} &; \, - \ beta _ {2} ^ {2} \ omega _ {m} ^ {2} -2 \ gamma P \ beta _ {2}> 0 \\ 0 &; \, - \ beta _ {2} ^ {2} \ omega _ {m} ^ {2} -2 \ gamma P \ beta _ {2} \ leq 0 \ end {esetek}}}

hol van a különbség a zavar gyakorisága és a kezdeti (a szivattyú) frekvencia között. ωm{\ displaystyle \ omega _ {m}}

Impulzus vonat

A beeső nyaláb impulzusokká válhat a teljesítmény vagy a terjedési hossz növelésével.

Bibliográfia

• VE Zakharov és LA Ostrovsky , „  Modulációs instabilitás: A kezdet  ”, Physica D: Nemlineáris jelenségek , t .  238, N o  5,2009, P.  540–548 ( DOI  10.1016 / j.physd.2008.12.002 , Bibcode  2009PhyD..238..540Z , online olvasás )

Megjegyzések és hivatkozások

• (fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket angolul című „  Modulational instabilitás  ” ( lásd a szerzők listáját ) .

1. T. Brooke Benjamin és JE Feir : „  A hullámvonatok felbomlása a mély vízen. 1. rész Elmélet  ”, Journal of Fluid Mechanics , vol.  27, n o  3,1967, P.  417–430 ( DOI  10.1017 / S002211206700045X , Bibcode  1967JFM .... 27..417B )
2. TB Benjamin , „  Periodikus hullámvonatok instabilitása nemlineáris diszperzív rendszerekben  ”, Proceedings of the Royal Society of London , vol.  299, n o  14561967, P.  59–76 ( DOI  10.1098 / rspa.1967.0123 , Bibcode  1967RSPSA.299 ... 59B )Klaus Hasselmann beszélgetésével zárult .
3. (en) Govind P. Agrawal , Nemlineáris száloptika , San Diego (Kalifornia), Academic Press ,1995, 2.  kiadás , 592  p. ( ISBN  0-12-045142-5 )
4. HC Yuen és BM Lake , „  A hullámok instabilitása a mély vízen  ” , Fluid Mechanics Annual Review , vol.  12,1980, P.  303–334 ( DOI  10.1146 / annurev.fl.12.010180.001511 , Bibcode  1980AnRFM..12..303Y )
5. Peter AEM Janssen , „  Nemlineáris négyhullámú kölcsönhatások és furcsa hullámok  ”, Journal of Physical Oceanography , vol.  33, n o  4,2003, P.  863–884 ( DOI  10.1175 / 1520-0485 (2003) 33 <863: NFIAFW> 2.0.CO; 2 , Bibcode  2003JPO .... 33..863J )
6. Kristian Dysthe , Harald E. Krogstad és Peter Müller , „  Óceániai szélhámos hullámok  ”, Fluid Mechanics Annual Review , vol.  40,2008, P.  287–310 ( DOI  10.1146 / annurev.fluid.40.111406.102203 , Bibcode  2008AnRFM..40..287D )