Bilinear interpoláció

A bilineáris interpoláció egy eljárás interpoláció a feladatokat a két változó egy szabályos rács (in) . Bármelyik pontban kiszámítja a függvény értékét, mindkét irányba a két legközelebbi szomszédból. Ez egy olyan módszer, amelyet a digitális képalkotásban széles körben használnak a kép átméretezésére , és amely jobb eredményeket nyújt, mint a legközelebbi szomszéd interpolációja, ugyanakkor ésszerű komplexitás mellett.

Általános elv

A nevével ellentétben az interpolációs függvény nem lineáris forma, hanem másodfokú, amelyet az alábbi formában lehet felvenni:

{\ displaystyle f (x, y) = ax + by + cxy + d.}

Az érték $f ( x , y )$ az interpolált érték azon a ponton, a koordináták $( x , y )$ , és $egy , b , c , d$ konstansok határozzuk meg a négy szomszédok $( x 1 , y 1 ), ( x 1 ,$ annak a $( x , y )$ pontnak a $y$ $2$ $), ($ $x$ $2$ $,$ $y$ $1$ $), ($ $x$ $2$ $,$ $y$ $2$ $)$ , amelynek értékét keressük. Ezen pontok értékeinek ismeretében 4 egyenletből 4 ismeretlent írhatunk :

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {mátrix} f (x_ {1}, y_ {1}) = ax_ {1} + by_ {1} + cx_ {1} y_ {1} + d \\ f ( x_ {2}, y_ {1}) = ax_ {2} + by_ {1} + cx_ {2} y_ {1} + d \\ f (x_ {1}, y_ {2}) = ax_ {1} + by_ {2} + cx_ {1} y_ {2} + d \\ f (x_ {2}, y_ {2}) = ax_ {2} + by_ {2} + cx_ {2} y_ {2} + d \ end {mátrix}} jobb.}

A bilinear interpoláció két lineáris interpoláció egymásutániként értelmezhető , egy-egy irányba.

Rendszer megoldás

A változó megváltoztatása jelentősen leegyszerűsíti a megoldandó rendszert. Vegye figyelembe a következő új változókat:

{\ displaystyle dx = x-x_ {1}, \ quad dy = y-y_ {1},}

ahol $( x 1 , y 1 )$ a bal alsó sarok koordinátái. Ezután az új bilinear interpolációs függvényt írjuk:

{\ displaystyle f (dx, dy) = a \, dx + b \, dy + c \, dx \, dy + d.}

Bevezetésével jelöléseit és , hogy a mátrix invertálható válik: ${\ displaystyle \ Delta x = x_ {2} -x_ {1}}$ ${\ displaystyle \ Delta y = y_ {2} -y_ {1}}$

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\\ Delta x & 0 & 0 & 1 \\ 0 & \ Delta y & 0 & 1 \\\ Delta x & \ Delta y & \ Delta x \ Delta y & 1 \\\ end {pmatrix}}}

Marad a következő jelölések bevezetése:

{\ displaystyle \ Delta f_ {x} = f (x_ {2}, y_ {1}) - f (x_ {1}, y_ {1}), \ quad \ Delta f_ {y} = f (x_ {1 }, y_ {2}) - f (x_ {1}, y_ {1}),}

{\ displaystyle \ Delta f_ {xy} = f (x_ {1}, y_ {1}) + f (x_ {2}, y_ {2}) - f (x_ {2}, y_ {1}) - f (x_ {1}, y_ {2}).}

Ekkor a probléma bilinear interpolációs függvényének megoldása közvetlenül jön:

{\ displaystyle f (x, y) = \ Delta f_ {x} {\ frac {dx} {\ Delta x}} + \ Delta f_ {y} {\ frac {dy} {\ Delta y}} + \ Delta f_ {xy} {\ frac {dx} {\ Delta x}} {\ frac {dy} {\ Delta y}} + f (x_ {1}, y_ {1}).}

Hivatkozások

(in) Rafael C. Gonzalez és Richard E. Woods, Digital Image Processing , Prentice Hall,2008, „Képminta és kvantálás”, p. 66.

Kapcsolódó cikkek