Snake Lemma
A kígyó lemma a matematikában , különös tekintettel a homológiára és a kohomológiára , bármely abeli kategóriában érvényes állítás ; ez a legfontosabb eszköz a pontos szekvenciák , mindenütt jelen lévő objektumok felépítésében a homológiában és alkalmazásaiban, például az algebrai topológiában . Az így felépített morfizmusokat általában „összekötő morfizmusoknak” nevezzük.
Államok
Egy abeli kategóriában (például az abeli csoportok kategóriája vagy a mező vektortereinek kategóriája ) vegye figyelembe a következő kommutatív diagramot :
ahol a vonalak pontos szekvenciák, és 0 jelentése a null tárgya az érintett kategóriában. Ekkor létezik egy pontos szekvenciáját összekötő a magok és a cokernels az egy , b , és c :
kernál nél⟶kerb⟶kervs.⟶dkokszolónál nél⟶kokszolób⟶kokszolóvs..{\ displaystyle \ ker a \; {\ color {Gray} \ longrightarrow} \ ker b \; {\ color {Gray} \ longrightarrow} \ ker c \; {\ overset {d} {\ longrightarrow}} \ operátor neve { coker} a \; {\ color {Gray} \ longrightarrow} \ operatorname {coker} b \; {\ color {Gray} \ longrightarrow} \ operatorname {coker} c.}
Továbbá, ha a morfizmus f egy monomorphism , akkor a morfizmus ker egy → ker b is, és ha G ' jelentése epimorphism , majd kokszoló b → kokszoló c is.
Demonstráció
By Mitchell beágyazó tétel , elegendő annak bizonyítására, az eredményt a kategóriákat modulusok , hogy terjessze ki azt minden apró Abel kategóriában. Ezért megelégszünk azzal, hogy igazoljuk az eredményt bármely modulkategória esetében.
Legyen akkor az első sor pontosságával olyan, hogy . Ezután a diagram kommutativitása révén megvan, mert a . Tehát a második vonal pontosságáért. Végül az (ami a második vonal pontosságából következik) injekcióval rendelkezik egy olyan egyedi jellel , amely . Ezt továbbítjuk .
x∈kervs.⊂VS{\ displaystyle x \ in \ ker c \ C részhalmaz}
y∈B{\ displaystyle y \ B-ben}
g(y)=x{\ displaystyle g (y) = x}
g′∘b(y)=vs.∘g(y)=0{\ displaystyle g '\ circ b (y) = c \ circ g (y) = 0}
x{\ displaystyle x}
vs.{\ displaystyle c}
b(y)∈kerg′=Imf′{\ displaystyle b (y) \ in \ ker g '= \ operátor neve {Im} f'}
f′{\ displaystyle f '}
z∈NÁL NÉL′{\ displaystyle z \ in A '}
f′(z)=b(y){\ displaystyle f '(z) = b (y)}
z{\ displaystyle z}
[z]∈kokszolónál nél{\ displaystyle [z] \ a \ operátornévben {coker} a}![{\ displaystyle [z] \ a \ operátornévben {coker} a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2faa72610c20fae01f9bd2fb18e16091824d672)
Ezután definiáljuk az élmorfizmust .
d(x)=[z]{\ displaystyle d (x) = [z]}![{\ displaystyle d (x) = [z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9d110e40564160830dd6974c3c312b53405700a)
Meg kell még mutatni, hogy ez a meghatározás nem a választottól függ . Ha másik megfelelőt veszünk , nevezzük meg és az in értéket . Tehát definíció szerint tehát van ilyen . A kommutativitás révén megvan . Injekció révén .
y{\ displaystyle y}
y′{\ displaystyle y '}
Δ=y-y′{\ displaystyle \ Delta = y-y '}
ζ′{\ displaystyle \ zeta '}
Δ{\ displaystyle \ Delta}
NÁL NÉL′{\ displaystyle A '}
Δ∈kerg=Imf{\ displaystyle \ Delta \ in \ ker g = \ kezelőnév {Im} f}
α∈NÁL NÉL{\ displaystyle \ alpha \ in A}
f(α)=Δ{\ displaystyle f (\ alpha) = \ Delta}
f′∘nál nél(α)=b∘f(α)=b(Δ){\ displaystyle f '\ circ a (\ alpha) = b \ circ f (\ alpha) = b (\ Delta)}
nál nél(α)=ζ′∈Imnál nél{\ displaystyle a (\ alpha) = \ zeta '\ a \ operátornévben {Im} a}
Így a képen és így a hányadosban van a különbség , társítva és társítva .
z{\ displaystyle z}y{\ displaystyle y}z′{\ displaystyle z '}
y′{\ displaystyle y '}nál nél{\ displaystyle a}
[z]=[z′]{\ displaystyle [z] = [z ']}![{\ displaystyle [z] = [z ']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9a847115c807a889fc7c0ce30062ca397568c62)
Referencia
(fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket
angolul című
„ Snake lemma ” ( lásd a szerzők listáját ) .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">
