Loxodroma

A loxi vonal (a görög lox (o) - és - dromie pályától ( δρόμος) ferde ( λοξός), angolul loxi vonal ) olyan görbe, amely állandó szögben metszi a gömb meridiánjait . Ez az az út, amelyet egy edény követ, állandó irányt követve .

A merevlemez-vonal a Mercator vetületi hajózási vagy repülési térképén egyenesként van ábrázolva, de nem jelenti a legrövidebb távolságot két pont között. Valójában a legrövidebb út, úgynevezett körút vagy nagy kör a gömb nagy köre.

A lárma egy állandó igaz pályával rendelkező pálya . Nevét Pedro Nunes portugál földmérőnek köszönheti , aki elsőként különböztette meg a körtől (kb. 1537 ).

Loxodromikus navigáció

A felvetett probléma az, hogy meghatározzuk a pálya és a két pont közötti londoni vonalat. Ez tehát a halott számítás fordított problémája .

Ezt követően megjegyezzük

• Rv{\ displaystyle R_ {vb}}a valódi útvonal (a repülésben használt kifejezés, amelyet földi útnak neveznek , a tengeri területen);Rf{\ displaystyle R_ {f} \,}
• M{\ displaystyle M \,}az útig megtett távolság  ;Rv{\ displaystyle R_ {vb}}
• φNÁL NÉL,GNÁL NÉL{\ displaystyle \ varphi _ {A}, G_ {A} \,}valamint az A és B pont földrajzi koordinátái (szélesség, hosszúság);φB,GB{\ displaystyle \ varphi _ {B}, G_ {B} \,}
• φm=φNÁL NÉL+φB2{\ displaystyle \ varphi _ {m} = {\ frac {\ varphi _ {A} + \ varphi _ {B}} {2}} \,} a középső szélesség;

Az egységek szükség esetén fel kell tüntetni a felső index szögletes zárójelben: a hajózási , radián, mert perces ív . [nemq]{\ displaystyle ^ {[nq]}}[rnál néld]{\ displaystyle ^ {[rad]}}[,]{\ displaystyle ^ {[,]}}

A távolság értékét az igazi út függvényében az egyenlőség fejezi ki

M[nemq]=φB[,]-φNÁL NÉL[,]kötözősaláta⁡Rv{\ displaystyle M ^ {[nq]} = {\ frac {\ varphi _ {B} \, ^ {[,]} - \ varphi _ {A} \, ^ {[,]}} {\ cos R_ { v}}} \,}

A valódi útvonal kiértékeléséhez használhatunk hozzávetőleges vagy pontos értéket.

• Ha a két A és B pont nincsenek nagyon távol egymástól, akkor elégedhetünk a hozzávetőleges képlettel az átlagos szélességi fok felhasználásával

Cser⁡Rv=GB-GNÁL NÉLφB-φNÁL NÉLkötözősaláta⁡φm{\ displaystyle \ tan R_ {v} = {\ frac {G_ {B} -G_ {A}} {\ varphi _ {B} - \ varphi _ {A}}} cos cos varphi _ {m} \, } ez a képlet a gömb és a térkép távolságainak összekeveréséből adódik. Csökkentett távolságra (kevesebb, mint 300 tengeri mérföld) és a pólustól távol eső szélességi pontokra (60 ° alatti szélességi fokokra) vonatkozik.

• Pontos képlet ( a Mercator vetületének szélességi fokának növekedése ):

Cser⁡Rv=GB-GNÁL NÉLλB-λNÁL NÉL{\ displaystyle \ tan R_ {v} = {\ frac {G_ {B} -G_ {A}} {\ lambda _ {B} - \ lambda _ {A}}} \,} λ{\ displaystyle \ lambda \,}növekvő szélességnek nevezzük , és radiánban egyenlő: λ=ln⁡Cser⁡(π4+φ[rnál néld]2){\ displaystyle \ lambda = \ ln \ tan \ balra ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi ^ {[rad]}} {2}} \ jobbra) \,}amely az inverz Gudermann- függvény.

A képletek nem alkalmasak 90 ° és 270 ° közelségre, mivel nullához közeli számmal történő felosztáshoz vezetnének. Ezekben az esetekben a tengeri számításokban várhatóan a szinuszot használják a távolság kiszámításához. Amint a pálya negyedenként megolvad, nagyobb, mint 89 °, a következő hozzávetőleges képletet alkalmazzuk: Rv{\ displaystyle R_ {vb}} Rfq{\ displaystyle Rf_ {q}}

M[nemq]=|GB[,]-GNÁL NÉL[,]|kötözősaláta⁡φmbűn⁡Rfq{\ displaystyle M ^ {[nq]} = {\ frac {\ balra | G_ {B} \, ^ {[,]} - G_ {A} \, ^ {[,]} \ jobbra | \ cos \ varphi _ {m}} {\ sin Rf_ {q}}}}

• Loxodrom pólustól pólusig

• Loxodromia az Egyenlítőtől nézve

• Loxodromy az északi pólustól nézve

Matematikai tanulmány

A földi földgömbön a lármavonalak megfelelnek (ha nem "degeneráltak", vagyis amikor az adott kezdeti szög nem nulla) a pólus (az északi pólus, ha a kezdeti szög be van kapcsolva és az elmozdulás ) körül kanyargó spiráloknak felelnek meg. a szélesség növekedésének irányában ). A pólus közelében ezek a spirálok megközelítőleg síkban vannak, érintőként rögzített szöget képeznek a sugárvektorral, ami a logaritmikus spirál jellemző tulajdonsága . ]0,π[{\ displaystyle] 0, \ pi [}

Pontosabban meg akarjuk határozni a loksadó vonal egyenletét, és kiszámoljuk az Egyenlítőtől a pólusig megtett L hosszúságot a valódi irány függvényében (vagyis a követett irány és a földrajzi észak közötti szög); a feljegyzett hosszúság és szélesség , ezért a függvény meghatározása a kérdés . A számítás végül megadja és . Rv∈]0,π/2[{\ displaystyle R_ {v} \ in \,] 0, \ pi / 2 [}G{\ displaystyle G} φ{\ displaystyle \ varphi}G↦φ(G){\ displaystyle G \ mapsto \ varphi (G)}φ(G)=2arctan⁡(exp⁡(GCser⁡(Rv)))-π/2{\ displaystyle \ varphi (G) = 2 \ arctan (\ exp ({G \ over \ tan (R_ {v})})) - \ pi / 2}L=π2kötözősaláta⁡(Rv){\ displaystyle L = {\ pi \ több mint 2 \, \ cos (R_ {v})}}

Részletes számítás

A loxodromie egy ív a gömb amely feltételezi, függvény által meghatározott osztály  : és orientált irányába növekvő hosszúság. Legyen az a függvény, amely a hosszúsági fokozattal társítja a loxumbox és a földrajzi szélesség aktuális pontját . VS1{\ displaystyle C ^ {1}}G↦φ(G){\ displaystyle G \ mapsto \ varphi (G)}f:G↦M(G,φ(G)){\ displaystyle f: G \ mapsto M (G, \ varphi (G))}G{\ displaystyle G}G{\ displaystyle G}φ(G){\ displaystyle \ varphi (G)}

Ekkor egy olyan vektor érintője a loksadó vonalnak . Ez a vektor, amely az ív érintőjét irányítja, hipotézis alapján szöget képez bármely (nem nulla) vektorral, amely a meridiánt irányítja a figyelembe vett pontra. A meridiánt kelet felé irányító vektor, míg a párhuzamot irányító vektor . f′(G)=∂M→∂G(G,φ(G))+φ′(G)⋅∂M→∂φ(G,φ(G)){\ displaystyle f '(G) = {\ részleges {\ vec {M}} \ át \ részleges G} (G, \ varphi (G)) + \ varphi' (G) \ cdot {\ részleges {\ vec { M}} \ over \ részleges \ varphi} (G, \ varphi (G))}Rv{\ displaystyle R_ {vb}}M(G,φ(G)){\ displaystyle M (G, \ varphi (G))}∂M→∂φ(G,φ(G)){\ displaystyle {\ részleges {\ vec {M}} \ át \ részleges \ varphi} (G, \ varphi (G))}∂M→∂G(G,φ(G)){\ displaystyle {\ részleges {\ vec {M}} \ át \ részleges G} (G, \ varphi (G))}

A következőkben, hogy egyszerűsítse az írás, az egyik már nem adja meg azt a pontot, ahol a funkciók és parciális deriváltak veszünk, és az egyik lesz megjegyezni helyett , és a származék tekintetében . (G,φ(G)){\ displaystyle (G, \ varphi (G))}φ{\ displaystyle \ varphi}φ(G){\ displaystyle \ varphi (G)}φ′{\ displaystyle \ varphi '}φ(G){\ displaystyle \ varphi (G)}G{\ displaystyle G}

Azáltal, hogy elvégezzük a loksadó vonal érintőjének irányító vektorának és a meridián irányító vektorának skaláris szorzatát, e vektorok normáinak szorzatát az általuk képzett szög koszinuszával kapjuk meg. Ez a szög pontosan az igazi irány, amikor  : Rv{\ displaystyle R_ {vb}}0<Rv<π{\ displaystyle 0 <R_ {v} <\ pi}

(∂M→∂φ|∂M→∂G+φ′∂M→∂φ)=‖∂M→∂φ‖‖∂M→∂G+φ′∂M→∂φ‖kötözősaláta⁡(Rv){\ displaystyle \ left ({\ részleges {\ vec {M}} \ felett \ részleges \ varphi} \; {\ Bigg |} \; {\ részleges {\ vec {M}} \ át \ részleges G} + \ varphi '{\ részleges {\ vec {M}} \ felett \ részleges \ varphi} \ jobb) = \ bal \ | {\ részleges {\ vec {M}} \ fölött \ részleges \ varphi} \ jobb \ | \, \ bal \ | {\ részleges {\ vec {M}} \ át \ részleges G} + \ varphi '{\ részleges {\ vec {M}} \ fölött \ részleges \ varphi} \ jobb \ | \ cos (R_ { v})}, Jelezve a pont termék , mint .(u→|v→){\ displaystyle ({\ vec {u}} \; | \; {\ vec {v}})}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}

Mivel a párhuzamok és a meridiánok merőlegesek, a vektorok és merőlegesek, és az előző kifejezés leegyszerűsíti: ∂M→∂φ{\ displaystyle {\ részleges {\ vec {M}} \ over \ részleges \ varphi}}∂M→∂G{\ displaystyle {\ részleges {\ vec {M}} \ át \ részleges G}}

φ′‖∂M→∂φ‖2=‖∂M→∂φ‖‖∂M→∂G+φ′∂M→∂φ‖kötözősaláta⁡(Rv){\ displaystyle \ varphi '\ left \ | {\ részleges {\ vec {M}} \ over \ részleges \ varphi} \ right \ | ^ {2} = \ left \ | {\ részleges {\ vec {M}} \ over \ részleges \ varphi} \ jobb \ \ \, \ bal \ | {\ részleges {\ vec {M}} \ felett \ részleges G} + \ varphi '{\ részleges {\ vec {M}} \ át \ részleges \ varphi} \ right \ | \ cos (R_ {v})}

majd:

φ′‖∂M→∂φ‖=‖∂M→∂G+φ′∂M→∂φ‖kötözősaláta⁡(Rv){\ displaystyle \ varphi '\ bal \ | {\ részleges {\ vec {M}} \ felett \ részleges \ varphi} \ jobb \ \ = = bal \ | {\ részleges {\ vec {M}} \ át \ részleges G} + \ varphi '{\ részleges {\ vec {M}} \ felett \ részleges \ varphi} \ jobb \ | \ cos (R_ {v})}

A Pitagorasz-tétel négyzetre emelésével és használatával a következőket kapjuk:

φ′2‖∂M→∂φ‖2=(‖∂M→∂G‖2+φ′2‖∂M→∂φ‖2)kötözősaláta2⁡(Rv){\ displaystyle \ varphi '^ {2} \ bal \ | {\ részleges {\ vec {M}} \ felett \ részleges \ varphi} \ jobb \ | ^ {2} = \ bal (\ bal \ | {\ részleges {\ vec {M}} \ over \ részleges G} \ right \ | ^ {2} + \ varphi '^ {2} \ left \ | {\ részleges {\ vec {M}} \ over \ részleges \ varphi} \ right \ | ^ {2} \ right) \ cos ^ {2} (R_ {v})}

Honnan, azzal 1-kötözősaláta2⁡(Rv)=bűn2⁡(Rv){\ displaystyle 1- \ cos ^ {2} (R_ {v}) = \ sin ^ {2} (R_ {v})}

bűn2⁡(Rv)φ′2‖∂M→∂φ‖2=‖∂M→∂G‖2kötözősaláta2⁡(Rv)(1){\ displaystyle \ sin ^ {2} (R_ {v}) \ varphi '^ {2} \ bal \ | {\ részleges {\ vec {M}} \ felett \ részleges \ varphi} \ jobb \ | ^ {2 } = \ bal \ | {\ részleges {\ vec {M}} \ felett \ részleges G} \ jobb \ | ^ {2} \ cos ^ {2} (R_ {v}) \ qquad \ mathbf {(1) }}.

Kiszámoljuk az egyenletben szereplő két normát:

Ismeretes szerint a gömb alakú konfigurációt jelentik a Descartes-féle koordináta a bázis , mentén irányul Föld tengelye, hogy amennyiben az az egység, radiális vektorra az egyenlítői sík által meghatározott . Definiáljuk , mint a vektor, amely tekintetében az  : . Tehát és . Így és . (én→,j→,k→){\ displaystyle ({\ vec {i}}, {\ vec {j}}, {\ vec {k}})}k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}OM→(G,φ)=bűn⁡(φ)k→+kötözősaláta⁡(φ)u→G{\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} (G, \ varphi) = \ sin (\ varphi) \; {\ vec {k}} + \ cos (\ varphi) \; {\ vec {u}} _ { G}}u→G{\ displaystyle {\ vec {u}} _ {G}}u→G=kötözősaláta⁡(G)én→+bűn⁡(G)j→{\ displaystyle {\ vec {u}} _ {G} = \ cos (G) \; {\ vec {i}} + \ sin (G) \; {\ vec {j}}}v→G{\ displaystyle {\ vec {vb}} _ {G}}G{\ displaystyle G}u→G{\ displaystyle {\ vec {u}} _ {G}}v→G=du→GdG=-bűn⁡(G)én→+kötözősaláta⁡(G)j→{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {G} = {d {\ vec {u}} _ {G} \ over dG} = - \ sin (G) \; {\ vec {i}} + \ cos (G) \; {\ vec {j}}}∂M→∂G=kötözősaláta⁡(φ)v→G{\ displaystyle {\ részleges {\ vec {M}} \ over \ részleges G} = \ cos (\ varphi) \; {\ vec {v}} _ {G}}∂M→∂φ=kötözősaláta⁡(φ)k→-bűn⁡(φ)u→G{\ displaystyle {\ részleges {\ vec {M}} \ over \ részleges \ varphi} = \ cos (\ varphi) \; {\ vec {k}} - \ sin (\ varphi) {\ vec {u}} _ {G}}‖∂M→∂G‖=kötözősaláta⁡(φ){\ displaystyle \ left \ | {\ részleges {\ vec {M}} \ over \ részleges G} \ jobb \ | = \ cos (\ varphi)}‖∂M→∂φ‖=1{\ displaystyle \ bal \ | {\ részleges {\ vec {M}} \ át \ részleges \ varphi} \ jobb \ | = 1}

Az egyenlet a következőre áll össze: (1){\ displaystyle \ mathbf {(1)}}

bűn2⁡(Rv)φ′2=kötözősaláta2⁡(φ)kötözősaláta2⁡(Rv){\ displaystyle \ sin ^ {2} (R_ {v}) \ varphi '^ {2} = \ cos ^ {2} (\ varphi) \ cos ^ {2} (R_ {v})}

Ha feltételezzük, hogy elkezdjük az egyenlítő ( ) hosszúság és menj északkeleti, majd , és a növekvő függvénye , ezért (a többi esetben azt levezetni az ív központi szimmetria és / vagy a megfelelő forgási (s), így nem veszítjük el az általánosságot), ennek eredményeként: φ=0{\ displaystyle \ varphi = 0}G=0{\ displaystyle G = 0}Rv∈]0,π/2[{\ displaystyle R_ {v} \ in \,] 0, \ pi / 2 [}φ{\ displaystyle \ varphi}G{\ displaystyle G}φ′>0{\ displaystyle \ varphi '> 0}

bűn⁡(Rv)φ′=kötözősaláta⁡(φ)kötözősaláta⁡(Rv){\ displaystyle \ sin (R_ {v}) \ varphi '= \ cos (\ varphi) \ cos (R_ {v})} és , nemlineáris differenciálegyenlet, amelyben a változó elválasztható1kötözősaláta⁡(φ)dφdG=1Cser⁡(Rv){\ displaystyle {1 \ over \ cos (\ varphi)} {d \ varphi \ over dG} = {1 \ over \ tan (R_ {v})}}φ(G){\ displaystyle \ varphi (G)}

0 és  : közötti integrációvalG{\ displaystyle G}

∫0φ(G)dφkötözősaláta⁡(φ)=1Cser⁡(Rv)∫0GdG{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ varphi (G)} {d \ varphi \ over \ cos (\ varphi)} = {1 \ over \ tan (R_ {v})} \ int _ {0} ^ {G} dG}, bármelyik (vö. a trigonometrikus függvények primitívjei ) ln⁡(Cser⁡(π4+φ(G)2))=GCser⁡(Rv){\ displaystyle \ ln \ left (\ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ varphi (G)} {2}} \ right) \ right) = {G \ over \ tan (R_ {v})}}

Az L megtett hossza tehát értelemszerűen megéri:

L=∫0+∞‖f′(G)‖dG{\ displaystyle L = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ | f '(G) \ | \, dG} hol és ugyanazon okokból .f′(G)=∂M→∂G(G,φ(G))+φ′(G)∂M→∂φ(G,φ(G)){\ displaystyle f '(G) = {\ részleges {\ vec {M}} \ át \ részleges G} (G, \ varphi (G)) + \ varphi' (G) {\ részleges {\ vec {M} } \ over \ részleges \ varphi} (G, \ varphi (G))}‖f′(G)‖2=kötözősaláta2⁡(φ)+φ′2=kötözősaláta2⁡(φ)+kötözősaláta2⁡(φ)Cser2⁡(Rv)=kötözősaláta2⁡(φ)bűn2⁡(Rv){\ displaystyle \ | f '(G) \ | ^ {2} = \ cos ^ {2} (\ varphi) + \ varphi' ^ {2} = \ cos ^ {2} (\ varphi) + {\ cos ^ {2} (\ varphi) \ over \ tan ^ {2} (R_ {v})} = {\ cos ^ {2} (\ varphi) \ over \ sin ^ {2} (R_ {v})} }‖f′(G)‖=kötözősaláta⁡(φ)bűn⁡(Rv){\ displaystyle \ | f '(G) \ | = {\ cos (\ varphi) \ over \ sin (R_ {v})}} L=1bűn⁡(Rv)∫0+∞kötözősaláta⁡(φ(G))dG{\ displaystyle L = {1 \ over \ sin (R_ {v})} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ cos (\ varphi (G)) \, dG}

A változó módosításával, azzal a szélességi 0-tól , amikor változik 0-tól  : dGdφ=Cser⁡(Rv)kötözősaláta⁡(φ){\ displaystyle {dG \ over d \ varphi} = {\ tan (R_ {v}) \ over \ cos (\ varphi)}}φ{\ displaystyle \ varphi}π2{\ displaystyle \ pi \ 2 felett}G{\ displaystyle G}+∞{\ displaystyle + \ infty}

Nekünk van L=Cser⁡(Rv)bűn⁡(Rv)∫0π2dφ=1kötözősaláta⁡(Rv)∫0π2dφ{\ displaystyle L = {\ tan (R_ {v}) \ over \ sin (R_ {v})} \ int _ {0} ^ {\ pi \ over 2} \, d \ varphi = {1 \ over \ cos (R_ {v})} \ int _ {0} ^ {\ pi \ over 2} \, d \ varphi} L=π2kötözősaláta⁡(Rv){\ displaystyle L = {\ pi \ több mint 2 \, \ cos (R_ {v})}}

Könnyű ellenőrizni az eredményt null értékkel. Látjuk, hogy az áthaladt ív a meridián, és hossza megegyezik a kerület negyedével. Rv{\ displaystyle R_ {vb}}

Ugyanaz a számítás, amelyet két, a loxikon található A és B pont között hajtanak végre, megadja a hosszát:

M=1kötözősaláta⁡(Rv)∫φNÁL NÉLφBdφ=φB-φNÁL NÉLkötözősaláta⁡(Rv){\ displaystyle M = {1 \ over \ cos (R_ {v})} \ int _ {\ varphi _ {A}} ^ {\ varphi _ {B}} \, d \ varphi = {\ frac {\ varphi _ {B} - \ varphi _ {A}} {\ cos (R_ {v})}}}

Megjegyzések és hivatkozások

1. A gömb "nagy köre" a gömb metszéspontja egy olyan síkkal, amely áthalad a gömb közepén, például az Egyenlítőn és az összes meridiánon.
2. Stevin és Harriot tanulmányozták (kb. 1580 ): a "nehéz integráció" egyik első ismert esete
3. LOxodromie , 5–6. O., A marseille-i kereskedelmi tengeri nemzeti iskola helyén
4. Robert Rolland "A NAVIGÁCIÓHOZ KAPCSOLÓDÓ MATEMATIKAI PROBLÉMÁK (7. VÁLTOZAT)" (26. oldal)
5. LOxodromie , 8., 10. o., A marseille-i kereskedelmi tenger nemzeti iskolájának helyén
6. Robert Rolland "A NAVIGÁCIÓHOZ KAPCSOLÓDÓ MATEMATIKAI PROBLÉMÁK (7. VÁLTOZAT)" (19. oldal)

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

• Geodéziai
• Loxodroma
• Halott számvetés
• Ortodromia
• Útvonal (navigáció)

Külső linkek

• (fr) "A navigációval kapcsolatos néhány matematikai probléma"
• fr) "Szoftver a távolságok (rhumb és nagy kör) és irányok kiszámításához"

Bibliográfia

• Raymond d'Hollander, Loxodromy és Mercator vetület , Oceanográfiai Intézet,2005, 239  o. ( ISBN  978-2-903581-31-2 )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">