Magnetosztatikus

A magnetosztatikus a mágnesesség vizsgálata olyan helyzetekben, amikor a mágneses tér független az időtől.

Pontosabban, a magnetosztatika a mágneses mezők kiszámításával foglalkozik, amikor ezeknek a mezőknek a forrásai ismertek. A mágneses mezőknek két lehetséges forrása van:

egyrészt elektromos áramok;
másrészt mágneses anyag.

Helyi kapcsolatok

A magnetosztatika alapvető összefüggéseit Maxwell anyagegyenleteiből vezetjük le , a származékok időbeli eltávolításával. Ha ezeket az időbeli eltéréseket eltávolítjuk, az elektromosság és a mágnesesség egyenletei elválnak egymástól, ami lehetővé teszi az elektrosztatika és a magnetosztatika külön tanulmányozását . A magnetosztatika helyi viszonyaikban megfogalmazott alapvető kapcsolatai a következők:

\ nabla \ cdot {\ mathbf {B}} = 0

\ nabla \ times {\ mathbf {H}} = {\ mathbf {j}}

vagy

B jelöli a mágneses teret , amelyet néha mágneses indukciónak vagy mágneses fluxus sűrűségnek is neveznek ;
H jelentése mágneses gerjesztés , amelyet néha mágneses térnek is neveznek ;
j az elektromos áram sűrűsége;
∇ a nabla operátor , amelyet itt használunk a divergencia (∇⋅) és a forgatás (∇ ×) felírására .

Vegye figyelembe a mágneses mező kifejezésének kétértelműségét, amely összefüggésként B vagy H jelölést jelenthet . A cikk további részében a mezőket kifejezetten B vagy H betűvel jelöljük meg, amikor fontos megkülönböztetni.

A fenti kapcsolatokhoz hozzá kell adnunk azt, amely összeköti B-t és H-t :

{\ displaystyle \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \, (\ mathbf {H} + \ mathbf {M})}

vagy

M a figyelembe vett közeg mágnesezettsége ;
μ 0 a vakuum mágneses permeabilitásának nevezett alapvető állandó .

Látjuk, hogy a B és H közötti különbségtétel csak mágnesezett közegekben hasznos (ahol M ≠ 0 ). Ha feltételezzük, hogy a mágnesezettség ismert, a fenti összefüggés lehetővé teszi a B kiszámítását nagyon egyszerűen H függvényében és fordítva. Következésképpen, valahányszor mágneses teret akarunk kiszámítani, választhatjuk a B vagy a H közömbös kiszámítását , a másikat azonnal levezetjük. Ez a két választás a magnetosztatikus számítások két megközelítésének felel meg:

az amperiális megközelítés;
a Coulomb-megközelítés.

Amperális megközelítés

Az ampérienne megközelítés a B kiszámítására törekszik . Jelenleg azért részesítik előnyben az oktatásban, mert vákuumban közel áll az elektromágnesességhez. A megoldandó egyenletek a következők:

\ nabla \ cdot {\ mathbf {B}} = 0

{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \, (\ mathbf {j} + \ nabla \ times \ mathbf {M})}

Észrevehető, hogy a második egyenletben szereplő ∇ × M kifejezés kiegészítő áramként működik, ami azt okozta, hogy mikroszkopikus áramsűrűségként (úgynevezett kötött áramként ) értelmezzük, amely az elektronok atompályáján történő mozgásából származik. A kvantumjelenség ezen klasszikus értelmezésének megvannak a maga korlátai: bár eléggé leírja az orbitális szögimpulzusból fakadó mágnességet , az elektronok pörgésével kapcsolatosat nem teljes mértékben veszi figyelembe .

A gyakorlatban az amperes megközelítést előnyben részesítik azokban a helyzetekben, amikor nincs mágnesezett anyag, és a mezőt kizárólag az áram okozza. Ekkor elhelyezzük magunkat ebben az esetben, ahol akkor ∇ × B = μ 0 j . Az általános eset megtalálásához (mágneses anyag jelenlétében) egyszerűen cserélje le j- t j + ∇ × M-re .

Megkötött felületi áramok

Gyakran előfordul, hogy olyan rendszerekkel van dolgunk, amelyeknek olyan felülete van, ahol a mágnesezés szakadatlan. Például, ha egy egyenletes mágnesezésű mágnest egy vákuumba merítünk, a mágnes felületén a mágnesezés szakaszosan változik véges értékről (belül) nullára (kívülre). Ebben az esetben a kötött áramsűrűség ∇ × M végtelen lehet. Ebben az esetben az egyik helyettesíti a felületen a térfogatsűrűség a jelenlegi köti egy felületi sűrűség :

{\ displaystyle \ mathbf {j} _ {ms} = (\ mathbf {M} _ {1} - \ mathbf {M} _ {2}) \ times \ mathbf {n} _ {12}}

ahol M 1 és M 2 a mágnesezettség a folytonossági felület mindkét oldalán, és n 12 a felületre normális egységvektor, 1-től 2-ig orientálva. A felületi áram mezőjére gyakorolt hatás B :

{\ displaystyle \ Delta \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \, \ Delta \ mathbf {M} _ {\ parallel}}

vagy

Δ M és Δ B képviseli a folytonossági a M és B (megszámoltuk azonos irányban);
Δ M ∥ a M felülettel párhuzamos része .

Ez a folytonosság csak a B felülettel párhuzamos részét érinti . A B normális része folyamatos marad.

Integrált kapcsolatok

Két érdekes kapcsolat érhető el, ha Stokes-tételt alkalmazzuk a helyi kapcsolatokra. A ∇⋅ B = 0 összefüggés megadja:

{\ displaystyle \ int \! \! \! \! \! \! \! \! \ subset \! \ supset \! \! \! \! \! \! \! \! \ int _ {S} \ mathbf {B} \ mathrm {d} \ mathbf {S} = 0}

ahol a S zárt felületen átnyúló integrál a B- ből kifolyó áram . Ez az áramlás-divergencia tétel . A másik összefüggést úgy kapjuk meg, hogy ∇ × B = μ 0 j integráljuk egy nyitott S felületre:

{\ displaystyle \ kenet _ {\! \! \! \! \ részleges S} \ mathbf {B} \ mathrm {d} \ mathbf {l} = \ mu _ {0} \ iint _ {S} \ mathbf { j} \ mathrm {d} \ mathbf {S}}

ahol a bal integrál a B keringése az S kontúrján. Ez a kapcsolat Ampere-tételként ismert . A jobb oldalt egyszerűen a felszínen átfolyó áramként értelmezzük.

Ezek az integrálkapcsolatok gyakran lehetővé teszik a B kiszámítását egyszerűen nagy szimmetrikus helyzetekben.

Példa

Vagy a végtelen egyenes vonal által létrehozott mező kiszámításához. A szimmetria szempontjai megadják a mező tájékozódását: a vezető vezetékre merőleges síkokban forog. Modulusa lehet kiszámítani alkalmazásával Amper-tétel, hogy az S felület által határolt mező vonal sugarú egy :

{\ displaystyle \ kenet _ {\! \! \! \! \ részleges S} \ mathbf {B} \ mathrm {d} \ mathbf {l} = 2 \, \ pi \, a \, B = \ mu _ {0} \, I}

ahol én vagyok a vezeték által szállított áram. Levezetjük a B modulusát :

{\ displaystyle B = {\ frac {\ mu _ {0} \, I} {2 \, \ pi \, a}}}

Látjuk, hogy a tér a huzal távolságához képest fordított arányban csökken.

Vektorpotenciál

A divergencia a B a zéró-ből, B egy vektor potenciál A :

{\ displaystyle \ mathbf {B} = \ nabla \ times \ mathbf {A}}

Annak érdekében, hogy egyediségét A , általában kénytelen tiszteletben a Coulomb nyomtáv :

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {A} = 0}

Ezáltal A a Poisson-egyenlet megoldása :

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} + \ mu _ {0} \, \ mathbf {j} = \ mathbf {0}}

Integrált megoldás

Megmutathatjuk, hogy A- t az integrál adja

{\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \, \ pi}} \ iiint {\ frac {\ mathbf {j}} {r}} \ mathrm {d} v }

ahol az integrál kiterjed az egész térre (vagy legalábbis azokra a zónákra, ahol j ≠ 0 ), és:

r az integrál aktuális pontja és az A számított pont közötti távolságot jelöli;
dv a kötet elem .

Hasonlóképpen, B- t adja meg:

{\ displaystyle \ mathbf {B} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \, \ pi}} \ iiint {\ frac {\ mathbf {j} \ times \ mathbf {r}} {r ^ {3}}} \ mathrm {d} v}

vagy:

r az a vektor, amely az integrál aktuális pontjától a B számításáig tart;
r a modulusa r .

Ez az utolsó összefüggés Biot és Savart törvénye néven ismert .

Ha van mágnesezett anyag, akkor természetesen figyelembe kell vennünk azokat az áramokat is, amelyek j- t j + j∇ × M- mel helyettesítik . Megkötött felületi áramok jelenlétében hozzá kell adni a térfogatintegrálokhoz azokat a felületi integrálokat, amelyeket az előzőekből levezetnek a helyettesítéssel

{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {M} \, \ mathrm {d} v \ longmapsto \ mathbf {j} _ {ms} \, \ mathrm {d} S}

Gyakran előforduló helyzet, amikor az áram szálszerű áramkörben áramlik, és ahol a vezeték szakaszát elhanyagolják. Ebben az esetben az A és B térfogatintegráit a huzal mentén lineáris integrálokkal helyettesítjük a helyettesítéssel

{\ displaystyle \ mathbf {j} \, \ mathrm {d} v \ longmapsto I \, \ mathrm {d} \ mathbf {l}}

ahol I jelentése az a vezetékben folyó áram és a a elem hosszának , orientált mentén I .

Példák

Végtelen menet :

Megvehetjük az előző példát, és kiszámíthatjuk a végtelen huzal által létrehozott mezőt Biot és Savart törvényével :

{\ displaystyle B = {\ frac {\ mu _ {0} \, I} {4 \, \ pi}} \ int \ cos (\ theta) {\ frac {\ mathrm {d} l} {r ^ { 2}}} = {\ frac {\ mu _ {0} I} {4 \, \ pi}} \ int {\ frac {1} {a}} \ mathrm {d} (\ sin (\ theta)) = {\ frac {\ mu _ {0} \, I} {2 \, \ pi \, a}}}

További példák :

Az R sugarú körtekercs tengelyén létrehozott mező:

{\ displaystyle B = {\ frac {\ mu _ {0} \, I} {2}} {\ frac {R ^ {2}} {(R ^ {2} + z ^ {2}) ^ {3 / 2}}}}

A végtelen hosszú mágnesszelep által létrehozott mező :

{\ displaystyle B = \ mu _ {0} \, n_ {1} \, I}

a mágnesszelep belsejében, a mező kívül nulla. Az n 1 mennyiség jelöli a hosszegységre eső fordulatok számát.

Coulomb megközelítés

A Coulomb-megközelítésben a H számításához kapcsolódik . Ez a megközelítés Coulombnak a mágnesek pólusai által létrehozott erőkkel kapcsolatos munkájában gyökerezik. A mágnesesek továbbra is gyakran használják. Kérdés a H egyenleteinek megoldása :

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {H} = \ rho _ {m}}

\ nabla \ times {\ mathbf {H}} = {\ mathbf {j}}

ahol meghatároztuk

{\ displaystyle \ rho _ {m} = - \ nabla \ cdot \ mathbf {M}}

Az elektrosztatikával analóg módon a ρ m- t mágneses töltéssűrűségnek nevezzük . Vegye figyelembe, hogy az elektromos töltésekkel ellentétben a mágneses töltések nem különíthetők el. A fluxus-divergencia tétel valóban azt mutatja, hogy egy anyagminta teljes mágneses töltése nulla. A mágnes tehát mindig annyi pozitív töltéssel rendelkezik (északi pólus), mint negatív (déli pólus).

Mágneses felület töltések

A gyakorlatban a mágneses töltés gyakran lokalizált felületi töltés formájában található a mágnes felületén. Ez a felületi töltés az M felületre normális komponensének folytonosságából adódik , ahol -∇⋅ M lokálisan végtelen. Az így feltöltött felületeket a mágnes pólusainak nevezzük . A pozitív töltésű felület az északi pólus, a negatív töltésű a déli pólus. Ezeken a felületeken az egyik a töltés térfogatsűrűségét felületi sűrűséggel helyettesíti:

{\ displaystyle \ sigma _ {m} = (\ mathbf {M} _ {1} - \ mathbf {M} _ {2}) \ cdot \ mathbf {n} _ {12}}

Ez a felületi terhelés a H megszakadását indukálja :

{\ displaystyle \ Delta \ mathbf {H} = - \ Delta \ mathbf {M} _ {\ perp}}

ahol Δ M ⟂ a Δ M része, amely a felszínre merőleges . Ez a diszkontinuitás csak a H felületének normális részét érinti . H párhuzamos része folytonos marad.

Integrált kapcsolatok

Csakúgy, mint B esetében , ezek a kapcsolatok a Stokes-tétel helyi kapcsolatokra való alkalmazásából következnek. Lehetővé teszik a H kiszámítását nagy szimmetria esetén is. ∇⋅ H = ρ m integrálása egy véges V térfogatra:

{\ displaystyle \ int \! \! \! \! \! \! \! \! \ subset \! \ supset \! \! \! \! \! \! \! \! \ int _ {\ részleges V} \ mathbf { H} \ mathrm {d} \ mathbf {S} = \ iiint _ {V} \ rho _ {m} \ mathrm {d} v}

ahol a bal kerék, amelyet az V-t meghatározó felületen hordoznak, a H-ból kilépő áramlás . A jobbkezes tag nem más, mint a kötetben található teljes töltet. A másik összefüggést úgy kapjuk meg, hogy ∇ × H = j-t integrálunk egy nyitott S felületre:

{\ displaystyle \ kenet _ {\! \! \! \! \ részleges S} \ mathbf {H} \ mathrm {d} \ mathbf {l} = \ iint _ {S} \ mathbf {j} \ mathrm {d } \ mathbf {S}}

ahol a baloldal tele van H forgalommal az S kontúron. Ez az Ampere H-re írt változata .

A gyakorlatban a Coulomb-megközelítést részesítik előnyben azokban a helyzetekben, amikor a mezőt kizárólag mágnesezett anyag (mágnesek) hozzák létre, elektromos áram hiányában. Ekkor elhelyezzük magunkat ebben az esetben, ahol ∇ × H = 0 . Általános esetben, ha áramok és mágnesek is lennének, külön kiszámítanánk az áramokból (amperiális megközelítéssel) és a mágnesekbõl (Coulomb megközelítéssel) származó hozzájárulást a H-hoz .

Skaláris potenciál

Mivel feltételeztük, hogy ∇ × H = 0 (nincs áram), levezethetjük H- t egy skaláris potenciálból:

{\ displaystyle \ mathbf {H} = - \ nabla \ phi}

ahol φ a Poisson-egyenlet megoldása :

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi + \ rho _ {m} = 0}

Az a tény, hogy H skaláris potenciálból származik, míg B vektorpotenciálból származik, gyakran megéri, hogy Coulomb megközelítse a numerikusok kegyeit.

Integrált megoldás

Megmutatjuk, mint az elektrosztatikában, hogy φ és H az integrálok adják meg:

{\ displaystyle \ phi = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ iiint {\ frac {\ rho _ {m}} {r}} \ mathrm {d} v}

{\ displaystyle \ mathbf {H} = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ iiint \ rho _ {m} {\ frac {\ mathbf {r}} {r ^ {3}}} ~ \ mathrm {d} v}

Gyakori esetben, amikor felszíni töltések vannak, ezekhez az integrálokhoz hozzá kell adni a helyettesítéssel nyert felületi hozzájárulást:

{\ displaystyle \ rho _ {m} \, \ mathrm {d} v \ longmapsto \ sigma _ {m} \, \ mathrm {d} S}

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Bibliográfia

Magnétisme: Fondements , kollektív munka, szerkesztette: Étienne Du Trémolet de Lacheisserie, EDP Sciences ( ISBN 2-86883-463-9 ) .
(en) Hiszterézis a mágnesességben: fizikusok, anyagtudósok és mérnökök számára , Giorgio Bertotti, az Academic Press.