Drude modell
A Drude-modell (nevét Paul Drude fizikusról kapta ), amelyet néha csillapított elektronmodellnek is neveznek, a gázok kinetikai elméletének adaptációja 1900-ban a fémek elektronjaihoz (3 évvel korábban, 1897-ben fedezte fel JJ Thomson ). Ha egy fém elektronjait klasszikus pontrészecskéknek tekintjük, amelyek a minta összes atomja által meghatározott térfogatban korlátozódnak, akkor egy olyan gázt kapunk, amelyet elektromos és mágneses mozgás vonz magába (amely a részecskék egyes mozgásaira kerül rá). mezőkön és ütközésekkel lelassult ebben a mozgásban. A Drude által tervezett ütközések az atomok szívének ütközései. Bár azóta cáfolt feltételezések alapján (az elektronok mozgásának tisztán klasszikus leírása ), a fémek számos tulajdonságával magyarázatot adhat , mint például az elektromos vezetőképesség , a hővezető képesség és a Hall-effektus .
Elektrokinetikai megközelítés
Modell nyilatkozat
Tegyük fel, hogy elektromos vezetést csak elektronok végeznek. Ezek q = - e töltéshordozók és m e tömeg :
Tehát dinamikus szempontból az elektron betartja a következő törvényt:
medv→dt=F→v-Γv→{\ displaystyle m _ {\ mathrm {e}} {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {v}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {vb}} - \ Gamma {\ vec {vb}}}vagy
-
v a sebesség az elektron, méterben kifejezve másodpercenként ( m s -1 );
- F v a Lorentz-erő newtonokban (N) kifejezve, E az elektromos mező és B a mágneses mező ;
F→v=q(E→+v→∧B→){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {v}} = q ({\ vec {\ mathrm {E}}} + {\ vec {v}} \ ék {\ vec { \ mathrm {B}}})}}
- Γ egy empirikus súrlódási együttható kilogramm / másodpercben kifejezve ( kg s −1 ).
Ez egy sorrend lineáris differenciálegyenlete .
Ne feledje, hogy ez más típusú töltéshordozókra is érvényes, például a kristályban lévő elektronlyukakra vagy a sóoldatban lévő ionokra .
Időállandó és sebességkorlátozás
Tegyük fel, hogy az elektron kezdeti sebessége v 0, és hogy az elektromos mező egyenletes és állandó, E 0 . Tehát a fenti differenciálegyenlet megoldása a következőket eredményezi:
v→(t)=v→0⋅e-tτ+(1-e-tτ)⋅qΓE→0{\ displaystyle {\ vec {v}} (t) = {\ vec {v}} _ {0} \ cdot e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}} + \ bal (1-e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}} \ right) \ cdot {\ frac {q} {\ Gamma}} {\ vec {\ mathrm {E}}} _ {0}}vagy
-
τ=meΓ{\ displaystyle \ tau = {\ frac {m _ {\ mathrm {e}}} {\ Gamma}}} az időállandó, a rendszer csillapítási jellemzője;
-
v→l=qΓE→0{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {l}} = {\ frac {q} {\ Gamma}} {\ vec {\ mathrm {E}}} _ {0}} az a határsebesség, amely felé az elektron hajlik.
Elektronikus vezetőképesség
Összekapcsolhatjuk a súrlódási együtthatót az N e elektronok térfogatsűrűségével és az σ 0 elektronikus vezetőképességgel :
Γ=NEMee2σ0{\ displaystyle \ Gamma = {\ frac {\ mathrm {N_ {e}} e ^ {2}} {\ sigma _ {0}}}}Az időállandóra is következtethetünk:
τ=σ0meNEMee2{\ displaystyle \ tau = {\ frac {\ sigma _ {0} m _ {\ mathrm {e}}} {\ mathrm {N_ {e}} e ^ {2}}}}Nagyság
A tiszta réz (σ 0 = 5,98 × 10 7 S m -1 ), feltételezzük, hogy van egy elektronkibocsátó per atom, vagyis a sűrűség ρ m = 8,96 × 10 3 kg m -3 , a moláris tömege M = 63,5 g mol-1 és az Avogadro-szám N A = 6,02 × 10 23 mol -1 , akkor:
N e = ρ m N A / M = 8,49 × 10 28 m −3
és aztán
τ 4 2 499 9 × 10 −14 s
Szinuszos elektromos mező esete
Ha a sebesség lassabb, mint a fény sebessége (nem relativisztikus esetben), akkor a hatás a mágneses mező képest elhanyagolható, hogy az elektromos mező. Tehát van:
F→v≃qE→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}} _ {\ mathrm {v}} \ simeq q {\ vec {\ mathrm {E}}}}és a dinamikus egyenlet:
medv→dt+Γv→=qE→{\ displaystyle m _ {\ mathrm {e}} {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {v}}} {\ mathrm {d} t}} + \ Gamma {\ vec {v}} = q {\ vec {\ mathrm {E}}}}.
Ha az elektromos mező szinuszos
E→(t)=bűn(ωt)E→0{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {E}}} (t) = \ sin (\ omega t) {\ vec {\ mathrm {E}}} _ {0}}akkor a differenciálegyenlet megoldása összetett írásban:
v_→(t)=qΓ+énωmeE→(t){\ displaystyle {\ vec {\ aláhúzás {v}}} (t) = {\ frac {q} {\ Gamma + i \ omega m _ {\ mathrm {e}}}} {\ vec {\ mathrm {E }}} (t)}.
Ekkor a pulzációtól (tehát a frekvenciától ) függően komplex elektromos vezetőképességünk van :
σ_(ω)=σ011+énωτ{\ displaystyle {\ aláhúzás {\ sigma}} (\ omega) = \ sigma _ {0} {\ frac {1} {1 + i \ omega \ tau}}}
Előzetes feltételezések
A modell a következő feltételezéseken alapul :
- A rendszer hasonlítható egy sor n töltés elektronok - e egységnyi térfogatú, tápközegbe helyezve a pont részecskék tömegének m nélkül kölcsönhatás közöttük.
- Klasszikusan leírhatjuk az elektronokat.
- Az elektronok ütköznek. Annak a valószínűsége, áteső összeütközése t és t + d t adják , ahol τ az átlagos idő két egymást követő ütközések, más néven a relaxációs idő.dtτ{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ tau}}}
Az ütközések, amelyek az elektronok vannak kitéve voltak Drude szemében ütközések az atommagok a kristályrács . A valóságban ezeket nevezzük elektronok és fononok ütközésének .
A jelenléte ütközések eredményez erőssége a súrlódási viszkózus formában , ahol p jelentése a lendület az elektron.
-oτ{\ displaystyle - {\ frac {\ mathbf {p}} {\ tau}}}
Ohm törvényének alkalmazásával ezután megvan
j=σE{\ displaystyle \ mathbf {j} = \ sigma \ mathbf {E}},
a vezetőképesség kifejezése:
σ=neme2τm{\ displaystyle \ sigma = {\ frac {ne ^ {2} \ tau} {m}}}.
Egyenáramú vezetőképesség
Úgy véljük, hogy az elektronokat az E elektromos mező egyenletesen felgyorsítja két ütközés közötti időintervallumban. Ez idő után, az ütközést követően, statisztikailag ellazulnak a kezdeti kinetikus állapotukig.
Bármikor, minden i edik elektron ezért a sebessége v i ami meg van írva
vén=v0én+(-eEténme){\ displaystyle v_ {i} = v_ {0i} + \ balra ({{- e \ mathrm {E} t_ {i}} \ felett m _ {\ mathrm {e}}} \ jobbra)}ahol v 0 i > az i elektron kezdeti sebessége az utolsó sokk végén és t i az azóta eltelt idő. Az elektronokat leíró átlagos sebesség (a teljes átlag értelmében):
⟨v⟩stnál nélt=⟨vén⟩stnál nélt=⟨v0én⟩stnál nélt+⟨-eEténme⟩stnál nélt{\ displaystyle \ langle v \ rangle _ {\ mathrm {stat}} = \ langle v_ {i} \ rangle _ {\ mathrm {stat}} = \ langle v_ {0i} \ rangle _ {\ mathrm {stat}} + \ left \ langle {{-e \ mathrm {E} t_ {i}} \ over m _ {\ mathrm {e}}} \ right \ rangle _ {\ mathrm {stat}}}Mint (teljesen véletlenszerű sokkok hipotézise, amelynek eredményeként a végsebesség eloszlik a nulla átlag körül) és (ergodikus hipotézis) megkapjuk a képletet
⟨v0én⟩stnál nélt=0{\ displaystyle \ langle v_ {0i} \ rangle _ {\ mathrm {stat}} = 0}⟨tén⟩stnál nélt=τ{\ displaystyle \ langle t_ {i} \ rangle _ {\ mathrm {stat}} = \ tau}
⟨v⟩stnál nélt=⟨vén⟩stnál nélt=-eEτme{\ displaystyle \ langle v \ rangle _ {\ mathrm {stat}} = \ langle v_ {i} \ rangle _ {\ mathrm {stat}} = {{- e \ mathrm {E} \ tau} \ over m_ { \ mathrm {e}}}}.
Levezetjük az elektromos vezetési áram sűrűségének kifejezését
j=(-neme)⟨v⟩stnál nélt=neme2Eτme{\ displaystyle j = (- ne) \ langle v \ rangle _ {\ mathrm {stat}} = {{ne ^ {2} \ mathrm {E} \ tau} \ over m _ {\ mathrm {e}}} }és a vezetőképesség
σ0=neme2τme{\ displaystyle \ sigma _ {0} = {{ne ^ {2} \ tau} \ over m _ {\ mathrm {e}}}}.
A plazma frekvenciát az alábbiakkal tudjuk megmutatni :
ωo{\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {p}}}
σ0=(τ⋅ε0)ωo2{\ displaystyle \ sigma _ {0} = (\ tau \ cdot \ varepsilon _ {0}) \ omega _ {\ mathrm {p}} ^ {2}}
AC vezetőképesség
A dielektromos állandó és a vezetőképesség kapcsolata
Az elektromágneses térben a vezetőképesség kiszámításához Maxwell egyenleteiből indulunk ki , nevezetesen
Törvény |
Matematikai kifejezés
|
---|
"Coulomb törvénye" |
∇⋅D=ρ{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathrm {D} = \ rho}
|
"Ampère törvénye"
|
∇∧H-∂D∂t=J{\ displaystyle \ nabla \ wedge \ mathrm {H} - {{\ partial \ mathrm {D}} \ over {\ részleges t}} = \ mathrm {J}}
|
"Faraday törvénye"
|
∇∧E+∂B∂t=0{\ displaystyle \ nabla \ wedge \ mathrm {E} + {{\ részleges \ mathrm {B}} \ felett {\ részleges t}} = 0}
|
"A mágneses monopólusok hiánya"
|
∇⋅B=0{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathrm {B} = 0}
|
Ezekből az egyenletekből vezetjük le az σ vezetőképesség és az ε dielektromos állandó közötti kapcsolatot:
ε⋅(ω2vs.2)-k2=énωμ0σ{\ displaystyle \ varepsilon \ cdot \ left ({\ frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {2}}} \ right) -k ^ {2} = i \ omega \ mu _ {0} \ sigma }
A vezetőképesség kiszámítása
Ha az elektrongázt ρ (P, Q) sűrűségmátrixával írjuk le, ez ellenőrzi az evolúciós egyenletet:
dtρ(P,Q)P={H,ρP}Q,P+Σ+-Σ-{\ displaystyle {d_ {t} \ rho (\ mathrm {P}, \ mathrm {Q}) \ mathrm {P}} = \ {\ mathrm {H}, \ rho \ mathrm {P} \} _ {\ mathrm {Q}, \ mathrm {P}} + \ Sigma _ {+} - \ Sigma _ {-}}ahol a Poisson zárójelet, valamint a forrás és a megsemmisítés fogalmait képviseli . Tegyük fel most, hogy a hamiltoni H = H 0 + H 1 és hogy ρ = ρ 0 + ρ 1 , ahol H 1 és ρ 1 perturbatív kifejezéseket jelentenek. Ezután a kezdeti egyenletet a következő formában írják át:
{}P,Q{\ displaystyle \ {\} _ {\ mathrm {P}, \ mathrm {Q}}}Σ+,Σ- {\ displaystyle \ Sigma _ {+}, \ Sigma _ {-} ~}
dtρ(P,Q)Pα={H0,ρ1P}Q,P+{H1,ρ0Pα}Q,P-ρ1Pατ {\ displaystyle {d_ {t} \ rho (\ mathrm {P}, \ mathrm {Q}) \ mathrm {P} _ {\ alpha}} = \ {\ mathrm {H} _ {0}, \ rho _ {1} \ mathrm {P} \} _ {\ mathrm {Q}, \ mathrm {P}} + \ {\ mathrm {H} _ {1}, \ rho _ {0} \ mathrm {P} _ { \ alpha} \} _ {\ mathrm {Q}, \ mathrm {P}} - {{\ rho _ {1} \ mathrm {P} _ {\ alpha}} \ over \ tau} ~}Megjegyezve a ρ 1 P β és a H 0 ρ 0 P β függetlenségét Q α (a töltések eloszlásának homogenitása és a zavartalan Hamilton-féle térbeli invariancia) szempontjából, a zavart eloszlás első rendű megoldása meg van írva:
(-énω+1τ)ρ1Pα=(énkβxα+δαβ)eEα(∂ρ0∂Pβ){\ displaystyle \ left (-i \ omega + {\ frac {1} {\ tau}} \ right) \ rho _ {1} \ mathrm {P} _ {\ alpha} = (ik _ {\ beta} x_ {\ alpha} + \ delta _ {\ alpha \ beta}) e \ mathrm {E} _ {\ alpha} \ balra ({\ frac {\ részleges \ rho _ {0}} {\ részleges \ mathrm {P} _ {\ beta}}} \ jobbra)}A hosszú hullámhossz-közelítés (tehát k kicsi) felvételével megtaláljuk a vezetőképesség formáját:
σ=ε0τωo2-énωτ+1{\ displaystyle \ sigma = {\ frac {\ varepsilon _ {0} \ tau \ omega _ {\ mathrm {p}} ^ {2}} {- i \ omega \ tau +1}}}
Fém hővezető képessége
A jelenlegi transzportegyenletet (vagyis a részecske-transzportot) meg kell duplázni egy hőtranszport-egyenlettel :
jq=-κ∇T{\ displaystyle j _ {\ mathrm {q}} = - \ kappa \ nabla \ mathrm {T}}ekkor megkapjuk, hogy a hő- és elektromos vezetőképesség aránya egyenesen arányos a hőmérséklettel, az arányossági együtthatót a Lorenz-szám jelöli :
κσ{\ displaystyle {\ kappa \ over {\ sigma}}}
L=κσT=32(kbe)2{\ displaystyle \ mathrm {L} = {\ frac {\ kappa} {\ sigma \ mathrm {T}}} = {\ frac {3} {2}} \ balra ({\ frac {k _ {\ mathrm { b}}} {e}} \ right) ^ {2}}Ez az arányosság törvény Wiedemann és Franz törvényeként ismert .
A fenti számszerű eredmény a kísérletileg kapott értékek hozzávetőlegesen felét éri. A transzportelmélet és a kvantummodell használata lehetővé teszi az arány valósághoz közelebb álló érték elérését (azaz a Lorenz-számot), amelynek értéke ekkor:
κσT{\ displaystyle {\ kappa \ over {\ sigma \ mathrm {T}}}}
L=κσT=π23(kbe)2{\ displaystyle \ mathrm {L} = {\ frac {\ kappa} {\ sigma \ mathrm {T}}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {3}} \ balra ({\ frac {k_ {\ mathrm {b}}} {e}} \ jobbra) ^ {2}}Bibliográfia
-
F. Ossart és JM Courty , LP322: Elektromágnesesség az anyagban: Előadási jegyzetek , UPMC ,2007( olvasható online [PDF] )
" Chap. 5 elektromos vezető ” [PDF] , az edu.upmc.fr webhelyen (hozzáférés : 2015. november 16. )
- Vincent Renvoizé ( rend . ) Et al. , PC-PC fizika *: a teljes 2014-es program kijavított gyakorlatok formájában , Montreuil, Pearson , coll. "Felkészítő tanfolyam",2014, 404 p. ( ISBN 978-2-326-00037-7 , online olvasás ) , p. 186-188
Lásd is
Kapcsolódó cikkek
Külső linkek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">