A Nernst-Einstein-törvény olyan faj, amely részt vesz a szilárd kristályos fajták vándorlásában , amikor a fajok erősek . A „faj” kifejezés alatt „ kristályhibákat ” kell érteni .
Ez a törvény lehetővé teszi a fajok vándorlásának sebességének kiszámítását az erő intenzitásának és a kristályban lévő fajok diffúziós együtthatójának függvényében.
Nernst-Einstein törvénye összekapcsolja:
Tekintsük a mozgások egy x tengelyen (például vetítési ezen a tengelyen).
Erő hiányában a hibák véletlenszerűen, egy helyről a szomszédos helyre ugrálva vándorolnak. Ezek az ugrások a termikus keverésnek köszönhetően lehetségesek.
Időegység alatt, egy faj egy valószínűségi Γ i , hogy egy ugrás a szomszédos telek i . A részecskék átlagos sebessége nulla (eset hasonló a Brown-mozgáshoz ); az eltolódások kvadratikus átlaga <X 2 > t idő alatt nem nulla, és megvan:
ha δξ i algebrai hossza (pozitív vagy negatív iránya szerint a referencia) a folytatásban i .
Ha a faj erőnek van kitéve, akkor megtöri az ugrások szimmetriáját, két ellentétes ugrás valószínűsége már nem egyenlő. Leegyszerűsítésképpen csak egy fajt és egy adott irányú mozgást veszünk figyelembe. Ha Γ + annak a valószínűsége, hogy a részecske elmozdul egy + δ x hosszúságot egységnyi idő alatt, és Γ - annak valószínűsége, hogy elmozdul egy -δ x hosszúságot , akkor az átlagos út <X> egy t idő után :
Ez lehetővé teszi az átlagos v sebesség meghatározását :
Ez a mozgás egy erő hatására koncentrációs gradienst hoz létre. A véletlenszerű diffúzió azonban hajlamos a szintek kiegyenlítésére, és ezért ellenzi az "erőltetett" migrációt, ezért két áramlásunk van:
A teljes áramlás tehát megéri:
.Ha „elég sokáig” várunk, akkor állandósult állapotot érünk el: a j 1 és j 2 áramok kompenzálják egymást, állandó koncentrációs gradiensünk van. Ezért j = 0, azaz ha c ∞ ( x ) ez az állandó koncentráció:
Tegyük fel, hogy most az erő konzervatív (a leggyakoribb eset). Ezért potenciális η- ből származik :
.Dinamikus egyensúly esetén a részecskék Maxwell-Boltzmann statisztika szerint oszlanak meg :
ahol k a Boltzmann-állandó és T az abszolút hőmérséklet . Ennek beillesztésével az előző egyenletbe a következőket kapjuk:
amely megadja nekünk a Nernst-Einstein törvényt
Ez a törvény hasonlít a folyékony súrlódás törvényéhez ; a csillapított elektron modellje . Amikor alacsony sebességgel haladunk nem turbulens folyadékban, megbecsülhetjük, hogy a súrlódási erő arányos a sebességgel, és ezért elérjük egy álló helyzetet, ahol a sebesség arányos az erővel (vagyis az ejtőernyő elvével ):
v = B · Fahol B a mobilitás , a faj ( Beweglichkeit a német ).
A Nernst-Einstein-törvény tehát megadja nekünk:
amelyből Einstein törvényét vezetjük le :
D = B k T |
A μ kémiai potenciálból eredő F c erő egy dimenzióban írható:
és ezért a Nernst-Einstein egyenlet:
Ha egy részecske z elemi e töltést hordoz , akkor az F e erőt ( elektrosztatikus erő vagy Coulomb erő ) éri :
Az E elektromos mező egy V dimenzióból származik, amely egy dimenzióban van felírva:
ezért a Nernst-Einstein törvény:
Tekintsük a j el töltések áramlását , más néven elektromos áramsűrűséget . Nekünk van
j el = z · e · j = z · e · c · vhogy c a koncentráció a töltéshordozók, majd
Mi lehet párhuzamot vonni az Ohm-törvény , amelyet aztán a sűrűsége az elektromos áram j el a potenciál gradiens:
σ az elektromos vezetőképesség , amely SI egységekben ad meg bennünket