Affin vetítés
A affin geometria , egy affin vetítés egy pont feltérképezése hely veszik altér, amelyben egy pont és a kép egyes rögzített irányban nevezett irányt a vetítés.
Így a nap tárgyainak a sík felületre vetített árnyéka a tér tárgyainak első közelítésként a tér vetülete egy síkra a napsugarak irányának megfelelően.
Az affin vetületek hasznosak sík vagy űrkeret felépítésénél . Az affinitások kialakításába is beavatkoznak . A háromdimenziós tárgyak kétdimenziós ábrázolásában használják őket. Ezután axonometrikus perspektíváról beszélünk .
Egy euklideszi térben , amikor az irányt a vetítés ortogonális altér, amelyre mi kiálló beszélünk merőleges vetülete . Ha az irány nem rögzített, de van egy rögzített pont, amely egy pontot és annak képét mindig a rögzített ponthoz igazítja, akkor ez nem affin vetület, hanem központi vetület .
Vetítés a sík geometriájában
Bemutatás
A síkgeometria, úgy vélik, egy egyenes vonal D a térkép, és egy nem párhuzamos irányban Δ D . A D egyenes vetülete a Δ irányban az A pontot olyan A 'ponttá alakítja, hogy
- A 'az A-n áthaladó Δ-vel párhuzamos vonalon található
- A 'jobb oldalon van D
Mivel az előző két vonal nem párhuzamos, egyetlen ponttal találkoznak, amely garantálja az A 'létezését és egyediségét, amikor egy A pontot adunk.
Észrevesszük, hogy ha A a D vonalhoz tartozik, akkor az saját projektje. Végül bármely, a D-n elhelyezkedő A 'pont a végtelen pont vetülete: az A'-n áthaladó egyenesen elhelyezkedő és a Δ-vel párhuzamos összes pont A-ra vetül. Így a vetület nem injektív , ezért nem bijekció .
A vetítés affin alkalmazás . Ez azt jelenti, hogy a nyúlvány tartja az barycenters: ha A és B két pont, és ha egy és b két valós számok olyan, hogy a + b értéke nem nulla, és ha G jelentése a barycenter pontok A és B hozzárendelve együtthatók egy és b , a G pont vetülete továbbra is az A és B előrejelzésének bárcentruma, amelyeket ugyanazok az a és b együtthatók érintenek .
Különösen, ha A , B és C három egymáshoz igazított pont, és ha A ', B ' és C 'a vetületeik, akkor a vetület megtartja az algebrai mértékek arányát :
NÁL NÉLB¯NÁL NÉLVS¯=NÁL NÉL′B′¯NÁL NÉL′VS′¯{\ displaystyle {\ frac {\ overline {AB}} {\ overline {AC}}} = {\ frac {\ overline {A'B '}} {\ overline {A'C'}}}}![{\ displaystyle {\ frac {\ overline {AB}} {\ overline {AC}}} = {\ frac {\ overline {A'B '}} {\ overline {A'C'}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd724b0f385703e72885f2ea85d207d36a5c40b5)
Ez a tulajdonság hasonló Thalès ingatlanjához .
Az affin térképhez egy lineáris térkép társul a sík vektorain :o→{\ displaystyle {\ vec {p}}}
o→(NÁL NÉLB→)=NÁL NÉL′B′→{\ displaystyle {\ vec {p}} ({\ overrightarrow {AB}}) = {\ overrightarrow {A'B '}}}
o→(NÁL NÉLB→+NÁL NÉLVS→)=o→(NÁL NÉLB→)+o→(NÁL NÉLVS→){\ displaystyle {\ vec {p}} ({\ overrightarrow {AB}} + {\ overrightarrow {AC}}) = {\ vec {p}} ({\ overrightarrow {AB}}) + {\ vec {p }} ({\ overrightarrow {AC}})}![{\ displaystyle {\ vec {p}} ({\ overrightarrow {AB}} + {\ overrightarrow {AC}}) = {\ vec {p}} ({\ overrightarrow {AB}}) + {\ vec {p }} ({\ overrightarrow {AC}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50589ab510f1dd3c28e252c8a9f105380d08d1fe)
és ha k egy skalár , majd
o→(kNÁL NÉLB→)=ko→(NÁL NÉLB→){\ displaystyle {\ vec {p}} (k {\ overrightarrow {AB}}) = k {\ vec {p}} ({\ overrightarrow {AB}})}![{\ displaystyle {\ vec {p}} (k {\ overrightarrow {AB}}) = k {\ vec {p}} ({\ overrightarrow {AB}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/208aaa75df965fa783a12efe17373c17a761d475)
.
Ez a lineáris térkép egy vektor vetület .
Derékszögű vetületek és koordináták
A D és Δ egyenesek O-n keresztezik egymást . Szóval A „ vetülete A szóló D párhuzamos Δ és A” vetülete A szóló Δ párhuzamos D . Így :
ONÁL NÉL→=ONÁL NÉL′→+ONÁL NÉL″¯{\ displaystyle {\ overrightarrow {OA}} = {\ overrightarrow {OA '}} + {\ overline {OA' '}}}![{\ displaystyle {\ overrightarrow {OA}} = {\ overrightarrow {OA '}} + {\ overline {OA' '}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28fd769328032d2eebae3e034975aff19556178c)
Ha u a D irányvektora, és v a Δ irányvektora, (0, u , v ) a sík affin koordinátarendszere. Ha a koordinátáit Egy ebben a keret ( x , y ), akkor:
ONÁL NÉL′→=x⋅u ; ONÁL NÉL″→=y⋅v.{\ displaystyle {\ overrightarrow {OA '}} = x \ cdot u \; \ {\ overrightarrow {OA' '}} = y \ cdot v.}
Legyen a ( x u , y u ) komponensek Δ irányadó vektora . Is
u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}![\ vec {u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89c41e9cf70c5e5b56e2128a136985a75f90ba43)
a · x + b · y + c = 0
a D egyenlet . Hagyja, hogy a pont egy koordinátái ( x A , y A ) és a projekt A ' koordinátái ( x A' , y A ' ).
Mivel ( AA ' ) párhuzamos a Δ-vel, létezik olyan skalár k , amely
NÁL NÉLNÁL NÉL′→=k⋅u→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AA '}} = k \ cdot {\ vec {u}}}![{\ displaystyle {\ overrightarrow {AA '}} = k \ cdot {\ vec {u}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1730995f8666559911933de73a43b0cc401a543d)
van
{xNÁL NÉL′-xNÁL NÉL=k⋅xuyNÁL NÉL′-yNÁL NÉL=k⋅yu{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {A '} - x_ {A} = k \ cdot x_ {u} \\ y_ {A'} - y_ {A} = k \ cdot y_ {u } \ end {mátrix}} right.}![{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {A '} - x_ {A} = k \ cdot x_ {u} \\ y_ {A'} - y_ {A} = k \ cdot y_ {u } \ end {mátrix}} right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47aa41dcc04d7fc5caec95fb2556b50bc51f5f69)
Sőt, A ' a D-n van , ami azt jelenti
a · x A ' + b · y A' + c = 0
tehát megkapjuk
a · ( k · x u + x A ) + b · ( k · y u + y A ) + c = 0
honnan
k=-nál nél⋅xNÁL NÉL+b⋅yNÁL NÉL+vs.nál nél⋅xu+b⋅yu{\ displaystyle k = - {\ frac {a \ cdot x_ {A} + b \ cdot y_ {A} + c} {a \ cdot x_ {u} + b \ cdot y_ {u}}}}![{\ displaystyle k = - {\ frac {a \ cdot x_ {A} + b \ cdot y_ {A} + c} {a \ cdot x_ {u} + b \ cdot y_ {u}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8874389fddc4957270151ee8ba26303fae97c8e6)
( A · x u + b · y u nem nulla, mivel nem egyenes D-hez ) ahol
u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}![\ vec {u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89c41e9cf70c5e5b56e2128a136985a75f90ba43)
{xNÁL NÉL′=-nál nél⋅xNÁL NÉL+b⋅yNÁL NÉL+vs.nál nél⋅xu+b⋅yu⋅xu+xNÁL NÉLyNÁL NÉL′=-nál nél⋅xNÁL NÉL+b⋅yNÁL NÉL+vs.nál nél⋅xu+b⋅yu⋅yu+yNÁL NÉL{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {A '} = - {\ frac {a \ cdot x_ {A} + b \ cdot y_ {A} + c} {a \ cdot x_ {u} + b \ cdot y_ {u}}} \ cdot x_ {u} + x_ {A} \\ y_ {A '} = - {\ frac {a \ cdot x_ {A} + b \ cdot y_ {A} + c} {a \ cdot x_ {u} + b \ cdot y_ {u}}} \ cdot y_ {u} + y_ {A} \ end {mátrix}} \ right.}![{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {A '} = - {\ frac {a \ cdot x_ {A} + b \ cdot y_ {A} + c} {a \ cdot x_ {u} + b \ cdot y_ {u}}} \ cdot x_ {u} + x_ {A} \\ y_ {A '} = - {\ frac {a \ cdot x_ {A} + b \ cdot y_ {A} + c} {a \ cdot x_ {u} + b \ cdot y_ {u}}} \ cdot y_ {u} + y_ {A} \ end {mátrix}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f675bc7ac80ea08b89dd08d8b8ad9745bf6c8906)
van
{xNÁL NÉL′=b⋅(xNÁL NÉLyu-yNÁL NÉLxu)-vs.⋅xunál nél⋅xu+b⋅yuyNÁL NÉL′=nál nél⋅(yNÁL NÉLxu-xNÁL NÉLyu)-vs.⋅yunál nél⋅xu+b⋅yu{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {A '} = {\ frac {b \ cdot (x_ {A} y_ {u} -y_ {A} x_ {u}) - c \ cdot x_ {u}} {a \ cdot x_ {u} + b \ cdot y_ {u}}} \\ y_ {A '} = {\ frac {a \ cdot (y_ {A} x_ {u} -x_ {A } y_ {u}) - c \ cdot y_ {u}} {a \ cdot x_ {u} + b \ cdot y_ {u}}} \ end {mátrix}} \ right.}![{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {A '} = {\ frac {b \ cdot (x_ {A} y_ {u} -y_ {A} x_ {u}) - c \ cdot x_ {u}} {a \ cdot x_ {u} + b \ cdot y_ {u}}} \\ y_ {A '} = {\ frac {a \ cdot (y_ {A} x_ {u} -x_ {A } y_ {u}) - c \ cdot y_ {u}} {a \ cdot x_ {u} + b \ cdot y_ {u}}} \ end {mátrix}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f89ff033228c9ee7cc3eac8c8d950240a1da0f54)
Geometriai vetítés az űrben
Vetítés egy vonallal párhuzamos síkon
Bemutatás
A térben egy Π síkot és egy Δ egyeneset veszünk figyelembe, amely nem párhuzamos a Π-vel. A Π síkra vetített vetület a Δ irány szerint az A pontot olyan A 'ponttá alakítja, hogy
- A 'a the síkhoz tartozik;
- A 'az A-n áthaladó Δ-vel párhuzamos vonalon található
Mivel a sík és az egyenes nem párhuzamos, egyetlen pontban keresztezik egymást, ami garantálja az A 'létezését és egyediségét, amikor egy A pontot adunk. Ha Δ merőleges Π-re, akkor a vetületet merőlegesnek mondjuk .
Ugyanazokat a tulajdonságokat találjuk, mint az előző vetületben: ha A tartozik a síkhoz, akkor A saját vetülete. A sík bármely A 'pontja az A'-n áthaladó vonalon elhelyezkedő és Δ-vel párhuzamos pontok végtelenjének vetülete.
A vetület affin alkalmazás , amely megőrzi a baricentrumokat és a párhuzamosságot. Vagyis két párhuzamos vonal vetül ki vagy két pont szerint, vagy pedig két egyformán párhuzamos vonal szerint. Ez a típusú vetítés lehetővé teszi az objektumok síkbeli ábrázolását a térben axonometrikus perspektívák formájában , például a kavalier perspektíva formájában .
Ami az affinok leképezését illeti, Thales tulajdonságát továbbra is ellenőrizzük: ha A , B és C három egyenes pont, és ha A ', B ' és C 'a vetületeik, akkor
NÁL NÉLB¯NÁL NÉLVS¯=NÁL NÉL′B′¯NÁL NÉL′VS′¯,{\ displaystyle {\ frac {\ overline {AB}} {\ overline {AC}}} = {\ frac {\ overline {A'B '}} {\ overline {A'C'}}},}![{\ displaystyle {\ frac {\ overline {AB}} {\ overline {AC}}} = {\ frac {\ overline {A'B '}} {\ overline {A'C'}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99b7b4e9ae265ebfad9ab51ca25bd8f67804ec3c)
azaz van egy skalár, amely mindkettőt kielégíti
λ{\ displaystyle \ lambda}![\ lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a)
NÁL NÉLB→=λ NÁL NÉLVS→ésNÁL NÉL′B′→=λ NÁL NÉL′VS′→.{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}} = \ lambda ~ {\ overrightarrow {AC}} \ quad {\ text {et}} \ quad {\ overrightarrow {A'B '}} = \ lambda ~ {\ overrightarrow { A'C '}}.}![{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}} = \ lambda ~ {\ overrightarrow {AC}} \ quad {\ text {et}} \ quad {\ overrightarrow {A'B '}} = \ lambda ~ {\ overrightarrow { A'C '}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d6c7a7bb366b363923a6009109e9c4247b31553)
Valójában az affin térképhez egy lineáris térkép társul a tér vektorain, amely tovább és tovább küld .
NÁL NÉLVS→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AC}}}
NÁL NÉL′VS′→{\ displaystyle {\ overrightarrow {A'C '}}}
NÁL NÉLB→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}}}
NÁL NÉL′B′→{\ displaystyle {\ overrightarrow {A'B '}}}![{\ displaystyle {\ overrightarrow {A'B '}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26ff3ae4907992af26f9fc3d6cef9ec24d625ffc)
Az affin vetülethez társított lineáris térkép egy vektor vetület .
Analitikai kifejezés
Legyen az Δ komponensek ( x u , y u , z u ) irányító vektora . Is
u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}![\ vec {u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89c41e9cf70c5e5b56e2128a136985a75f90ba43)
a · x + b · y + c · z + d = 0
Π egyenlete. Hagyja, hogy a pont A koordinátái ( x A , y A , z A ) és annak a projekt A ' koordinátái ( x A' , y A ' Z A' ).
Mivel ( AA ' ) párhuzamos a Δ-vel, létezik olyan skalár k , amely
NÁL NÉLNÁL NÉL′→=k⋅u→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AA '}} = k \ cdot {\ vec {u}}}![{\ displaystyle {\ overrightarrow {AA '}} = k \ cdot {\ vec {u}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1730995f8666559911933de73a43b0cc401a543d)
van
{xNÁL NÉL′-xNÁL NÉL=k⋅xuyNÁL NÉL′-yNÁL NÉL=k⋅yuzNÁL NÉL′-zNÁL NÉL=k⋅zu{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {A '} - x_ {A} = k \ cdot x_ {u} \\ y_ {A'} - y_ {A} = k \ cdot y_ {u } \\ z_ {A '} - z_ {A} = k \ cdot z_ {u} \\\ end {mátrix}} \ right.}![{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {A '} - x_ {A} = k \ cdot x_ {u} \\ y_ {A'} - y_ {A} = k \ cdot y_ {u } \\ z_ {A '} - z_ {A} = k \ cdot z_ {u} \\\ end {mátrix}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ab5ee2ef093a5f9503a1627c1a16d2033fd080b)
Sőt, A 'be van kapcsolva Π-re, ami azt jelenti
a · x A ' + b · y A' + c · z A ' + d = 0
Látjuk, hogy analitikai szempontból a probléma nagyon hasonló az előzőhöz. Négy egyenletrendszerünk van, négy ismeretlen x A ' , y A' , z A ' és k ismeretlen . Azt kapjuk :
{xNÁL NÉL′=b⋅(xNÁL NÉLyu-yNÁL NÉLxu)+vs.⋅(xNÁL NÉLzu-zNÁL NÉLxu)-d⋅xunál nél⋅xu+b⋅yu+vs.⋅zuyNÁL NÉL′=nál nél⋅(yNÁL NÉLxu-xNÁL NÉLyu)+vs.⋅(yNÁL NÉLzu-zNÁL NÉLyu)-d⋅yunál nél⋅xu+b⋅yu+vs.⋅zuzNÁL NÉL′=nál nél⋅(zNÁL NÉLxu-xNÁL NÉLzu)+b⋅(zNÁL NÉLyu-yNÁL NÉLzu)-d⋅zunál nél⋅xu+b⋅yu+vs.⋅zu{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {A '} = {\ frac {b \ cdot (x_ {A} y_ {u} -y_ {A} x_ {u}) + c \ cdot ( x_ {A} z_ {u} -z_ {A} x_ {u}) - d \ cdot x_ {u}} {a \ cdot x_ {u} + b \ cdot y_ {u} + c \ cdot z_ {u }}} \\ y_ {A '} = {\ frac {a \ cdot (y_ {A} x_ {u} -x_ {A} y_ {u}) + c \ cdot (y_ {A} z_ {u} -z_ {A} y_ {u}) - d \ cdot y_ {u}} {a \ cdot x_ {u} + b \ cdot y_ {u} + c \ cdot z_ {u}}} \ z_ {A ' } = {\ frac {a \ cdot (z_ {A} x_ {u} -x_ {A} z_ {u}) + b \ cdot (z_ {A} y_ {u} -y_ {A} z_ {u} ) - d \ cdot z_ {u}} {a \ cdot x_ {u} + b \ cdot y_ {u} + c \ cdot z_ {u}}} \\\ end {mátrix}} jobb.}![{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {A '} = {\ frac {b \ cdot (x_ {A} y_ {u} -y_ {A} x_ {u}) + c \ cdot ( x_ {A} z_ {u} -z_ {A} x_ {u}) - d \ cdot x_ {u}} {a \ cdot x_ {u} + b \ cdot y_ {u} + c \ cdot z_ {u }}} \\ y_ {A '} = {\ frac {a \ cdot (y_ {A} x_ {u} -x_ {A} y_ {u}) + c \ cdot (y_ {A} z_ {u} -z_ {A} y_ {u}) - d \ cdot y_ {u}} {a \ cdot x_ {u} + b \ cdot y_ {u} + c \ cdot z_ {u}}} \ z_ {A ' } = {\ frac {a \ cdot (z_ {A} x_ {u} -x_ {A} z_ {u}) + b \ cdot (z_ {A} y_ {u} -y_ {A} z_ {u} ) - d \ cdot z_ {u}} {a \ cdot x_ {u} + b \ cdot y_ {u} + c \ cdot z_ {u}}} \\\ end {mátrix}} jobb.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e7897d091fe48b2dbf7872808abf67106491d47)
Ortogonális vetület esetén, és ha a koordináta-rendszer ortonormális, választhatunk x u = a , y u = b és z u = c értékeket , vagyis
{xNÁL NÉL′=(b2+vs.2)⋅xNÁL NÉL-nál nélb⋅yNÁL NÉL-nál nélvs.⋅zNÁL NÉL-d⋅nál nélnál nél2+b2+vs.2yNÁL NÉL′=-nál nélb⋅xNÁL NÉL+(nál nél2+vs.2)⋅yNÁL NÉL-bvs.⋅zNÁL NÉL-d⋅bnál nél2+b2+vs.2zNÁL NÉL′=-nál nélvs.⋅xNÁL NÉL-bvs.⋅yNÁL NÉL+(nál nél2+b2)⋅zNÁL NÉL-d⋅vs.nál nél2+b2+vs.2{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {A '} = {\ frac {(b ^ {2} + c ^ {2}) \ cdot x_ {A} -ab \ cdot y_ {A} -ac \ cdot z_ {A} -d \ cdot a} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}} \\ y_ {A '} = {\ frac {-ab \ cdot x_ {A} + (a ^ {2} + c ^ {2}) \ cdot y_ {A} -bc \ cdot z_ {A} -d \ cdot b} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}} \\ z_ {A '} = {\ frac {-ac \ cdot x_ {A} -bc \ cdot y_ {A} + (a ^ {2} + b ^ {2}) \ cdot z_ {A} -d \ cdot c} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}} \\\ end {mátrix}} \ right.}![{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {A '} = {\ frac {(b ^ {2} + c ^ {2}) \ cdot x_ {A} -ab \ cdot y_ {A} -ac \ cdot z_ {A} -d \ cdot a} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}} \\ y_ {A '} = {\ frac {-ab \ cdot x_ {A} + (a ^ {2} + c ^ {2}) \ cdot y_ {A} -bc \ cdot z_ {A} -d \ cdot b} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}} \\ z_ {A '} = {\ frac {-ac \ cdot x_ {A} -bc \ cdot y_ {A} + (a ^ {2} + b ^ {2}) \ cdot z_ {A} -d \ cdot c} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}} \\\ end {mátrix}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e86733029193f9de2212e45181e24a7967fb2fc6)
Ha önkényesen döntünk arról, hogy Π tartalmazza az eredetet ( d = 0), és hogy a ² + b ² + c ² = 1, akkor
{xNÁL NÉL′=(b2+vs.2)⋅xNÁL NÉL-nál nélb⋅yNÁL NÉL-nál nélvs.⋅zNÁL NÉLyNÁL NÉL′=-nál nélb⋅xNÁL NÉL+(nál nél2+vs.2)⋅yNÁL NÉL-bvs.⋅zNÁL NÉLzNÁL NÉL′=-nál nélvs.⋅xNÁL NÉL-bvs.⋅yNÁL NÉL+(nál nél2+b2)⋅zNÁL NÉL{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {A '} = (b ^ {2} + c ^ {2}) \ cdot x_ {A} -ab \ cdot y_ {A} -ac \ cdot z_ {A} \\ y_ {A '} = - ab \ cdot x_ {A} + (a ^ {2} + c ^ {2}) \ cdot y_ {A} -bc \ cdot z_ {A} \\ z_ {A '} = - ac \ cdot x_ {A} -bc \ cdot y_ {A} + (a ^ {2} + b ^ {2}) \ cdot z_ {A} \\\ end {mátrix}} \ jobb.}![{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {A '} = (b ^ {2} + c ^ {2}) \ cdot x_ {A} -ab \ cdot y_ {A} -ac \ cdot z_ {A} \\ y_ {A '} = - ab \ cdot x_ {A} + (a ^ {2} + c ^ {2}) \ cdot y_ {A} -bc \ cdot z_ {A} \\ z_ {A '} = - ac \ cdot x_ {A} -bc \ cdot y_ {A} + (a ^ {2} + b ^ {2}) \ cdot z_ {A} \\\ end {mátrix}} \ jobb.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dea9816707507cac725b8cba7703462fd667e74)
Izometrikus perspektíva esetén a | -t választjuk a | = | b | = | c | = 1 / √3. Például, ha a három pozitív értéket választjuk, akkor megvan
{xNÁL NÉL′=2/3⋅xNÁL NÉL-1/3⋅yNÁL NÉL-1/3⋅zNÁL NÉLyNÁL NÉL′=-1/3⋅xNÁL NÉL+2/3⋅yNÁL NÉL-1/3⋅zNÁL NÉLzNÁL NÉL′=-1/3⋅xNÁL NÉL-1/3⋅yNÁL NÉL+2/3⋅zNÁL NÉL{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {A '} = 2/3 \ cdot x_ {A} -1/3 \ cdot y_ {A} -1/3 \ cdot z_ {A} \\ y_ {A '} = - 1/3 \ cdot x_ {A} +2/3 \ cdot y_ {A} -1/3 \ cdot z_ {A} \ z_ {A'} = - 1/3 \ cdot x_ {A} -1/3 \ cdot y_ {A} +2/3 \ cdot z_ {A} \\\ end {mátrix}} \ right.}![{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x_ {A '} = 2/3 \ cdot x_ {A} -1/3 \ cdot y_ {A} -1/3 \ cdot z_ {A} \\ y_ {A '} = - 1/3 \ cdot x_ {A} +2/3 \ cdot y_ {A} -1/3 \ cdot z_ {A} \ z_ {A'} = - 1/3 \ cdot x_ {A} -1/3 \ cdot y_ {A} +2/3 \ cdot z_ {A} \\\ end {mátrix}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46ad870dca7d23e52b08e6d97cf31cd9ce38c33b)
Vetítés síkkal párhuzamos vonalon
A fentiekkel megegyező jelölésekkel meghatározhatjuk a Δ-vel párhuzamos vetületet Π-vel: ez átalakítja az A pontot A 'ponttá úgy, hogy
- A 'van A-n;
- A 'az A-n áthaladó Π-vel párhuzamos síkhoz tartozik
Mint korábban, az a tény is, hogy a vonal és a sík nem párhuzamos, lehetővé teszi azt mondani, hogy egy pontban keresztezik egymást, és garantálja az A 'létezését és egyediségét, amikor az A pontot megadják. Ha Δ merőleges Π-re, akkor a vetületet merőlegesnek mondjuk.
Ugyanazokat a tulajdonságokat találjuk, mint az előző vetületben: ha A egyeneshez tartozik, akkor A saját vetülete. A vonal bármely A 'pontja az A'-n áthaladó síkban elhelyezkedő és parallel-vel párhuzamos pontok végtelenjének vetülete.
Ez mindig affin térkép, így a hozzá tartozó lineáris térkép egy vektor vetület , tehát a fentiekben meghatározott tulajdonságokkal rendelkezik.
Derékszögű vetületek és koordináták
Tekintsünk három D 1 irányvektort u 1 , D 2 irányvektort u 2 és D 3 irányvektort u három , nem koplanáris és konvergálnak egy O pontban .
Egy pont a térben egy , nevezzük:
-
A 1 a vetülete A on D 1 síkjával párhuzamos ( D 2 , D 3 );
-
A 2 a vetülete A a D 2 síkjával párhuzamos ( D 3 , D 1 );
-
Egy 3 a vetülete A a D 3 párhuzamos síkban ( D 1 , D 2 ).
Így :
ONÁL NÉL→=ONÁL NÉL1→+ONÁL NÉL2→+ONÁL NÉL3→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OA}} = {\ overrightarrow {OA_ {1}}} + {\ overrightarrow {OA_ {2}}} + {\ overrightarrow {OA_ {3}}}}![{\ displaystyle {\ overrightarrow {OA}} = {\ overrightarrow {OA_ {1}}} + {\ overrightarrow {OA_ {2}}} + {\ overrightarrow {OA_ {3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4227a0db451f158c52cffa094c5c1a18aa045ee2)
és ha A- nak vannak koordinátái ( x , y, z ) a keretben (0, u 1 , u 2 , u 3 ), akkor
ONÁL NÉL1→=x⋅u1 ; ONÁL NÉL2→=y⋅u2 ; ONÁL NÉL3→=z⋅u3.{\ displaystyle {\ overrightarrow {OA_ {1}}} = x \ cdot u_ {1} \; \ \ {\ overrightarrow {OA_ {2}}} = y \ cdot u_ {2} \; \ \ {\ overrightarrow {OA_ {3}}} = z \ cdot u_ {3}.}![{\ displaystyle {\ overrightarrow {OA_ {1}}} = x \ cdot u_ {1} \; \ \ {\ overrightarrow {OA_ {2}}} = y \ cdot u_ {2} \; \ \ {\ overrightarrow {OA_ {3}}} = z \ cdot u_ {3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0574d06d109ab7afb3fe908119d9cbc3f3553858)
Általános meghatározás
Egy meghatározatlan affin tér, úgy véljük, egy affin altér az irányt , és egy további egy az hívjuk vetítés iránya szerint , a térkép, amely átalakítja bármilyen pont a pont „ellenőrzése
F1{\ displaystyle F_ {1}}
V1{\ displaystyle V_ {1}}
V2{\ displaystyle V_ {2}}
V1{\ displaystyle V_ {1}}
F1{\ displaystyle F_ {1}}
V2{\ displaystyle V_ {2}}![V_ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceaa689a894f5020a7b46177d201cbce2d41122b)
- A 'tartozik F1{\ displaystyle F_ {1}}
- A 'az altérhez tartozik (áthalad az A-n és az irányon ).NÁL NÉL+V2{\ displaystyle A + V_ {2}}
V2{\ displaystyle V_ {2}}![V_ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceaa689a894f5020a7b46177d201cbce2d41122b)
Az a tény, hogy irányaik továbbiak, biztosítja, hogy a két altér és csak egy pontjuk legyen közös.
F1{\ displaystyle F_ {1}}
NÁL NÉL+V2{\ displaystyle A + V_ {2}}![{\ displaystyle A + V_ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bbc19808ce11c761a8988a9089ff0eda75bcef2)
Megmutatjuk, hogy ez az előrejelzés egy affin térkép, melynek összefüggő lineáris leképezés a vetítés a irányba , és akinek készlet fix pont van . Ezzel szemben bármely affin térkép, amelynek társított lineáris térképe vetület és rögzített pontjai vannak, affin vetület.
o{\ displaystyle p}
o→{\ displaystyle {\ vec {p}}}
V1{\ displaystyle V_ {1}}
V2=ker(o→){\ displaystyle V_ {2} = \ ker ({\ vec {p}})}
F1=o(E){\ displaystyle F_ {1} = p (E)}![{\ displaystyle F_ {1} = p (E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca87837dc4f5648277f5bd13dc4143be2ae65e88)
Bármilyen affin vetítés van idempotens , ez azt jelenti, hogy . Ezzel szemben bármely idempotens affin térkép egy affin vetület.
o{\ displaystyle p}
o∘o=o{\ displaystyle p \ circ p = p}![{\ displaystyle p \ circ p = p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f5544a69a545a539604ed16b3325b1d4ef95b55)
Hivatkozások
-
A forrást elég távolinak tekintik ahhoz, hogy a napsugarakat párhuzamosnak lehessen tekinteni
-
Aviva Szpirglas , Algebra L3: Teljesítsen tanfolyamot 400 teszttel és javított gyakorlattal [ a kiadás részlete ]o. 107.
Bibliográfia
- Aviva Szpirglas , Algebra L3: Teljesítsen tanfolyamot 400 javított teszttel és gyakorlattal [ a kiadás részlete ]
- Dany-Jack Mercier, A CAPES matematika bemutató teszt: írott és kommentált órák, 4. kötet , Publibook Editions, 2008
Kapcsolódó cikkek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">